如何上好《近現(xiàn)代代數(shù)》這門課

現(xiàn)代史是一門相對抽象的學(xué)科。如果學(xué)生沒有具備抽象思維能力，那么學(xué)習(xí)現(xiàn)代史是困難的。在以往的教學(xué)過程中有很多不良現(xiàn)象,例如:上課互相說話、看手機(jī)、精神不集中、不認(rèn)真聽講等現(xiàn)象。這都是因?yàn)榻来鷶?shù)太抽象不容易理解,上課聽不進(jìn)去,也學(xué)不會。作為任課教師有義務(wù)探索更有效的教學(xué)方式幫助同學(xué)們學(xué)習(xí)和掌握相關(guān)知識。下面談一下我們在《近世代數(shù)》課程教學(xué)中所采用的舉例法、比較法及圖像法等啟發(fā)式教學(xué)方法。1從零到零的關(guān)系到培養(yǎng)學(xué)生的能力近世代數(shù)研究的對象是集合,如果我們對集合賦予某種代數(shù)運(yùn)算就像賦予了生命一樣,元素和元素之間建立了某種關(guān)系。這好比小學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù),給自然數(shù)集定義加減法運(yùn)算,自然數(shù)和自然數(shù)之間就建立了關(guān)系。群里面經(jīng)常討論單位元,逆元的問題,而單位元和逆元具有自然數(shù)1和倒數(shù)的性質(zhì)。單位元乘任何元都等于元本身,一個元與它逆元的乘積是單位元,這樣看來單位元和自然數(shù)1很相似,而逆元和倒數(shù)很相似。通過引入這種簡單的例子,同學(xué)們對于代數(shù)運(yùn)算,單位元、逆元等概念就會有更深的認(rèn)識。環(huán)里面經(jīng)常討論零元的問題,零元又和我們熟知的數(shù)0很相似,任何元乘零元還等于零元,任何元加零元還等于元本身。講集合的分類時可以先對班級的同學(xué)們進(jìn)行分類,那么同學(xué)們很自然想到按性別分類或者按身高分類,按性別分類可以分成男同學(xué)一類女同學(xué)一類,分到同一類的同學(xué)元之間都有性別相同的關(guān)系。按身高分類可以分四類,160cm以下、160~170cm、170~180cm、180cm以上等。然而分到同一類的同學(xué)身高都在同一個范圍之內(nèi)了。同學(xué)們會從這些簡單的例子得到啟發(fā)很容易理解集合的分類與等價關(guān)系之間的聯(lián)系。有了集合的某種關(guān)系就會有元素和元素之間的等價關(guān)系。有了某種等價關(guān)系就會決定集合的某種分類。零因子的概念對于初學(xué)者也是一個難點(diǎn),兩個非零矩陣的乘積有可能等于零矩陣,但兩個非零數(shù)的乘積就永遠(yuǎn)不會等于零了,零因子的性質(zhì)猶如矩陣的性質(zhì),兩個非零元的乘積等于零元,那么一個是左零因子,一個是右零因子。整數(shù)環(huán)是一個最簡單的整環(huán),整數(shù)集對于乘法運(yùn)算來講可以交換的,有單位元沒有零因子,從而整環(huán)的定義就會又好記又好掌握了。講單射、滿射、雙射時同學(xué)們往往舉一些有限集合上的映射,可以舉一些簡單的無限集上的映射,使同學(xué)們從有限集過渡到無限集,思維慢慢變得越來越開闊,理解并解決問題的能力會越來越強(qiáng)。從以上多個問題的分析可知,同學(xué)們會從簡單的例子得到啟發(fā),能夠更好地掌握相關(guān)的知識。2變換群、置換群的概念“同構(gòu)”和“同態(tài)”兩個概念同學(xué)們就很容易混淆?！巴瑯?gòu)”和“同態(tài)”的不同點(diǎn)是“同構(gòu)”的映射是雙射,但“同態(tài)”的映射可以不是單射也可以不是滿射,所以“同構(gòu)”的條件比“同態(tài)”要強(qiáng)很多。兩個代數(shù)體系如果是同構(gòu)的,則這兩個代數(shù)體系所含有的代數(shù)性質(zhì)是完全一樣的。兩個代數(shù)體系如果是同態(tài)的,則這兩個代數(shù)體系的代數(shù)性質(zhì)很相似但不會完全一樣?！白儞Q群”和“置換群”的概念也是近世代數(shù)教學(xué)中的一個難點(diǎn)。在某種意義上來說置換群就是變換群,只是置換群的集合是有限集,置換群的元素可以一一列出來,變換群的集合沒有限制,可以是無限集也可以是有限集,所有變換群中的相關(guān)的結(jié)論都可以平移到置換群中去。整環(huán)和除環(huán)也是近世代數(shù)中重點(diǎn)掌握的內(nèi)容,它們既有相同的性質(zhì)也有不同的性質(zhì),根據(jù)定義我們可以進(jìn)行分析,其實(shí)整環(huán)和除環(huán)都是無零因子環(huán),具有單位元的環(huán)。但整環(huán)是可以交換的環(huán),除環(huán)不一定交換的,除環(huán)的每個非零元均是可逆元,但整環(huán)中的元不一定有逆元。我們通過比較整環(huán)和除環(huán)的性質(zhì)同學(xué)們很容易得到啟發(fā),就不再混淆這兩個重要的概念了。下面我們討論群和環(huán)的兩個概念,群是含有一種運(yùn)算的代數(shù)體系,有單位元又有逆元。環(huán)是含有兩種不同的代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)體系,對于加法運(yùn)算作成群,對于乘法運(yùn)算只是半群,所以環(huán)的定義是在群的定義的基礎(chǔ)之上的,為了區(qū)別于加法和乘法的兩種運(yùn)算的單位元和逆元,對于加法運(yùn)算的單位元叫作零元,逆元叫作負(fù)元。通過比較我們知道了群與環(huán)的區(qū)別與聯(lián)系,抽象的概念變得很容易理解。3注意不同解決條件的結(jié)果4掌握集群和鏈的內(nèi)容定義和研究方法“即使是s，也需要擴(kuò)展其他s6關(guān)于群論的內(nèi)容從多年的實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看,如何用簡單易懂的方法講解《近世代數(shù)》是我們面臨的一個難題。對于定義以及定理盡可能舉一些簡單的例子進(jìn)行說明;通過比較概念之間的區(qū)別與聯(lián)系使抽象的概念變得清晰不易混淆;認(rèn)真觀察定理?xiàng)l件的增減化而得到的不同的結(jié)論;通過討論群的內(nèi)容設(shè)置和研究方法掌握環(huán)的內(nèi)容設(shè)置和研究方法;最后通過簡單的圖形直觀地挖掘定理的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和含義。講授《近世代數(shù)》課程。我們采用啟發(fā)式教學(xué)方法,取得了比較好的教學(xué)效果。除了以上談到的啟發(fā)式教學(xué)方法以外,一定還有很多更好的教學(xué)方法,等待我們在實(shí)踐教學(xué)中不斷探索研究。群論的第一節(jié)內(nèi)容就是群的定義,環(huán)的第一節(jié)也是環(huán)的定義。群里面有特殊元素的介紹,比如單位元、逆元等。而環(huán)中也介紹了單位元、零元、逆元等概念。群論中講了一些特殊類型的群。比如說變換群、置換群、循環(huán)群。同樣環(huán)中也介紹了整環(huán)、無零因子環(huán)、除環(huán)、多項(xiàng)式環(huán)、域等特殊類型的環(huán)。群論中有子群、子群的判定方法,不變子群以及不變子群的判定方法。環(huán)中有子環(huán),子環(huán)的判定方法,理想以及理想的判定方法。群中因?yàn)橛辛俗尤旱呐慵瘡亩肓松倘骸－h(huán)中因?yàn)橛辛死硐攵肓耸Ｓ囝惌h(huán)。群論中有很多關(guān)于同態(tài)的結(jié)論,比如,一個群同它的每一個商群同態(tài),假定G和G是兩個群,并且G和G同態(tài),那么,這個同態(tài)滿射的核N是G的一個不變子群,G的單位元e在同態(tài)滿射φ之下的所有逆象作成的集合叫做同態(tài)滿射的核。不難發(fā)現(xiàn),環(huán)中有很多類似的結(jié)論。若R同R是兩個環(huán),并且R與R同態(tài),那么,這個同態(tài)滿射的核N是R的一個理想。R的零元ue0c9在同態(tài)滿射φ之下的所有逆象作成的集合叫做同態(tài)滿射的核。5結(jié)合圖形直觀地挖掘定理的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和含義任取出G的一個非空子集S,它未必能構(gòu)成子群仔細(xì)分析,不能構(gòu)成群的本質(zhì)原因是不夠元素,但應(yīng)添加什么元素呢?———添加那些S應(yīng)具備,但沒具備的元素。將那些應(yīng)添加的元素做成的集合我們用圖1來表示,則很容易理解生成子群的內(nèi)