第五章

一元一次方程5.3

應(yīng)用一元一次方程——水箱變高了第1課時

1課堂講解列一元一次方程解實際問題的步驟

設(shè)未知數(shù)的方法

一元一次方程設(shè)未知數(shù)方法的應(yīng)用2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升解一元一次方程的一般步驟有哪些？復(fù)習(xí)回顧1知識點列一元一次方程解實際問題的步驟列方程解應(yīng)用題的一般步驟：

設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗所得結(jié)果、確定答案；可簡要地概括為“設(shè)、列、解、檢、答”．知1－講

例13月12日是植樹節(jié)，七年級170名學(xué)生參加

義務(wù)植樹活動，如果平均一名男生一天能

挖樹坑3個，平均一名女生一天能種樹7棵，

要正好使每個樹坑種一棵樹，則該年級的

男生、女生各有多少人？(1)審題：審清題意，找出已知量和未知量；知1－講（來自《典中點》）知1－講(2)設(shè)未知數(shù)：設(shè)該年級的男生有x人，那么女生有__________人；(3)列方程：根據(jù)相等關(guān)系，列方程為_____________；(4)解方程，得x＝________，則女生有________人；(5)檢驗：將解得的未知數(shù)的值放入實際問題中進行

驗證；(6)作答：答：該年級有男生____人，女生____人．(170－x)3x=7(170－x)1195111951（來自《典中點》）總

結(jié)知1－講列方程解應(yīng)用題注意事項：(1)列方程解實際問題的關(guān)鍵是找相等關(guān)系．(2)列方程時，方程兩邊所表示的量必須相等，并

且各項的單位一定要統(tǒng)一．(3)解出方程的解還要檢驗其是否符合實際意義．（來自《典中點》）知1－練（來自《典中點》）1用一元一次方程解決實際問題，關(guān)鍵在于抓住

問題中的____________，列出__________，求

得方程的解后，經(jīng)過__________，得到實際問

題的解答．這一過程也可以簡單地表述為：問題

相等關(guān)系方程檢驗方程解答2知識點設(shè)未知數(shù)的方法知2－講設(shè)未知數(shù)的方法：(1)直接設(shè)未知數(shù)：即題目求什么就設(shè)什么為未知數(shù)；(2)間接設(shè)未知數(shù)：直接設(shè)所求的量為未知數(shù)，不便列方程時，可設(shè)與所求量有關(guān)系的量作為未知數(shù)，進而求出所求的量．知2－講

例2某商場甲、乙兩個柜臺12月份營業(yè)額共計64萬元，1月份甲增長了20%，乙增長了15%，營業(yè)額達到75萬元，求兩個柜臺各

增長了多少萬元．分析：從題中已知有如下相等關(guān)系：（來自《典中點》）知2－講（來自《典中點》）12月份甲柜臺的營業(yè)額＋12月份乙柜臺的營業(yè)額＝________萬元，1月份甲柜臺的營業(yè)額＋1月份乙柜臺的營業(yè)額＝________萬元．

↓

↓甲柜臺12月份的營業(yè)額×(1＋20%)乙柜臺12月份的營業(yè)額×(1＋15%)6475知2－講（來自《典中點》）解：方法1：設(shè)1月份甲柜臺的營業(yè)額增長了x萬元，則1月份乙柜臺的營業(yè)額增長了____________萬元，依題意，列方程可得解之得x＝________．75－64－x＝________________＝________．方法2：設(shè)12月份甲柜臺的營業(yè)額是y萬元，則乙柜臺的營業(yè)額是(64－y)萬元．(75－64－x)75－64－x5.675－64－5.65.4知2－講（來自《典中點》）依據(jù)題意，列方程得______________________________________，

解得y＝________．所以甲柜臺增長了______×20%＝______(萬元)，乙柜臺增長了__________×15%＝_______(萬元)．答：甲柜臺的營業(yè)額增長了________萬元，乙柜臺的營業(yè)額增長了________萬元．(1＋20%)y＋(1＋15%)(64－y)＝7528285.6(64－28)5.45.65.43知識點一元一次方程解法的應(yīng)用知3－講例3一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字少3，

兩個數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的，求這個兩

位數(shù)．解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為(x＋3)．由題意，得x＋(x＋3)＝[10x＋(x＋3)]．解得x＝3，所以x＋3＝6.答：這個兩位數(shù)為36.（來自《典中點》）例4現(xiàn)有菜地975公頃，要種植白菜、西紅柿和

芹菜，其中種白菜與種西紅柿的面積比是3:2，種西紅柿與種芹菜的面積比是5:7，則

三種蔬菜各種多少公頃？解：因為3:2＝15:10，5:7＝10:14，所以白菜、西

紅柿、芹菜的種植面積之比為15:10:14.知3－講（來自《典中點》）設(shè)白菜的種植面積為15x公頃，則西紅柿的種植面積為10x公頃，芹菜的種植面積為14x公頃．根據(jù)題意，得15x＋10x＋14x＝975，解得x＝25.則15x＝375，10x＝250，14x＝350.答：種白菜的面積為375公頃，種西紅柿的面積為250公頃，種芹菜的面積為350公頃．知3－講（來自《典中點》）例5甲種貨車和乙種貨車的裝載量及每輛車的

運費如下表所示，現(xiàn)有貨物130t，要求一

次裝完，并且每輛要滿載，探究怎樣安排

運費最??？需多少元？知3－講（來自《典中點》）甲乙每輛車裝載量30t20t每輛車的運費500元400元解：設(shè)甲種貨車為x輛，則乙種貨車為且x是自然數(shù)，當(dāng)x＝1時，

運費為1×500＋5×400＝2500(元)；當(dāng)x＝3時，運費為3×500＋2×400＝2300(元)＜2500(元)．故安排3輛甲種貨車和2輛乙種貨車，運費最省，

需2300元．知3－講（來自《典中點》）總

結(jié)知3－講此題關(guān)鍵是審清表格，利用車輛數(shù)為自然數(shù)這一特殊情況進行嘗試，直到符合條件為止，將所有的可能都列舉出來，進行比較．（來自《典中點》）

例6

(中考·佛山)某景點的門票價格如表：某校七年級(1)、(2)兩班計劃去游覽該景點，

其中(1)班人數(shù)少于50人，(2)班人數(shù)多于50

人且少于100人，如果兩班都以班為單位單

獨購票，則一共支付1118；如果兩班聯(lián)合

起來作為一個團體購票，則只需花費816元．知3－講（來自《典中點》）購票人數(shù)/人1～5051～100100以上每人門票價/元12108(1)兩個班各有多少名學(xué)生？(2)團體購票與單獨購票相比較，兩個班各節(jié)約了

多少錢？解：(1)設(shè)七年級(1)班有x人，則七年級(2)班有由題意，得8×解得x＝49.則知3－講（來自《典中點》）答：七年級(1)班有49人，七年級(2)班有53人．(2)七年級(1)班節(jié)省的費用為(12－8)×49＝196(元)；七年級(2)班節(jié)省的費用為(12－10)×53＝106(元)．答：七年級(1)班節(jié)省了196元，七年級(2)班節(jié)

省了106元．知3－講（來自《典中點》）1墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如下圖實線所示(單位：cm).小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如下圖虛線所示.小穎所釘長方形的長、寬各為多少厘米？知3－練（來自教材）長14cm，寬10cm.2(中考·河池)聯(lián)華商場以150元/臺的價格購進某款

電風(fēng)扇若干臺，很快售完．商場用相同的貨款再次購進這款電風(fēng)扇，因價格提高30元，進貨量減少了10臺．(1)這兩次各購進電風(fēng)扇多少臺？(2)商場以250元/臺的售價賣完這兩批電風(fēng)扇，

商場獲利多少元？知3－練（來自《典中點》）解：(1)設(shè)第一次購進電風(fēng)扇x臺，則第二次購進電風(fēng)扇(x－10)臺．由題意可得150x＝180(x－10)，解得x＝60.則x－10＝60－10＝50.所以第一次購進電風(fēng)扇60臺，第二次購進電風(fēng)扇50臺．

知3－練

(2)商場獲利為(250－150)×60＋(250－180)×50＝9500(元)．所以商場以250元/臺的售價賣完這兩批電風(fēng)扇，商場獲利9500元．知3－練（來自《典中點》）3洗衣機廠今年計劃生產(chǎn)洗衣機25500臺，其中A型，B型，C型三種洗衣機的產(chǎn)量之比為1:2:14，這三種洗衣機分別計劃生產(chǎn)多少臺？

知3－練（來自《典中點》）解：設(shè)A型、B型、C型這三種洗衣機分別計劃生產(chǎn)

x臺、2x臺、14x臺．由題意得x＋2x＋14x＝25500.解得x＝1500.所以2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000.

答：這三種洗衣機分別計劃生產(chǎn)1500臺、3000臺、

21000臺．知3－練（來自《典中點》）設(shè)未知數(shù)，列方程用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下:實際問題一元一次方程實際問題的答案一元一次方程的解（x＝a）解方程檢驗補充:請完成《典中點》剩余部分習(xí)題第五章

一元一次方程5.3

應(yīng)用一元一次方程——水箱變高了第2課時

1課堂講解長度關(guān)系等積變形2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升列一元一次方程解實際問題的步驟有哪些？復(fù)習(xí)回顧

1知識點長度關(guān)系預(yù)習(xí)準備1、長方形的周長=_____________；面積=________.

2、長方體的體積=___________；正方體的體積=

________.

3、圓的周長=_________；面積=_________.

4、圓柱的體積=____________.

知1－導(dǎo)（長＋寬）×2長×寬長×寬×高棱長32π×半徑π×半徑2底面積×高知1－講1.等長變形是指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變

化前后的物體的周長不變．2.一般用固定長度的線段圍成不同形狀的圖形，關(guān)

鍵是根據(jù)周長這一固定值列方程求解．

例1

用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形．使長方形的寬是長的，求這個長方形的長、寬．(按長、寬的順序填寫)解：設(shè)長方形的長為x厘米，則寬為厘米．根據(jù)題意，得．解得x=18，．答：長和寬分別為18厘米，12厘米．知1－講總

結(jié)知1－講本題中總量是周長，各部分量是長方形的四條邊長；按照“總量＝各部分量的和”的思路列出方程.

知1－練（來自《典中點》）1一個長方形的周長是16cm，長比寬多2cm，

那么這個長方形的長與寬分別是(

)A．9cm，7cm

B．5cm，3cmC．7cm，5cmD．10cm，6cmB知1－練（來自《典中點》）2一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，

寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為(

)A．6cm

B．7cm

C．8cm

D．9cm3一個三角形的三條邊的長度之比為2:4:5，最

長的邊比最短的邊長6cm，求該三角形的周長．B設(shè)該三角形的邊長分別為2x，4x，5x5x－2x＝6，即x＝2.該三角形的周長為2x＋4x＋5x＝22cm.2知識點等積變形知2－講“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?，常用的關(guān)系有：（1）形狀變了，體積沒變；（2）原材料體積=成品體積.知2－講

某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱.現(xiàn)該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m.那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4m變?yōu)槎嗌倜?？?－講在這個問題中有如下的等量關(guān)系：舊水箱的容積=新水箱的容積.設(shè)水箱的高變?yōu)閤m，填寫下表：舊水箱新水箱底面半徑/m高/m容積/m3根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：_____________.解得x=________.因此，水箱的高變成了_______m.列方程時，關(guān)鍵是找出問題中的等量關(guān)系.知2－講

等積變形指圖形或物體的形狀發(fā)生變化，但變化前后的體積或面積不變．等積變形問題中的等量關(guān)系是：變化前圖形或物體的體積(面積)＝變化后圖形或物體的體積(面積)．知2－講例2用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)使得該長方形的長比寬多1.4m，此時長方形的

長、寬各為多少米？(2)使得該長方形的長比寬多0.8m，此時長方形的

長、寬各為多少米?它所圍成的長方形與(1)中

所圍長方形相比，面積有什么變化？(3)使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方

形，此時正方形的邊長是多少米？它所圍成的

面積與(2)中相比又有什么變化？（來自教材）知2－講分析：由題意可知，長方形的周長始終是不變的，

即長與寬的和為：10×個問題的過程中，要抓住這個等量關(guān)系.解：(1)設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為(x＋1.4)m.根據(jù)題意，得x

＋

x

＋1.4=10×解這個方程，得

x=1.8.1.8＋1.4=3.2.此時長方形的長為3.2m,寬為1.8m.（來自教材）知2－講(2)設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為(x

＋0.8)m.根據(jù)題意，得x

＋

x

＋0.8=10×解這個方程，得 x=2.1.2.1＋0.8=2.9.此時長方形的長為2.9m,寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中長方形的面積為3.2×1.8=5.76(m2).此時長方形的面積比(1)中長方形的面積

增大6.09－5.76=0.33(m2).（來自教材）知2－講(3)設(shè)正方形的邊長為xm.根據(jù)題意，得x＋x=10×

解這個方程，得

x=2.5.正方形的邊長為2.5m,正方形的面積為2.5×2.5=6.25(m2),比(2)中面積增大6.25－6.09=0.16(m2).

（來自教材）同樣長的鐵絲可以圍更大的地方.知2－講例3將裝滿水的底面直徑為40cm，高為60cm

的圓柱形水桶里的水全部灌于另一個底面

直徑為50cm的圓柱形水桶里，這時水面的

高度是多少厘米？導(dǎo)引：本題中的等量關(guān)系為：底面直徑為40cm，

高為60cm的圓柱形水桶中水的體積＝底面

直徑為50cm的圓柱形水桶中水的體積，故

可設(shè)這時水面的高度為xcm，用含x的式子

表示出水的體積即可．（來自《點撥》）知2－講解：設(shè)這時水面的高度為xcm，

根據(jù)題意可得：解得x＝38.4.答：這時水面的高度為38.4cm.（來自《點撥》）總

結(jié)知2－講此類題目要熟記體積公式，如V圓柱＝πR2h，V長方體＝abh，V正方體＝a3.（來自《點撥》）知2－講

例4在長為10m，寬為8m的長方形空地中，沿

平行于長方形各邊的方向分割出三個完全

相同的小長方形花圃，其示意圖如圖所示．

求小長方形花圃的長和寬．（來自《典中點》）知2－講解：設(shè)小長方形的長為xm，則寬為(10－2x)m.由題意得x＋2(10－2x)＝8，

x＋20－4x＝8，－3x＝－12，