第二章各向異性彈性力學第二章各向異性彈性力學各向異性與各向同性彈性力學的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學計算及反映的現(xiàn)象十分復雜.第二章各向異性彈性力學單元體應力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標系中相應坐標軸的正向,而應力分量也指向?qū)鴺溯S的正向,則應力分量為正。當兩個下標中,只有一個指向坐標軸的正向時,該應力分量就為負.yx作用在y面上的正應力作用在y面內(nèi)x方向的剪應力z第二章各向異性彈性力學靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！第二章各向異性彈性力學幾何關系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完全確定變形，而應變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關系！第二章各向異性彈性力學本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關系第二章各向異性彈性力學各向異性彈性力學問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學一樣,各向異性彈性力學有15個未知量15個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？第二章各向異性彈性力學給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！第二章各向異性彈性力學給定位移的邊界條件(3)第二章各向異性彈性力學各向異性彈性力學問題需滿足的基本方程（另一組定解方程）與各向同性彈性力學一樣,各向異性彈性力學有12個未知量12個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關系（6）＋本構(gòu)方程（6）＋變形協(xié)調(diào)方程（3）第二章各向異性彈性力學變形協(xié)調(diào)方程(3/6)只有三個是獨立的，為什么？第二章各向異性彈性力學以上的力學,幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學的基本方程,與各向同性彈性力學的區(qū)別在于物理方程.其它均相同第二章各向異性彈性力學

彈性介質(zhì)的本構(gòu)關系均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)坐標轉(zhuǎn)換(應力應變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)

彈性對稱性——本構(gòu)關系的簡化正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義第二章各向異性彈性力學2.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關系

2.1.1彈性介質(zhì)的本構(gòu)關系

規(guī)定下標i，j與一維指標對應如下次序：(2－1)則（2－1）

的兩式可以寫成矩陣乘法的形式，第一式可以寫作

第二章各向異性彈性力學記作

可以理解為張量等式，，理解為應力張量和應變張量，L理解為彈性剛度張量；也可以理解為矩陣等式，，理解為應力列矢量和應變列矢量，[L]理解為彈性剛度矩陣。L與M具有Voigt對稱性，因此矩陣L與M為9列9行的對稱矩陣。

（2－2）第二章各向異性彈性力學由于應力張量與應變張量都是對稱張量。（2－2）式中的列矢量與的第4行與第5行相同，第6行與第7行相同，第8行與第9行相同。彈性剛度矩陣與柔度矩陣第4行、列與第5行、列相同，第6行、列與第7行、列相同，第8行、列與第9行、列相同。利用這種對稱性，可以把應力張量與應變張量寫成6個元素的“列矢量”

相應的，L與M可寫成6行6列的對稱矩陣第二章各向異性彈性力學也就是說，各列除去重復的元素，但第1、2、3列的元素的數(shù)值不變，而第4、5、6列的元素則乘以2。此時，張量運算與矩陣運算仍然一樣，但失去了矩陣地對稱性。第二章各向異性彈性力學有的文獻中定義應力“列矢量”為應變“列矢量”為

注意：，，就是剪切角，，。

第二章各向異性彈性力學于是可以把彈性本構(gòu)關系寫成：

或

（2－3）（2－4）第二章各向異性彈性力學容易導出矩陣C，s與L，M之間的關系為

第二章各向異性彈性力學2.1.2彈性應變能密度

固體變形時，加在它上面的外力要做功。完全彈性體在等溫條件下，當緩慢卸載后可以完全恢復其初始狀態(tài)。因此，可以認為，外力功全部以能量的形式儲存在彈性體內(nèi)。這種能量稱為應變能。通過對體微元的研究，可以得到彈性應變能密度：其中

(Voigt對稱性)(Voigt對稱性)第二章各向異性彈性力學由線彈性可以得第二章各向異性彈性力學2.2均質(zhì)彈性體的彈性性質(zhì)

對于均質(zhì)彈性體，材料的性質(zhì)與位置坐標無關。其應變位能是應變分量，，…，的函數(shù)，而且只取決于應變的最終值。從數(shù)學上說，是應變狀態(tài)的單值函數(shù)，而且與積分路徑無關，必是對應變分量的全微分，即：可得（2－5）第二章各向異性彈性力學為了便于以后的討論，給出的展開式（2－6）第二章各向異性彈性力學2.3坐標轉(zhuǎn)換(應力應變及彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式)2.3.1斜面應力為了討論過點A任意斜面的應力，在點A附近取一個四面體微元ABCD(圖2－1)。

圖2－1第二章各向異性彈性力學斜面BCD的外法線為N，令N的方向余弦為：則有式中，、、、依次為三角形BCD、ACD、ABD、ABC的面積。令四面體微元的體積為dV，斜面BCD上應力向量在坐標方向上的分量為、、，則由四面體微元的的條件得到：（2－7）第二章各向異性彈性力學得到方程如下：寫成矩陣形式也就是說，若應力張量為已知，則任一斜面上的應力均可求出。因此，應力張量完全決定了一點的應力狀態(tài)。（2－8）第二章各向異性彈性力學2.3.2應力應變轉(zhuǎn)軸公式三維情況：圖2－2坐標系如圖2－2所示，新坐標與原坐標的方向余弦列于表1

：其中第二章各向異性彈性力學

xyzx′l1m1n1y′l2m2n2z′l3m3n3表1

即

（2－9）第二章各向異性彈性力學將式（2－9）展開，并按一定次序排列應力張量，可得應力分量轉(zhuǎn)軸公式：（2－10）稱為應力轉(zhuǎn)換矩陣第二章各向異性彈性力學同理可得，應變分量轉(zhuǎn)軸公式（2－11）稱為應力轉(zhuǎn)換矩陣第二章各向異性彈性力學二維情況：二維情況的坐標建立如下兩圖：圖2－3圖2－4第二章各向異性彈性力學

同理：（2－12）（2－13）（2－14）第二章各向異性彈性力學2.3.3彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)軸公式各向異性體的彈性特性隨方向不同而異，即各向異性體的彈性系數(shù)是方向的函數(shù)，它們與坐標的取向有關，只有在各向同性情況下，彈性系數(shù)在任意正交坐標系是不變的。

已知

求逆

又因為

所以可得第二章各向異性彈性力學通過單位體積應變能函數(shù)U0可以證明：從而可以得到：所以其中為新坐標系中的柔度矩陣

為新坐標系中的剛度矩陣

以上即為彈性系數(shù)轉(zhuǎn)軸公式的矩陣形式。

（2－15）第二章各向異性彈性力學2.4彈性對稱性——本構(gòu)關系的簡化

大多數(shù)工程材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有對稱性，這決定了材料的彈性特性也具有對稱性。均質(zhì)彈性體中，若過每一點的不同方向的彈性特征不同，稱為一般均質(zhì)各向異性體，它具有36個非零的彈性系數(shù)，但其中21個獨立的彈性系數(shù)。若物體中的每一點出現(xiàn)有對稱的方向，這些方向上的彈性特征相同，它就具有彈性對稱。具有彈性對稱的物體，廣義虎可定律的方程和能量函數(shù)的表達式都可以簡化，在彈性系數(shù)之間出現(xiàn)依賴關系。

Voigt對稱性:可證明張量L對雙指標ij和kl具有對稱性。第二章各向異性彈性力學2.4.1一個彈性對稱面

彈性對稱面就是指經(jīng)過物體內(nèi)的每一點都有這樣的平面，在這個平面的對稱方向上彈性特性是相同的。取xy坐標面與彈性對稱面平行，z軸與彈性對稱面垂直（如圖），現(xiàn)研究體微元ABCDE的彈性對稱問題。

由彈性對稱面的定義知，當?shù)怪脄軸時，在坐標系(x、y、z)和（x、y、）中，體微元具有相同的應力、應變關系。換言之，彈性系數(shù)、不因倒置z軸而發(fā)生變化。

圖2－5第二章各向異性彈性力學彈性體單位體積的應變能是應變狀態(tài)的單位函數(shù)，而且能量是標量，不因坐標的選擇不同而改變其量值。但是當z軸變成軸時，有些物理量將變號。用u，v，w和u，v，w’分別表示兩坐標中的位移分量，存在著下述關系：與有關的剪應變分別為：所以可得：

也就是說，z軸倒置時，與z方向有關的剪應變分量變號。

（2－16）（2－17）第二章各向異性彈性力學由的表達式不難看出，除非含和的一次項的剛度系數(shù)等于零，否則不能保證的量值不變。于是，有剛度系數(shù)減少了8個，剩下13個。同樣可以證明，柔度系數(shù)也剩下13個。于是，當z軸垂直彈性對稱面時，應力、應變關系為：

（2－18）垂直于彈性對稱面的方向為彈性主方向，坐標軸在彈性主方向時稱為彈性主軸。上述的z軸即為彈性主軸。

第二章各向異性彈性力學只有13個(21-8)彈性常數(shù)第二章各向異性彈性力學如果其他應力分量為0,當沿彈性主軸拉伸時,除縱向伸長,橫向收縮外,還會引起與主軸垂直的面(彈性對稱面)內(nèi)的剪應變,且彈性主軸方向不變第二章各向異性彈性力學2.4.2三個彈性對稱面——正交異性

若經(jīng)過均質(zhì)彈性體的每一點都有三個互相垂直的彈性對稱面，則稱之為正交異性彈性體。

取坐標x，y，z方向為彈性主方向。沿用前面的方法，將y軸轉(zhuǎn)1800成y’軸，因為和變號，必須有：

新增加的等于零的剛度系數(shù)是后四個。再轉(zhuǎn)動x軸不能增加新的等于零的剛度系數(shù)。將z軸轉(zhuǎn)1800成z’軸同樣可以得出，新增加的等于零的柔度系數(shù)為四個。獨立的彈性系數(shù)剩下9個。從而得到應力應變關系為：第二章各向異性彈性力學設僅有作用,其余應力分量為0,這時應變能對于上述兩種坐標系計算時,變號，為了使W保持不變,必須使同理利用彈性主軸改變,彈性能不變的原理證明:第二章各向異性彈性力學（2－19）

從上可以看出，對于正交異性體，若坐標方向為彈性主方向，則正應力不引起剪應變，剪應力不引起線應變，反之亦然。

第二章各向異性彈性力學沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象第二章各向異性彈性力學2.4.3一個各向同性面——橫觀各向同性

在平面內(nèi)一切方向的彈性特性均相同的平面稱為各向同性面．如果過材料的每一點都有一個相互平行的各向同性面，就稱為橫觀各向同性材料。

取oxy面為各向同性面，z軸垂直于該面．顯然當涉及x或y方向時，剛度系數(shù)的下標可以不加區(qū)別，即，，而且可以證明。因此，獨立的彈性常數(shù)減少為5個，應力應變關系簡化為：

第二章各向異性彈性力學（2－20）第二章各向異性彈性力學2.4.4完全對稱——各向同性

若經(jīng)過均質(zhì)體內(nèi)每一點的任意方向上彈性特性均相同，即任意方向都是彈性主方向，則稱之為各向同性體。顯然，彈性系數(shù)之間存在下述關系：

對于各向同性材料，彈性系數(shù)與方向無關。應力應變關系為（顯然只有兩個獨立的彈性常數(shù)了）：（2－21）第二章各向異性彈性力學2.4.5小結(jié)

表2第二章各向異性彈性力學2.5正交異性材料彈性常數(shù)的物理意義

在本構(gòu)關系式中，剛度矩陣和柔度矩陣雖然是聯(lián)系應力和應變的數(shù)學符號，但是也有其物理意義。通過簡單的拉伸試驗和剪切試驗，可以導出各分量與材料機械性能之間的關系，稱為用工程常數(shù)表示。

首先：研究沿彈性主方向1簡單拉伸情況（如圖2－6

）

（圖2－6）第二章各向異性彈性力學其應力和應變張量為：根據(jù)正交異性材料的本構(gòu)關系，可得到：由此可得：同理，根據(jù)2和3方向的簡單拉伸，可得：

第二章各向異性彈性力學式中和即為人們所熟悉的工程彈性常數(shù)，是i方向的彈性模量，是i方向正應力引起j方向橫向應變的泊松比。

其次：研究一個純剪切試驗，這時應力和應變張量為：同樣根據(jù)本構(gòu)關系可寫出：于是得到：第二章各向異性彈性力學類似的有：由此得到用工程常數(shù)表達的正交異性材料柔度矩陣為（剛度系數(shù)的表示可由剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關系得到）：第二章各向異性彈性力學2.5.1正交異性體的彈性系數(shù)(由物理意義可求）1.剛度系數(shù)和柔度系數(shù)的關系

因為剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的:，所以根據(jù)求逆法則，可得到相互關系：其中

在用剛度系數(shù)表示柔度系數(shù)時，只要將式中的C與S互換即可。（2－22）第二章各向異性彈性力學2.剛度系數(shù)、柔度系數(shù)與