一元三次方程解法的幾個(gè)問(wèn)題

一位年輕教師在課堂上面臨著三個(gè)1:3的方程的解決方案。他沒(méi)有找到完整的討論。因此，這項(xiàng)工作的作者在收集數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了研究和分類，特別是獨(dú)立地證明了最終結(jié)論，并改進(jìn)了1:3中方程的解決方案。并為年輕教師和學(xué)生撰寫以下主題。1關(guān)于x型的一元三次方程的實(shí)根按照代數(shù)基本定理,實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)域有且只有三個(gè)根,其中重根按重?cái)?shù)計(jì)算.如果我們能夠確定實(shí)系數(shù)一元三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù),那么,這個(gè)方程有沒(méi)有虛根,以及有幾個(gè)虛根,也就容易確定了.所以我們首先來(lái)討論實(shí)系數(shù)一元三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.一元三次方程與一元三次函數(shù)有密切的聯(lián)系,在研究一元三次方程φ(x)=ax3+bx2+cx+d=0,a≠0根的情況之前,我們先簡(jiǎn)單了解一下函數(shù)y=φ(x)=ax3+bx2+cx+d圖象的情況.函數(shù)y=φ(x)=ax3+bx2+cx+d(-∞<x<+∞)的圖象是一條連續(xù)曲線.如果a>0,則當(dāng)x從-∞變化到+∞時(shí),y的值也從-∞變化到+∞.如果a<0,則當(dāng)x從-∞變化到+∞時(shí),y的值從+∞變化到-∞.一元三次函數(shù)y=φ(x)=ax3+bx2+cx+d(-∞<x<+∞)的圖象是立方拋物線,它有時(shí)有兩個(gè)駐點(diǎn)(又稱靜止點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)),分別是一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),沒(méi)有最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn);有時(shí)它的圖象只有一個(gè)駐點(diǎn),沒(méi)有極值點(diǎn);有時(shí)它的圖象一個(gè)駐點(diǎn)也沒(méi)有.圖1所示是數(shù)學(xué)軟件Mathematica畫出的函數(shù)y=x3+2x2-3x+5的形狀,圖2所示是函數(shù)y=-x3-2x2+3x-5的形狀,這兩個(gè)函數(shù)都有兩個(gè)駐點(diǎn),一個(gè)是極大值點(diǎn),一個(gè)是極小值點(diǎn);圖3所示是函數(shù)y=x3的形狀,它只有一個(gè)駐點(diǎn),沒(méi)有極值點(diǎn);圖4所示是函數(shù)y=x3+x的形狀,它一個(gè)駐點(diǎn)也沒(méi)有,更沒(méi)有極值點(diǎn),它在整個(gè)定義域(-∞,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)上升地從-∞變化到+∞.方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的實(shí)根,就是函數(shù)y=φ(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象與Ox軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因而,函數(shù)y=φ(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象與Ox軸有幾個(gè)交點(diǎn),方程ax3+bx2+cx+d=0就有幾個(gè)實(shí)根.以下不妨假定a>0.否則在方程兩邊同時(shí)乘以-1,就能化成a>0的情況.還可以進(jìn)一步假定a=1.否則在方程兩邊同時(shí)除以a,就能化成a=1的情況.于是我們的問(wèn)題歸結(jié)成為要研究型如X3+a1X2+a2X+a3=0(1)的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題.如果我們對(duì)方程(1)作換元X=x+α?則方程(1)變成為(x+α)3+a1(x+α)2+a2(x+α)+a3=0.(2)把方程(2)中所有的括號(hào)都打開(kāi),然后合并同類項(xiàng),則方程(2)變成x3+(3α+a1)x2+(3α2+2a1α+a2)x+(α3+a1α2+a2α+a3)=0.如果取α=-a13,則上式中x2項(xiàng)的系數(shù)化為零,也就是說(shuō),換元X=x-a13能把方程(1)變成f(x)=x3+px+q=0(3)的形式.我們稱這種首項(xiàng)系數(shù)為1、不含二次項(xiàng)的一元三次方程為導(dǎo)出型的一元三次方程.如果一元三次方程φ(x)=ax3+bx2+cx+d=0的系數(shù)都是實(shí)的,則按照上面所說(shuō)的換元把它變成為導(dǎo)出型方程(3)時(shí),系數(shù)p、q也都是實(shí)的,因而,方程(3)或者有三個(gè)實(shí)根,或者有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.在幾種特殊情況下,方程(3)的根是很容易求出來(lái)的:1.p=q=0,此時(shí)方程(3)成為x3=0,它有三重根x1=x2=x3=0;2.p=0而q≠0,此時(shí)方程(3)成為x3+q=0?x3=-q?x1,2,3=3√-q,這三個(gè)根中有一個(gè)是實(shí)數(shù),有兩個(gè)是虛數(shù);3.p≠0而q=0,此時(shí)方程(3)成為x3+px=0,x(x2+p)=0,x1=0,x22,3=-p,當(dāng)p<0時(shí),x2和x3都是實(shí)根:x2,3=±√-p;當(dāng)p>0時(shí),x2和x3是共軛虛根:x2,3=±i√p.下面我們研究pq≠0,即p≠0且q≠0的情況.為了確定方程(3)到底有幾個(gè)實(shí)根,我們研究一下函數(shù)f(x)=x3+px+q的極大值與極小值的符號(hào)(正負(fù)號(hào)).為此,我們求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3x2+p.如果p>0,則對(duì)于一切x∈(-∞,+∞)都有f′(x)>0,從而函數(shù)f(x)=x3+px+q在整個(gè)數(shù)軸上嚴(yán)格單調(diào)上升.在此種情況下,函數(shù)f(x)=x3+px+q的圖象與Ox軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),因而方程(3)在整個(gè)數(shù)軸上有且只有一個(gè)實(shí)根.方程(3)還有兩個(gè)共軛虛根.如果p<0,則函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3x2+p有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)?√-p3.當(dāng)x∈(-∞,-√-p3)時(shí),f′(x)>0,f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升;當(dāng)x∈(-√-p3,√-p3)時(shí),f′(x)<0,f(x)嚴(yán)格單調(diào)下降;當(dāng)x∈(√-p3,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升.因而,(-√-p3,f(-√-p3))是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),(√-p3,f(√-p3))是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).對(duì)于函數(shù)f(x)的這兩個(gè)極值及其乘積,我們有如果f(-√-p3)與f(√-p3)同號(hào),則由二者之積的表達(dá)式可得(q2)2+(p3)3>0.而f(-√-p3)與f(√-p3)同號(hào)意味著:函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)同時(shí)位于上半平面或同時(shí)位于下半平面,因而函數(shù)f(x)的圖象的從它的極大值點(diǎn)到它的極小值點(diǎn)這一段與Ox軸不相交,函數(shù)f(x)的圖象與橫坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn),而且由于此交點(diǎn)不是駐點(diǎn),在此交點(diǎn)處f′(x)≠0,此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是方程(3)的重根,因而方程(3)在整個(gè)數(shù)軸上只有一個(gè)實(shí)根.這個(gè)實(shí)根或者在區(qū)間(-∞,-√-p3)內(nèi),或者在區(qū)間(√-p3,+∞)內(nèi).如果f(-√-p3)與f(√-p3)異號(hào),則由二者之積的表達(dá)式可得(q2)2+(p3)3<0.而f(--p3)與f(-p3)異號(hào)意味著:函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)位于上半平面,極小值點(diǎn)位于下半平面,因而函數(shù)f(x)的圖象在(-∞,--p3)、(--p3,-p3)、(-p3,+∞)這三個(gè)區(qū)間內(nèi)各與Ox軸有一個(gè)交點(diǎn),因而方程(3)有三個(gè)互異的實(shí)根.我們順便指出,當(dāng)p>0時(shí),顯然有(q2)2+(p3)3>0,這是前面我們已經(jīng)討論過(guò)的情況.如果(q2)2+(p3)3=0,我們已經(jīng)假定pq≠0,于是此時(shí)必有p<0.由f(--p3)與f(-p3)二者之積的表達(dá)式可知,(q2)2+(p3)3=0意味著函數(shù)y=f(x)=x3+px+q的圖象的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)二者之一落在Ox軸上,函數(shù)在此點(diǎn)處與Ox軸相切,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程(3)的二重零點(diǎn).方程(3)另外還有一個(gè)實(shí)根x3,不難用多項(xiàng)式的除法得到:x-x3=x3+px+q(x-x1)(x-x2)=x3+px+q(x±-p3)2=x?3qp.綜上所述,實(shí)系數(shù)導(dǎo)出型一元三次方程(3)的實(shí)根及虛根的個(gè)數(shù)可以由系數(shù)p、q的情況來(lái)判別,如下表所示:以上是易于求根的特殊情況.以下是尚需研究求根方法的一般情況:或者,如果按照(q2)2+(p3)3的符號(hào)來(lái)分類,則如下表所示:2對(duì)4求解的多個(gè)消除關(guān)系的再求解上文我們看到,導(dǎo)出型一元三次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)由常數(shù)項(xiàng)的一半的平方與一次項(xiàng)系數(shù)的三分之一的立方之和的符號(hào)決定.為了下面表達(dá)方便起見(jiàn),從現(xiàn)在開(kāi)始,把導(dǎo)出型一元三次方程寫成為x3+3px+2q=0.(4)于是,上一節(jié)討論中的表達(dá)式(q2)2+(p3)3,對(duì)于方程(4)而言就是q2+p3了.本節(jié)我們討論如何通過(guò)p、q來(lái)表出方程(4)的解.引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)u和v:x=u+v.(5)兩邊立方可得x3=(u+v)3=u3+v3+3uv(u+v)=u3+v3+3uvx或x3-3uvx-(u3+v3)=0.(6)對(duì)(4)與(6)比較系數(shù)可得uv=-p(7)u3+v3=-2q(8)對(duì)(7)式兩邊同時(shí)作三次冪可得u3v3=-p3(9)由(8)、(9)兩式及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知,u3與v3分別是方程w2+2qw-p3=0的兩個(gè)根w1與w2.由一元二次方程的求根公式可得w1,2=-q±q2+p3.由于上面u和v一直是對(duì)稱的,不妨取u3=-q+q2+p3?v3=-q-q2+p3.于是得到u=-q+q2+p33?v=-q-q2+p33?代入(5)式可得x=-q+q2+p33+-q-q2+p33.(10)(10)式通常稱為卡當(dāng)公式,但是此式實(shí)際上不是卡當(dāng)發(fā)現(xiàn)的,而是與卡當(dāng)同時(shí)代的意大利數(shù)學(xué)家方塔納(綽號(hào)叫塔塔利亞,意為口吃者)發(fā)現(xiàn)的.把(10)式稱為卡當(dāng)公式是一個(gè)歷史的誤會(huì).如果把(10)式中兩個(gè)立方根號(hào)下的式子分別記作R1和R2,則x=R13+R23,在R1和R2都不為零的情況下,在復(fù)數(shù)域內(nèi)R13和R23各有三個(gè)不同的值.所以,一般地說(shuō),(10)式組合而成的似乎應(yīng)該包含9個(gè)不同的值,而其中只有3個(gè)真正是方程(4)的根.這三個(gè)根的確定可以依據(jù)(7)式:uv=-p.因此,如果用R13和R23各自隨意表示一個(gè)滿足(7)式的u、v的值,則可把方程(4)的三個(gè)根分別表示為:{x1=R13)+R23)x2=R13ω+R23ω2x3=R13ω2+R23ω,(11)其中1、ω、ω2是1的三個(gè)立方根:ω=ei2π3=cos2π3+isin2π3=-12+32i,ω2=ei4π3=cos4π3+isin4π3=-12-32i.以上所談一直是p、q都是實(shí)數(shù)的情況.其實(shí),當(dāng)p、q都是任意復(fù)數(shù)時(shí),(11)式也是方程(4)的解.3卡當(dāng)公式化的計(jì)算方法下面仍假定導(dǎo)出型一元三次方程(4)的系數(shù)p、q都是實(shí)數(shù).上一節(jié)得到的卡當(dāng)公式包含雙層的根號(hào),在實(shí)際計(jì)算時(shí)不很方便.現(xiàn)在通過(guò)適當(dāng)引進(jìn)參數(shù)的辦法把卡當(dāng)公式化成用三角函數(shù)表示的形式.我們不必討論在第一節(jié)曾介紹過(guò)的易于求根的四種簡(jiǎn)單情況,而只需研究p≠0且q2+p3≠0的情況.3.1cost+2.3+3此時(shí)(10)式中兩個(gè)三次根號(hào)下的表達(dá)式都是虛數(shù).但方程(4)的解無(wú)一例外都是實(shí)數(shù)解.引進(jìn)參數(shù)ρ、t,使-q±q2+p3=-q±i-q2-p3=ρe±it=ρ(cost±isint),則不難算出ρ=-p3,cost=-qρ,(12)于是由(10)式可得x=ρ3(cost+2k1π3+isint+2k1π3)+ρ3(cost+2k2π3-isint+2k2π3),k1=0,1,2;k2=0,1,2.若在上式等號(hào)右邊的兩個(gè)加式中取k1=k2,則兩個(gè)加式之積為這說(shuō)明(7)式得到滿足,于是我們得到方程(4)的根的表達(dá)式:x1,2,3=2ρ3cost+2kπ3=2-pcost+2kπ3,k=0,1,2.(13)從已知的系數(shù)p、q出發(fā),例如使用裝有數(shù)學(xué)軟件Mathematica的計(jì)算機(jī)作為計(jì)算器或利用三角函數(shù)表,容易通過(guò)(12)式計(jì)算出參數(shù)t的值,代入(13)式就可以分別計(jì)算出方程(4)的三個(gè)實(shí)根.3.2個(gè)參數(shù)+1-cot3,一個(gè)此時(shí)導(dǎo)出型一元三次方程(4)有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.由條件易看出此時(shí)有0<-p3<q2.為了化簡(jiǎn)(10)式中的雙層根號(hào),我們引進(jìn)一個(gè)參數(shù)β,使-p3=qsinβ,-π2<β<π2,(14)于是可得q2+p3=q2-q2sin2β=q2cos2β=|q|cosβ=(sgnq)qcosβ=±qcosβ,在R13與R23中,任取一個(gè)使用qcosβ,則另一個(gè)應(yīng)使用-qcosβ,而其和不變,于是可記R13=-q+q2+p33=-q+qcosβ3=-q(1-cosβ)3=--p3sinβ(1-cosβ)3=--p2sin2β22sinβ2cosβ23=--ptanβ23,R23=-q-q2+p33=-q-qcosβ3=-q(1+cosβ)3=--p3sinβ(1+cosβ)3=--p2cos2β22sinβ2cosβ23=--pcotβ23.再引進(jìn)一個(gè)參數(shù)ψ,使tanψ=tanβ23,(15)則可得方程(4)的實(shí)根的表達(dá)式x1=--p(tanψ+cotψ)=-2-psin2ψ.(16)對(duì)于方程(4)的共軛虛根,我們有x2=R13ω+R23ω2=[--p(-12+32i)tanψ]+[--p(-12-32i)cotψ]=-ptanψ+cotψ2-i-3ptanψ-cotψ2=-psin2ψ-i-3pcot2ψ,(17)x3=R13ω2+R23ω=[--p(-12-32i)tanψ]+[--p(-12+32i)cotψ]=-ptanψ+cotψ2+i-3ptanψ-cotψ2=-psin2ψ+i-3pcot2ψ.(18)從系數(shù)p、q出發(fā),使用計(jì)算器或利用三角函數(shù)表,容易通過(guò)(14)式計(jì)算出參數(shù)β的值,再由(15)式算出ψ的值,把ψ的值代入(16)、(17)、(18)式,就能求出方程(4)的三個(gè)根.3.3qp3+pu3cot3.3.4.3此時(shí)自然有q2+p3>0,方程(4)有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根.考慮到此時(shí)p可能比|q|大,也可能比|q|小,為了利用三角函數(shù)公式把求根公式化簡(jiǎn),我們引進(jìn)一個(gè)參數(shù)β使p3=qtanβ.(19)由此可得-q+q2+p33=q(1-cosβ)cosβ3=p3tanβ*sin2β2cosβ3=p2sin2β22sinβ2cosβ23=ptanβ23,-q-q2+p33=-q(1+cosβ)cosβ3=-p3tanβ*cos2β2cosβ3=-p2cos2β22sinβ2cosβ23=-pcotβ23.再引進(jìn)一個(gè)參數(shù)α使tanα=tanβ23,(20)則有cotα=cotβ23.于是,從系數(shù)p、q出發(fā),使用計(jì)算器或利用三角函數(shù)表容易算出x1=R13+R23=p(tanα-cotα)=-2pcot2α,(21){x2=R13ω+R23ω2x3=R13ω2+R13ω}=pcot2α±i3psin2α.(22)4中y型解仍只需討論p≠0且q2+p3≠0的情況.我們將對(duì)三種情況引進(jìn)統(tǒng)一的參數(shù)r=(sgnq)|p|,其中sgnq是符號(hào)函數(shù):sgnq={1,q>0,0,q=0,-1,q<0.下面還將在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候分別對(duì)于三種情況引進(jìn)也比較簡(jiǎn)單的第二個(gè)參數(shù)φ.先介紹兩個(gè)引理.引理1若x、y均為實(shí)數(shù),則x=y的充分必要條件是4x3+3x=4y3+3y.(23)必要性是顯然的.為了證明充分性,我們注意,由(23)式可得(x-y)(4x2+4xy+4y2+3)=0,(24)把(24)式等號(hào)左邊的第二個(gè)因子看作以x為自變量的二次三項(xiàng)式,則它的判別式Δ=(4y)2-16(4y2+3)=-48y2-48<0,這說(shuō)明任何實(shí)數(shù)x、y都不能使該因子為零,因而由(24)式得到x=y.引理2若x、y均為實(shí)數(shù),且|x|≥1,|y|≥1,則x=y的充分必要條件是4x3-3x=4y3-3y.(25)必要性也是顯然的.為了證明充分性,我們注意,由(25)式可得(x-y)(4x2+4xy+4y2-3)=0,(26)把(26)式等號(hào)左邊的第二個(gè)因子看作以x為自變量的二次三項(xiàng)式,則它的判別式Δ=(4y)2-16(4y2-3)=-48y2+48=48(1-y2).(27)如果y2=1,則Δ=0,(26)式等號(hào)左邊的第二個(gè)因子有二重零點(diǎn)x=-4y8=-12y,從而得到|x|=12|y|=12,與引理的條件矛盾.此矛盾說(shuō)明必有|y|>1,代入(27)式得到Δ<0,這說(shuō)明在(26)式中,等號(hào)左邊的第二個(gè)因子恒不為零,故由(26)式得x=y.下面討論在三種情況下解的表達(dá)式的化簡(jiǎn).4.1適應(yīng)條件一:233我們已經(jīng)引進(jìn)了參數(shù)r=(sgnq)|p|,再令cosφ=qr3.不難建立參數(shù)r、φ與上一節(jié)在同一情況下引進(jìn)的參數(shù)ρ、t之間的聯(lián)系.事實(shí)上,由于有ρ=-p3=(sgnq)r3,當(dāng)q>0時(shí),ρ=r3?cost=-qρ=-qr3=-cosφ=cos(π-φ),可取參數(shù)t與φ適合條件t=π-φ,于是由(13)式可得x1=2ρ3cost3=2rcos(π3-φ3),x2=2ρ3cost+2π3=2rcos(π3-φ3+2π3)=2rcos(π-φ3)=-2rcosφ3,x3=2ρ3cost+4π3=2rcos(π3-φ3+4π3)=2rcos[2π-(π3+φ3)]=2rcos(π3+φ3).當(dāng)q<0時(shí),ρ=-p3=-r3?cost=-qρ=qr3=cosφ,可取參數(shù)t=φ,于是由(13)式可得x1=2ρ3cost3=-2rcosφ3,x2=2ρ3cost+2π3=-2rcos(φ3+π-π3)=-2rcos[π-(π3-φ3)]=2rcos(π3-φ3),x3=2ρ3cost+4π3=-2rcos(φ3+π+π3)=2rcos(π3+φ3).在q>0和q<0情況下得到的根的表達(dá)式除了順序之外完全相同.4.2算法2:最符合2.23的情況下,各級(jí)cu33.我們已經(jīng)引進(jìn)了參數(shù)r=(sgnq)|p|,再令coshφ=qr3=q(sgnq)-p3=|q|-p3?φ>0,下面建立參數(shù)r、φ與上一節(jié)我們?cè)谕磺闆r下引進(jìn)的參數(shù)β、ψ之間的聯(lián)系.首先證明:1sin2ψ=tanψ+cotψ2=(sgnq)coshφ3.(28)事實(shí)上,利用在上一節(jié)的推導(dǎo)可得4[12(tanψ+cotψ)]3-3[12(tanψ+cotψ)]=12(tan3ψ+cot3ψ)=12(tanβ2+cotβ2)=1-2-p3(-q+qcosβ-q-qcosβ)=q-p3=(sgnq)coshφ=4(sgnq)3cosh3φ3-3(sgnq)coshφ3.由三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系及幾何平均與算術(shù)平均的關(guān)系易知|12(tanψ+cotψ)|≥1,由雙曲余弦函數(shù)的值域知|(sgnq)coshφ3|≥1,故由引理2知(28)式成立.再證明cot2ψ=(sgnq)sinhφ3.(29)事實(shí)上,利用在上一節(jié)的推導(dǎo)可得4cot32ψ+3cot2ψ=4[12(cotψ-tanψ)]3+3[12(cotψ-tanψ)]=12(cot3ψ-tan3ψ)=12(cotβ2-tanβ2)=12)--p3[(-q-qcosβ)-(-q+qcosβ)]=1-2-p3(-2qcosβ)=q-p3cosβ=(sgnq)q2+p3-p3=(sgnq)q2-p3-1=(sgnq)cosh2φ-1=(sgnq)sinhφ=(sgnq)(4sinh3φ3+3sinhφ3)=4[(sgnq)sinhφ3]3+3[(sgnq)sinhφ3],于是,由引理1,(29)式成立.利用(28)式和(29)式,可以把上一節(jié)對(duì)于p<0而q2+p3>0的情況得到的方程(4)的解改寫為x1=-2-psin2ψ=-2(sgnq)-pcoshφ3=-2rcoshφ3?x2,3=-psin2ψ±i-3pcot2ψ=rcoshφ3±i(sgnq)sinhφ3=rcoshφ3±i3rsinhφ3.4.3q值的處理此時(shí)必有q2+p3>0.我們已經(jīng)引進(jìn)了參數(shù)r=(sgnq)|p|.為了化簡(jiǎn)方程(4)的根的表達(dá)式,我們?cè)僖M(jìn)一個(gè)參數(shù)φ.考慮到要化簡(jiǎn)q2+p3,而q2可能比p3大,也可能比p3小,所以令q=(sgnq)p3sinhφ,則有φ≥0且q2=p3sinh2φ.不難建立這里引進(jìn)的參數(shù)與上一節(jié)在同一情況下引進(jìn)的參數(shù)之間的聯(lián)系:cot2α=12(cotα-tanα)=(sgnq)sinhφ3,(30)1sin2α=coshφ3.(31)事實(shí)上,不論q為何值,都有4cot32α+3cot2α=4[12(cotα-tanα)]3+3[12(cotα-tanα)]=12(cot3α-tan3α)=12q+q2+p3+q-q2+p3p3=qp3=(sgnq)sinhφ=sinh(sgnq)φ=4sinh3(sgnq)φ3+3sinh(sgnq)φ3=4[(sgnq)sinhφ3]3+3(sgnq)sinhφ3.由引理1,(30)式得證.為證明(31)式,我們注意1sin2α=sin2α+cos2α2sinαcosα=12(tanα+cotα),4(1sin2α)3-3(1sin2α)=4[12(tanα+cotα)]3-3[12(tanα+cotα)]=12(tan3α+cot3α)=12(tanβ2+cotβ2)=12(-q+q2+p3p3+q+q2+p3p3)=1+q2p3=1+sinh2φ=coshφ=4cosh3φ3-3coshφ3,且顯然有|1sin2α|≥1,|coshφ3|≥1,故由引理2得到(31)式.利用(30)式和(31)式,可把上一節(jié)在同一情況下得到的方程(4)的解的表達(dá)式(21)及(22)改寫為x1=-2p(sgnq)sinhφ3=-2rsinhφ3?x2,3=p(sgnq)sinhφ3±i3p1coshφ3=rsinhφ3±i3rcoshφ3.歸納以上對(duì)于三種情況的討論,可得下表45《y3-4y3》第2節(jié)所收第3號(hào)單次方程的數(shù)值計(jì)算由于篇幅的限制,我們只舉兩個(gè)例子.例1試解方程2x3+18x2+46x+28=0.這是一個(gè)一般形式的一元三