§4

具有某些特性的函數(shù)一、有界函數(shù)

本節(jié)將著重討論函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性與周期性.四、周期函數(shù)三、奇函數(shù)與偶函數(shù)二、單調(diào)函數(shù)返回五、初等函數(shù)六、雙曲函數(shù)一、有界函數(shù)定義1

設(shè)f定義在D上.M-Myxoy=f(x)X有界若f為D上的有界函數(shù)，則f

的圖象完全落在直線y=M

與y=－M

之間.例1

證明為(0,1]上的無上界函數(shù).證明對(duì)任何正數(shù)M，取(0,1]上一點(diǎn)則有由定義知f

為(0,1]若f在其定義域D上有上界，記f(D)的上確界為若f在其定義域D上有下界，記f(D)的下確界為上的無上界函數(shù).證例2例3

證因此二、單調(diào)函數(shù)定義2xyoxyo單調(diào)函數(shù)的圖象證例4由歸納法,若已證:例5增.定理1.2證只有一個(gè)例6定義3例7證三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4奇函數(shù)yxox-x偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱其它性質(zhì)：函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的聯(lián)系.例8設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?

l,l),證明必存在(

l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)

g(x)

h(x).提示:如果f(x)

g(x)

h(x),則f(

x)

g(x)

h(x),于是證

則f(x)

g(x)

h(x),且四、周期函數(shù)定義5見后圖.注1

周期函數(shù)的定義域不一定是R.例如：例9-3-2-1O1231注2

周期函數(shù)不一定有最小周期.例如狄利克雷函數(shù)以任意正有理數(shù)為周期，但沒有最小周期.例10

任意正有理數(shù)是狄利克雷函數(shù)的周期.證設(shè)因此,定義6

以下六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)五、初等函數(shù)(1)

常數(shù)函數(shù)它的定義域?yàn)?2)

冪函數(shù)（PowerFunctions）它的定義域隨的取值不同而不同，但在中都有定義。圖像都經(jīng)過點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；為減函數(shù)。(3)

指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunctions）它的定義域?yàn)?，圖像在軸的上方，且都經(jīng)過點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。(4)

對(duì)數(shù)函數(shù)（LogarithmicFunctions）它的定義域?yàn)?，圖像在軸的右側(cè)，且都經(jīng)過點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。正弦函數(shù)（SineFunction）它的定義域?yàn)?，以為周期的奇函?shù)（圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。圖形在兩直線與之間，即。(5)

三角函數(shù)余弦函數(shù)（CosineFunction）軸對(duì)稱）。圖形在兩直線與之間，即。它的定義域?yàn)?，以為周期的偶函?shù)（圖形關(guān)于正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)反正弦函數(shù)它的定義域?yàn)?，且單調(diào)增加的奇函數(shù)，值域?yàn)椋?6)

反三角函數(shù)反余弦函數(shù)它的定義域?yàn)?，且單調(diào)減少函數(shù)，值域?yàn)椋悍凑泻瘮?shù)它的定義域?yàn)?，且單調(diào)增加的奇函數(shù)，值域?yàn)椋悍从嗲泻瘮?shù)它的定義域?yàn)?，且單調(diào)減少函數(shù)，值域?yàn)椋憾x7

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù),稱為初等函數(shù).例如：狄利克雷函數(shù)與黎曼函數(shù)是非初等函數(shù).定義8不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).都是初等函數(shù).

例如,函數(shù)一般分段函數(shù)也是非初等函數(shù).初等函數(shù)的幾個(gè)特例：設(shè)f和g是初等函數(shù)，則1.|f|是初等函數(shù).和

都是初等函數(shù).2.3.冪函數(shù)是初等函數(shù).函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)(初等)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).奇函數(shù),有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式例112.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),奇函數(shù),復(fù)習(xí)思考題1.f(x)在[