PAGEPAGE1關(guān)于“統(tǒng)計與概率”教學(xué)實踐的反思上海市靜安區(qū)教育學(xué)院曹培英把統(tǒng)計圖表列入小學(xué)算術(shù)的教學(xué)內(nèi)容，始于1956年的教學(xué)大綱。到1978年的大綱增加了數(shù)據(jù)整理，從此基本形成了小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計初步知識”的教學(xué)框架。義務(wù)教育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱進一步強調(diào)：“使學(xué)生了解一些簡單的統(tǒng)計思想和方法，逐步看懂簡單的統(tǒng)計圖表，對于繪制統(tǒng)計圖表的要求不宜過高”。但在內(nèi)容上，大致保持不變，只是將平均數(shù)由原來的“應(yīng)用題”改為“統(tǒng)計初步知識”。本次課程改革，不僅引進了概率的初步認識，加強了從數(shù)據(jù)收集、整理到運用數(shù)據(jù)進行分析、推斷的過程，而且增加了教學(xué)時數(shù)，改變了編排方式，改革的力度是相當(dāng)大的。從教學(xué)內(nèi)容看，我們大體上經(jīng)歷了由“統(tǒng)計圖表”到“統(tǒng)計初步知識”，再到“統(tǒng)計與概率”三個發(fā)展階段；從內(nèi)容編排看，前兩個階段，基本上是集中在高年級的幾個單元進行教學(xué)，現(xiàn)今的第三階段，則分散在各年級甚至各學(xué)期進行教學(xué)。經(jīng)過幾年的實踐，在相關(guān)教材與教學(xué)等方面都積累了不少經(jīng)驗與反思。限于時間與篇幅，本文僅就統(tǒng)計與概率教學(xué)的若干細節(jié)問題，從現(xiàn)象入手，加以分析，并略陳個人管見。一、關(guān)于“可能性”教學(xué)的若干反思1.“誰做的好事”——什么是隨機事件？一次公開教學(xué)，為了引出用分數(shù)表示可能性，教師創(chuàng)設(shè)情境：“王老師收到一封表揚信，表揚我們班一位女同學(xué)幫助低年級小朋友，你們猜猜她是誰？”教師的設(shè)想是引導(dǎo)學(xué)生用“不可能”、“可能”與“可能性”來回答，引出：不可能是男生；全班20個女生都有可能；每人的可能性都是1/20。不料第一個回答的學(xué)生就讓教師尷尬：“不用猜，我知道她是××”?！n后這一問題情境引發(fā)了爭議：不論同學(xué)是否知道，某位學(xué)生做好事受表揚是隨機事件嗎？概率論中人們把隨機現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合稱作隨機事件?？梢?，為了定義隨機事件，需要先從確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象講起。確定性現(xiàn)象大家都已知道。所謂“隨機現(xiàn)象”是指在基本條件不變的情況下，一系列試驗或觀察會得到不同結(jié)果的現(xiàn)象。更確切地說，概率論研究的隨機現(xiàn)象是指在一次試驗或觀察中結(jié)果不能預(yù)先確定，而在大量重復(fù)試驗中結(jié)果具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為“隨機試驗”。隨機試驗所有可能結(jié)果的集合叫做“樣本空間”，樣本空間的任何一個子集稱為“隨機事件”。如此一環(huán)扣一環(huán)地定義隨機事件的概念是為了數(shù)學(xué)研究的需要。對于我們來說，重要的是理解隨機現(xiàn)象的以下特點：①可以在相同的條件下重復(fù)進行實驗；②其結(jié)果具有多種可能性；③在每次試驗前，不能預(yù)言將出現(xiàn)哪一個結(jié)果，但知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。顯然“某位同學(xué)是否做好事”，通常不能“在相同條件下重復(fù)進行實驗”，因為實驗的條件因素比較復(fù)雜，難以復(fù)制，也難以預(yù)知“所有可能出現(xiàn)的結(jié)果”，所以不宜作為隨機事件來討論。有數(shù)學(xué)家把類似的事件稱之為“人造的偽隨機事件”。王梓坤：論隨機性.《數(shù)學(xué)通報》2004年第4期.我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意選擇比較典型的隨機事件，避免似是而非！2.“拋紙杯”沒意思——教材中出現(xiàn)了哪幾種概型？幾次參與可能性教學(xué)內(nèi)容的備課，執(zhí)教老師對“拋紙杯”、“擲圖釘”之類的實驗都不感興趣，即使教材中有，也常被舍棄，代之轉(zhuǎn)盤實驗。為什么呢？回答幾近相同：“轉(zhuǎn)盤更好玩，容易引起學(xué)生的實驗興趣……”要讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)好玩”是對的，但問題是這些不同的實驗，除了實驗器具和方式不同以外，是否還有什么不同的數(shù)學(xué)背景呢？為此，有必要搞清小學(xué)數(shù)學(xué)教材里已經(jīng)出現(xiàn)了哪幾種概率？目前，教材中出現(xiàn)最多的是古典概率，如摸球、拋硬幣、擲骰子等等。古典概率的特征是：所有可能結(jié)果的個數(shù)是有限的；每個結(jié)果具有等可能性。于是，很自然會產(chǎn)生新的問題，如果所有可能結(jié)果的個數(shù)是無限的，又該用什么樣的概率來刻畫呢？事實上，正是基于這樣的需要，生成了幾何概率。例如小學(xué)課本中的轉(zhuǎn)盤游戲，理論上可以分為無限等份。幾何概率的特征是：所有可能結(jié)果的個數(shù)是無限的；每個結(jié)果具有等可能性。古典概率與幾何概率都要求隨機事件的每個結(jié)果是等可能的，那么，不具有等可能性的隨機事件，可以用哪種概率來表示呢？此時最簡單的解決辦法就是通過做試驗，有些實驗還可以讓計算機代勞，將大量重復(fù)實驗得到的隨機事件出現(xiàn)頻率作為概率的估計值。因此，相對于“計算”，試驗是獲取概率的更一般的方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，“拋紙杯”、“擲圖釘”，以及“投籃”等，都是比較典型的、適合用統(tǒng)計概率來刻畫的實驗。一般來說，非等可能的事件才真正需要統(tǒng)計概率，才能讓學(xué)生感悟?qū)嶒?、統(tǒng)計的必要性。右面是人教版教材的一頁練習(xí)。第1題，擲正方體骰子，典型的古典概型；第2題，轉(zhuǎn)盤指針的無限個落點被等分成四個區(qū)域，幾何概型轉(zhuǎn)化為古典概型；第3題，長方體骰子三組面的大小有明顯區(qū)別，朝上的可能性顯然不相等，是比較典型的統(tǒng)計概型，所以教材特別提醒學(xué)生“想一想，試一試”。3.“拋硬幣”想說喜歡你不容易——古典概率的等可能性需要驗證嗎？以前，整個義務(wù)教育階段都不出現(xiàn)概率的初步認識，以致學(xué)生到了初中畢業(yè)還不能真正理解天氣預(yù)報里“降水概率”的含義?，F(xiàn)在，彌補了這一知識缺失，重視了概率初步認識的教學(xué)，于是小學(xué)、初中、高中的數(shù)學(xué)課堂上都在“拋硬幣”。拋硬幣確實是一個有助于學(xué)生感悟隨機性的簡便易行的實驗，但在實際教學(xué)中，大多將它處理為驗證等可能性的手段，從而常常讓老師處于尷尬境地。例如一位骨干教師，為了通過實驗得出“拋得次數(shù)越多，硬幣正面朝上的可能性越接近一半”的結(jié)論，經(jīng)過反復(fù)設(shè)計、試教、修改，關(guān)注、改進了一系列的教學(xué)細節(jié)，正式公開教學(xué)時，還是出現(xiàn)了老師最不愿意面對的實驗結(jié)果：拋得累計次數(shù)越多，誤差越大。學(xué)生們議論紛紛，有的指出某小組拋的動作問題，有的建議重新實驗。最后教師通過計算機模擬演示，并出示歷史上幾位數(shù)學(xué)家的實驗數(shù)據(jù)，讓學(xué)生相信了“次數(shù)越多，越接近一半”的結(jié)論。事實上，如果學(xué)生仔細觀察數(shù)學(xué)家的實驗數(shù)據(jù)，也仍然可能出現(xiàn)“誤讀”現(xiàn)象。且不說不同數(shù)學(xué)家的拋的硬幣與動作是否完成相同，僅看數(shù)據(jù)：試驗者拋幣次數(shù)正面朝上次數(shù)反面朝上次數(shù)相差次數(shù)費勒100004979502121皮爾遜24000120121198812羅曼諾夫斯基806403969940941621羅曼諾夫斯基拋得最多，與正面朝上的期望次數(shù)相差最大。而且，即使計算頻率，也不難發(fā)現(xiàn)羅曼諾夫斯基拋得最多，誤差率卻最大。退回來想，拋兩次，一正一反，誤差為0；再拋，無論多少次，誤差總是忽大忽小……難道概率論的大數(shù)定律也會給我們開玩笑嗎？大數(shù)定律有多個，通常引用比較基本的貝努里大數(shù)定律：上式看上去是在告訴我們，當(dāng)時，頻率在概率附近擺動，但必須指出的是，由于概率是隨機現(xiàn)象的可能性的賦值，對于任給的，可能存在偶然因素，從而得不到。這與數(shù)學(xué)分析里的極限概念是有區(qū)別的。簡單地說，上述大數(shù)定律揭示的規(guī)律是：事件發(fā)生的頻率依概率趨近于事件的概率。所謂“依概率趨近”是指，當(dāng)時，不是頻率與概率的誤差越來越小，而是誤差偏大的可能性越來越小。通常認為，古典概率的等可能性，一般不是通過實驗驗證的，往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗”確認的。有些教師多次嘗試拋硬幣實驗之后感慨：能否“驗證”要憑運氣。其實這恰恰體現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的隨機性和可能性的魅力。二、有關(guān)“集中量數(shù)”教學(xué)的若干反思1.“踢毽子”惹的麻煩——是否應(yīng)該讓平均數(shù)回歸統(tǒng)計？在一節(jié)引入平均數(shù)的新授課上，教師組織兩組各4個同學(xué)比賽踢毽子，在黑板上記錄各人成績。問：怎樣比較哪個組踢毽子的整體水平高？當(dāng)然是比較總數(shù)。然后教師加入比賽，使弱勢組踢的總數(shù)大大反超另一組。從而引出問題：當(dāng)人數(shù)不相等時，比較什么才公平？有同學(xué)認為，老師踢的不能算進來，同學(xué)和同學(xué)比才公平。教師沒有理睬，以至一位學(xué)生，直到下課還在嘟囔：“老師偏心眼，老師不公平”……課后教師反思：我不該踢得那么多，引起部分學(xué)生反感。有同伴建議道：教育那幾個反對老師加入的同學(xué)，讓他們發(fā)揚風(fēng)格。這是發(fā)揚風(fēng)格的教育問題嗎？類似偏離平均數(shù)統(tǒng)計意義的現(xiàn)象也反映在練習(xí)題中：某商店被授權(quán)銷售2008年北京奧運會的吉祥物“福娃”，前3天平均每天售出360套，后5天共售出2400套，這個商店8天里平均每天售出“福娃”多少套？在現(xiàn)實統(tǒng)計工作中，一般不會“前3天”統(tǒng)計平均每天售出多少套，“后5天”統(tǒng)計一共售出多少套，這樣的統(tǒng)計方式，既不規(guī)范，又不切實際。個別現(xiàn)象一旦流行，或爭相仿效，或成常規(guī)訓(xùn)練項目，就應(yīng)當(dāng)警惕其中的變異。首先，平均數(shù)的引入，統(tǒng)計目的不明確，自娛自樂，而且人為制造極端數(shù)據(jù)。其次，平均數(shù)的應(yīng)用，統(tǒng)計方式不一致，隨心所欲，人為設(shè)置審題陷阱。從1992年義務(wù)教育的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱把平均數(shù)歸入統(tǒng)計初步知識起，我們一直在努力讓平均數(shù)恢復(fù)統(tǒng)計的本來面目。平均數(shù)的統(tǒng)計意義，在于用一個數(shù)來代表一組原始數(shù)據(jù)整體的一般水平，而且每個原始數(shù)據(jù)的大小變化或多或少都能在這個數(shù)里得到反映。平均數(shù)自身的重要“變式”在于，當(dāng)出現(xiàn)相等數(shù)據(jù)時，算術(shù)平均數(shù)就成了加權(quán)平均數(shù)。實踐表明，小學(xué)生對“權(quán)重”的理解常常是模糊的。例如，平均數(shù)的拓展應(yīng)用，計算步測的平均步數(shù)。已知小胖在兩地之間走了4次，分別是82、83、84、84步，有學(xué)生認為應(yīng)該取三個不同步數(shù)的平均數(shù)83，重復(fù)的84不應(yīng)該算進來。這一想法還得到了一部分同學(xué)的認同，以致有教師也認為有道理。過去，我們總以為平均數(shù)的意義很淺顯，就是“移多補少”；平均數(shù)的計算也很簡單，“總數(shù)÷總份數(shù)”。于是一味在“總數(shù)”與“總份數(shù)”的“相對應(yīng)”上動腦筋，人為設(shè)計各種變式。事實上，平均數(shù)的統(tǒng)計意義還在于，它是一個相當(dāng)敏感的集中量數(shù)，任何一個原始數(shù)據(jù)的大小變化都會影響到它，也正是由于平均數(shù)的敏感性，所以極端數(shù)據(jù)會影響平均數(shù)的代表性。平均數(shù)統(tǒng)計意義的這些內(nèi)涵，至今仍較少進入我們的教學(xué)視野。2.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，越辨析越糊涂——統(tǒng)計基礎(chǔ)知識的邊界在哪里？教師甲：我的學(xué)生會求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，但要區(qū)分什么情況下用平均數(shù)或中位數(shù)、眾數(shù)合適，連我自己都說不清楚。教師乙：我試了多種方式，啟發(fā)學(xué)生比較。如，課件出示：六（1）班同學(xué)體重情況如下表。體重/kg30333639424548人數(shù)245121043（1）在上面這組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？（2）不用計算，你能發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)之間的大小關(guān)系嗎？（小組討論）（3）用什么統(tǒng)計量表示他們體重的一般水平比較合適？前兩個問題學(xué)生都能回答，沒有疑義，第三個問題的討論“一片混亂”。教學(xué)過程中我?guī)状胃淖償?shù)據(jù)，讓學(xué)生看到平均數(shù)與中位數(shù)可能相差很大，眾數(shù)可能不存在，到最后也只是什么情況下用或不用眾數(shù)的看法比較一致。這是教師教學(xué)設(shè)計的問題嗎？以往初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗告訴我們：平均數(shù)、中位數(shù)在初中教學(xué)時，一直是學(xué)生容易混淆的。曹培英：關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的幾點思考.《課程·教材·教法》曹培英：關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的幾點思考.《課程·教材·教法》2005年第5期筆者曾經(jīng)在接待一位耶魯大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院教授時，請他談?wù)剬τ诹x務(wù)教育階段學(xué)習(xí)三個集中量數(shù)的評論。回答出乎意料：“我不知道統(tǒng)計中有‘眾數(shù)’這個概念…”向他陳述眾數(shù)的定義，回答是：“我還沒有遇到必須用上這個集中量數(shù)的統(tǒng)計問題?！蹦澄唤y(tǒng)計學(xué)專家稱“不知道”，只能說是一個極端的例子。事實上不少統(tǒng)計學(xué)教材中都有類似的斷語：眾數(shù)在統(tǒng)計上用作集中趨勢的代表數(shù)，價值較?。槐姅?shù)對于進一步的統(tǒng)計學(xué)計算與分析不具備應(yīng)用價值。反思我國以往的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，“窄而深”，并形成了“深挖洞”的傾向，由此欣賞國外“淺而廣”的教學(xué)內(nèi)容處理方式。但實際上國外也有不少認為教學(xué)內(nèi)容不宜“幾英里寬、一英寸厚”的觀點。就小學(xué)階段集中量數(shù)的教學(xué)邊界而言，筆者以為，人人應(yīng)該掌握的還是平均數(shù)，“攤薄餅”與“深挖洞”同樣具有片面性。三、對于“統(tǒng)計圖表”教學(xué)的若干反思1.今天的教學(xué)重點是“一格表示2”——一次說課比賽，一位教師坦言：本課條形統(tǒng)計圖初步認識的教學(xué)重點是“一格表示2”，但我認為它不是教學(xué)的難點，因為學(xué)生理解沒有困難如今，從“一格表示1”到“一格表示2”、“一格表示5”……成了統(tǒng)計圖教學(xué)公認的“你知道這個“序”的由來嗎？《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部的華老師曾經(jīng)講述這樣一個故事：十多年前，他是當(dāng)時上海市小學(xué)數(shù)學(xué)新教材的責(zé)任編輯。制圖人員找到他，說是低年級教材中的一幅條形統(tǒng)計圖刻度多，太密了，制圖印刷效果受影響。由于時間很緊，為了不耽誤教材供應(yīng)，華老師就答應(yīng)制圖人員修改刻度。教材出來了，編寫組的同志提意見：圖臨時改了，教參沒做說明；教師們鉆研教材，發(fā)現(xiàn)“一格表示2”，認為新出現(xiàn)了的一個“知識點”過去，統(tǒng)計圖集中在高年級教學(xué)，一格表示幾、幾十、幾百是任意的。在數(shù)學(xué)課教學(xué)統(tǒng)計圖之前，小學(xué)自然課本出現(xiàn)的統(tǒng)計圖，刻度也是任意的，沒人教，學(xué)生都能看懂，為什么現(xiàn)在卻要教得這么細呢？對此筆者以為，一方面，隨著兒童成熟能自然而然解決的問題，就不一定非得提前教。另一方面，讓它自然出現(xiàn)，不教！行嗎？實踐可以回答。相關(guān)的問題是“畫統(tǒng)計圖的技能”如何掌握尺度？討論這個問題的背景，一是面對“信息時代”、“讀圖時代”的需求，發(fā)展“統(tǒng)計觀念”、“數(shù)據(jù)分析觀念”成為學(xué)習(xí)統(tǒng)計的核心目標(biāo)。二是計算機的普及，使圖表繪制趨于“自動化”。如果把完整的統(tǒng)計過程喻為一條魚，過去對“魚頭”（數(shù)據(jù)的采集）、“魚尾”（圖表的解讀）重視不夠，把主要精力放在“燒中段”（圖表的制作）上，現(xiàn)在則主張“燒全魚”。但由于圖表制作的操作可以由計算機替代，這與一般數(shù)學(xué)過程的“燒中段”（推導(dǎo)與計算）不同。因此，吃好“魚頭”、“魚尾”適度兼顧“中段”在統(tǒng)計學(xué)習(xí)領(lǐng)域顯得更為適宜。讓學(xué)生涂格子、畫條形，描點、連線的作用主要在于“手腦并用”、“數(shù)形結(jié)合”，以幫助學(xué)生積累數(shù)據(jù)的“量感”，感知數(shù)量的“變化”，而不是訓(xùn)練熟練制作圖表的操作工。2.訓(xùn)練讀圖的練習(xí)“看圖填表”——怎樣凸顯圖與表的特點？在統(tǒng)計圖表的教學(xué)過程中，經(jīng)常出現(xiàn)“看表畫圖”與“看圖填表”兩類練習(xí)。一般來說，制作統(tǒng)計圖的過程通常是先填表、再制圖，因此“看表畫圖”順理成章?！翱磮D填表”，逆向操作，當(dāng)然有訓(xùn)練讀圖的功能，或者檢測讀圖技能的功能，但認知價值常常被忽視。以下面左邊的兩題為例，前一題問哪種人數(shù)最多，不填表即可回答；后一題兩個問題都難以顯示折線統(tǒng)計圖的特點，特別是計算平均成績，看表獲取數(shù)據(jù)要方便得多。我們知道，統(tǒng)計圖的特點是形象直觀、便于比較觀察，統(tǒng)計表的特點是數(shù)據(jù)清晰、便于統(tǒng)計計算。讀圖練習(xí)也應(yīng)幫助學(xué)生進一步感知圖的特點，而不是模