平面向量

一、單選題

1.在菱形A8CD中對(duì)角線AC=4,E為S的中點(diǎn)，則AEAC=（）

【答案】C

【解析】

試題分析：不妨設(shè)菱形A8C。為正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為4,故正方形邊長(zhǎng)為2加,以

ARA。分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則后（血,2血）,。（2血,2后），故

AE-AC=4+8=12.

考點(diǎn)：向量數(shù)量積.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，

二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,

可起到化繁為簡(jiǎn)的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)

角度問題、線段長(zhǎng)問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來(lái)解決.

a

2.若非零向量〃的夾角為銳角且面=cos。，則稱“被人“同余”.已知人被““同

余''，則a—8在a上的投影是（）

222222

a-ha-hb-aa*-〃

A，B,CD.

【答案】A

【解析】

\b\I，..

根據(jù)。被a“同余”，貝II有H=cos。，所以網(wǎng)=|a|cos（9,a—b在a上的投影為：

(a-b}-a_a-\b\-\a\cos0

，故選A.

3.在正方形中，點(diǎn)E為。。邊的中點(diǎn)，則（）

D

--------------'B

A.AE=AB+-ADB.AE=AB--AD

22

C.AE=-AB+ADD.AE=--AB+AD

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量加法、數(shù)乘運(yùn)算直接求解.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)E為。。邊的中點(diǎn)，

所以=+=

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

__—?.5一?29

4.已知兒8是圓O：x-+J-=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=2,0。=3。4一￡。8.若河是

線段48的中點(diǎn)，則無(wú).而的值為（）.

A.3B.26C.2D.-3

【答案】A

【解析】試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，所以疝=；歷+而）,

\OA\=\0B\=\AB\=2,所以A4BC是等邊三角形，即<OA,OB>=600，

OJOB=2x2xcos600=2

OCOA/|[-O4+-5B|=-O4：--OB2+-OAOB

（33人22J632

=—x2:--x22+—x2=3，故選A.

632

考點(diǎn)：向量數(shù)量積

【方法點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考察了向量數(shù)量積的運(yùn)算，l.-一般求向量數(shù)量積可用定義法求解,

試卷第2頁(yè)，總15頁(yè)

ab-cos<5j>,一般容易錯(cuò)在夾角上面，所以應(yīng)根據(jù)具體的圖形確定夾角;

2.還可利用坐標(biāo)法表示數(shù)量積萬(wàn)$=.0（+乂“，需建立坐標(biāo)系解決問題；3.還可將已

知向量用未知向量表示，轉(zhuǎn)化為那些知道模和夾角的向量，比如本題.

|耳=同，則以下四個(gè)向量中，模最小的為（）

5.已知非零向量4*2不共線，且

1112

A.B?4

2313

C.鏟2D.-e,+-e2

【答案】A

【解析】

【分析】

計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中各向量的模長(zhǎng)，比較大小后可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

q,為不共線的非零向量，且同="|，因此設(shè)4,?2為單位向量，夾角為、，

1ii1u-]ir2廣52建311131r5

則耳弓+萬(wàn)6,--，一芻H—e,—，-CiH—

33-414-

因此四個(gè)向量中模最小者為

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量的數(shù)量積求向量的模，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

6.已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且，3P4+2尸B+PC=O,則為()

A.1:2B.1:3C.1:5D.1:6

【答案】D

【解析】

BDA

如圖：設(shè)D、E：分別為A3、AC的中點(diǎn)，V3PA+2PB+PC=Q>

PC-PB=-3CPB+PA）>BC=-3x2PD=-6PD<同理由

CPA+PC）=-2CPB+PA），即2PE=—2xPD，：.PE=-；BC?:.P到AB的距

離等于。到A3的距離的，，設(shè)A0C的面積為S,則S“A8=9S,故SA陽(yáng)：梟為

66

1:6,故選D.

點(diǎn)睛：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用、共線向量的意義，兩個(gè)同底的三角形的面積之比

等于底上的高之比，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；根據(jù)已知的等式變形可得

BC=-3x2PD=-6PD，PE=一;BC,從而得出尸到A3的距離等于C到AB的

距離的,即可解決問題.

6

7.設(shè)a=（cosa,g）,=f|,sina1,且々//人則銳角&為（）

A.30B.45C.60D.75

【答案】B

【解析】

分析：先根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示得si比《??=--再根據(jù)二倍角公式以及特殊角三角

2

函數(shù)值得結(jié)果.

詳解：因?yàn)椤?/匕，所以siwa?a=-

2

所以sin勿？=,

TTIT

因?yàn)閍為銳角，因此2a7=—，a=一,

24

選B.

點(diǎn)睛：向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.對(duì)于此類

問題的解決方法就是利用向量的知識(shí)將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的''數(shù)量關(guān)系”，或轉(zhuǎn)化為

三角形中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

8.已知向量］=（3J），3=（2左-Lk），a^b>則k的值是（）

A.-1B.C.

【答案】B

【解析】

【分析】

試卷第4頁(yè)，總15頁(yè)

【詳解】

試題分析：???]=(3J)，b=(2k-Lk)>al.b'

；.3x(2k-1)+k=7k-3=0

3

解得k=-.

7

故選B考點(diǎn)：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

9.若向量8=(1,2),則,+6『=|a|2+|。『，貝！|〃=().

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】

??響量〃=(〃/)，6=(1,2),；.a+/?=(〃+l,3),又：|；+)|2=|二『+|Q,?.

(〃+1)2+9="+1+5,解得〃=一2,故選C.

10.已知向量a=(2,1),=(x,-2),若ab,則忖=()

A.25/5B.20C.V5D.5

【答案】A

【解析】

因?yàn)閍b,故由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到~4=x,此時(shí)。=(-4,-2),

網(wǎng)=,16+4=同=2技

故答案為A.

11.已知向量W，E滿足q=2,|%訝=2,|。訝=2代，則向量W與4的夾角為()

A.2LB.2ZLc.^2LD.^-―

4346

【答案】C

【解析】

試題分析：根據(jù)向量的夾角公式，以及向量的垂直，向量模計(jì)算即可

解：設(shè)Z與b的夾角為。，

al=2>a+bl=2,a-bl=2-\/5>

■十b『Ta1+1bP+2a*b=4,

Ia-bl2-al-+ibb-2a*b=20,

a-b=-4,|bl=272

/.cose=——--------------1=.=-2^2.,

|a|>|b|2X2加2

0WJt,

e=3兀,

4

故選：c.

12.已知向量4，匕滿足時(shí)=2,忖=1,卜+2分|=26,那么a與〃的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)模的向量運(yùn)算，將卜+2q平方后化簡(jiǎn)，即可由平面向量的數(shù)量積定義求得a與/，的

夾角.

【詳解】

向量a，b滿足卜|=2,忖=1,卜+2。=26,

則（a+2h『=（2A/3）2

所以a+4a./?+（2Z?）=12,代入忖=2,忖=1,

可求得a,b=1，

由平面向量數(shù)量積定義可知，設(shè)〃與人的夾角為6,

則a-Z?=|fl|-|z?|cos^=l,

則cos6=4，

2

因?yàn)椋ǎ?8<180°,

所以6=60。,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積定義及模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

試卷第6頁(yè)，總15頁(yè)

二、填空題

13.AABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若P為該平面內(nèi)一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn),

f1\DABC)

入>0,U.>Q,OP=OA+XAB+-BC，。尸=OB+〃-------------H----則---當(dāng)-----------

\2)(|B4|sinA|SC|sinC)

2aPA+乖1bPB+2辰PC=G時(shí)，cosC=

【答案】昱

2

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則可得點(diǎn)P在中線AD上，由正弦定理結(jié)合平面向量的加法運(yùn)

算法則可得P在中線BE上，從而可得點(diǎn)P是三角形的重心，可得PA+P8+PC=0,

結(jié)合2〃/14+66/<8+2百。/5。=0，可設(shè)a=5''=耳"=］而，利用余弦定理

可得結(jié)果.

【詳解】

如圖，設(shè)。是8C的中點(diǎn),

AB+-BC=AD,

2

OP=OA+A\AB+~BC\,AG(0,+co),

:.OP^OA+AAD>

:.PA=AAD

???點(diǎn)P在射線A。上，

(DARC\

由OP=04+〃,i------+|~i--------,由正弦定理可得

BAsinABCsinC

由網(wǎng)sinA=,4sinC,

設(shè)18dsinA=忸。sinC=m,

：.OP=OA+^-（BA+AC）,

PA=^-（BA+BC）,

mv7

PA與BA+BC共線，設(shè)E是AC的中點(diǎn),

即尸在中線BE1上，.?/是AA3C的重心，

PA+PB+PC=O>

又2aPA+乖1bPB+2瓜PC=0.

可設(shè)2a==2拒c-t，

得a=:■力=,c=—產(chǎn),

2V32V3

0上

由余弦定理可得，cosC=43產(chǎn)=￡,故答案為巫.

2xb422

273

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的幾何運(yùn)算及外接圓的性質(zhì)、向量的夾角，屬于難題.向量的運(yùn)算有

兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是：（1）

平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩

箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析兒

何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡(jiǎn)單）.

14.已知,卜忖=2,a?b=-2,且（a+0）_L（a+防），那么實(shí)數(shù)f的值為

【答案】-1

【解析】略

15.若平面向量a,b,c兩兩所成的角相等，且同=1,同=ljc|=3,則|a+b+c|等

于.

【答案】2或5

【解析】

平面向量。，dc兩兩所成的角相等，.?.其夾角為0?；?20°.

試卷第8頁(yè)，總15頁(yè)

當(dāng)夾角為。時(shí),|a+Hc|=同+例+同=1+1+3=5；

當(dāng)夾角為120°時(shí),|a+1+c|=J(a+1+c)2=2.

綜上所述：|。+力+c|等于2或5.

故答案為2或5.

16.已知A、B、C是直線上的不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)。不在直線AB上，則關(guān)于X的

方程X2OA+xOB+AC=0的解集為.

【答案】0

【解析】

【分析】

根據(jù)三點(diǎn)共線得向量共線，再根據(jù)共線向量定理得AB=XAC，然后根據(jù)三角形減法法

則以及平面向量基本定理可解得％=-1,最后驗(yàn)證可知不符合題意，故解集為空集.

【詳解】

因?yàn)锳、B、C是直線上的不同的三個(gè)點(diǎn)，

所以與AC共線，

根據(jù)共線向量定理可得,存在實(shí)數(shù)2eA,使得AB=AAC，

因?yàn)樗?/p>

所以。8—04=AAC，

所以AC=—LQA+LOB,

2A

又由已知得AC=-dQ4一XOB,

1,1

根據(jù)平面向量基本定理可得，一二=―一且=—%,

A2

消去2得V=—x且xoO,

解得x=—1,2=1,

當(dāng)2=1時(shí),AB=4C,此時(shí)B與。兩點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去，

UULULUULlll1

故于X的方程X2OA+xOB+AC=0的解集為0,

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了共線向量定理以及平面向量基本定理，三角形減法法則的逆運(yùn)算，屬于中檔

題.

三、解答題

17.(本小題滿分13分，(1)小問7分，(2)小問6分)

已知向量滿足：a=1,歷=4,且a、b的夾角為60°.

—>T

(1)求2a-b.a+b

(2)a+b±Aa-2bL求4的值.

【答案】(1)-12；(2)2=12

【解析】

試題分析：(1)由題意得am=k,qcos60=lx4xg=2,

/.(2a-/?)?(〃+/?)=2a+ab-b=2+2—16=—12

(2);(a+力)_L(4a-2〃)，?'.(Q+〃)?(％Q-2人)=0,

22

AAa+(A-2)a-b-2b'=0,二2+2(2—2)—32=0,

4=12

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的定義的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及向量垂直的

充要條件

點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及向量垂直的充要條件

18.已知A,B,C分別為△4BC的三邊a,b,c所對(duì)的角，向量加=(sinA,sin8),

n=(cosB,cosA),且/〃.〃=sin2C.

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若sinA,sinC,sin5成等差數(shù)列，且CA-(A3-AC)=18,求邊c的長(zhǎng).

jr

【答案】(1)y;(2)6

【解析】

【分析】

(1)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的正弦公式可得：sin2C=sinC,再結(jié)合二倍角

的正弦公式即可得解；

(2)由正弦定理可得2c=a+6,結(jié)合題設(shè)可得岫=36,再由余弦定理。2=/+按一2a反os

試卷第10頁(yè)，總15頁(yè)

。運(yùn)算即可得解.

【詳解】

解：（1）由已知得m=sinAcos8+cosAsin8=sin（A+8）,

因?yàn)锳+5+C=7T,

所以sin（A+B）=sin（兀一C）=sinC,

所以團(tuán)?〃=sinC,又機(jī).〃=sin2C,

所以sin2C=sinC,即2sinCeosC=sinC,

1JI

0<C<7Tf.\sinC>0,所以cosC=—,所以C=一.

23

（2）因?yàn)閟inA,sinC,sin8成等差數(shù)列，

則2sinC=sinA+sinB,

由正弦定理得2c,=a+b.

因?yàn)镃A?（AB—AC）=18WCA-C8=18，

所以abcosC=18,所以ab=36.

由余弦定理得c2=d2+b2—2ahcosC=（a+b）2—3ab,

所以c2=4c2—3x36,

所以/=36,所以c=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的正弦公式，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定

理，屬中檔題.

UUI1UUU1

19.已知。為線段A3（所在的直線）外一個(gè)定點(diǎn)，T^OA=a,OB=b

（1）若見鳥是線段A3的三等分點(diǎn)，試用表示。1+0〃；

（2）若線段A3上有若干個(gè)等分點(diǎn)，能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（注：根據(jù)結(jié)

論的一般性程度予以不同得分）

【答案】（工）。6+。6=。+6（2）設(shè)4,4,4「一，41依次為線段48的〃等分

點(diǎn)，

則+。4,+。％---H0An_}=———,證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）取AB的中點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形法則即可得到0片+OR=0A+03=a+。；

（2）根據(jù)第一問的處理辦法，取的中點(diǎn)M，類似參照倒序相加法，即可得出結(jié)

論.

【詳解】

（1）取43的中點(diǎn)M，《，鳥是線段4?的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)M也是的中點(diǎn)，

根據(jù)平行四邊形法則20M=OA+OB'20M=OF\+OP,

所以+=QA+0B=a+8

（2）設(shè)A，4,4,…，A,-I依次為線段AB的〃等分點(diǎn)，

則。A+OA+QA+i+QAi=—（a+b）,證明如下：

取AB的中點(diǎn)M，|44=忸4），則點(diǎn)M也是AAi的中點(diǎn)，

OAj+=OA+OB=a+b<

記c=3+%+%+…+氣_1

4

則c=QVi+QV2+…+°V°2+QA

兩式相加：2。=（04+041）+（04+。4,_2）+—+（04"-1+04）。=（"一1）（。+人卜

即+OA,+OAjH---F=———（a+￡>）.

【點(diǎn)睛】

此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，平行四邊形法則的使用，熟記常見結(jié)論對(duì)于解題能

夠起到事半功倍的作用.

20.已知a=（1,2）,/?=（—3,4）,c=a+4Z?（XGR）.

（1）當(dāng)幺為何值時(shí)，|c|最??？此時(shí)C與人的位置關(guān)系如何？

（2）當(dāng)幺為何值時(shí)，c與a的夾角最??？此時(shí)c與a的位置關(guān)系如何？

【答案】（1）當(dāng)幾=一（時(shí)Jc|最小,0，c；（2）4=0時(shí),c與。的夾角最小，。與。平

行.

【解析】

試題分析：（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將同表示成關(guān)于丸的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最

值求得向何時(shí)求最小值.由丸求得6,c,進(jìn)一步可得兩者位置關(guān)系；（2）由儂6=百/

試卷第12頁(yè)，總15頁(yè)

的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的表達(dá)式，由夾角最小時(shí),余弦值最大為1,可得關(guān)于2的方程,

解得；I,再求得此時(shí)。與a的坐標(biāo)，可判斷兩者的位置關(guān)系.

試題解析：

(1)c=(1—3%2+44),

|c|2=(l-34)2+(2+4團(tuán)2=5+1(M+25萬(wàn)=25(2+1)2+4

當(dāng)；1=一1時(shí),同最小，此時(shí)c=(翡)Ac=(-3,4>(|t)=0~j_c

.?.當(dāng)4=-1時(shí),同最小，此時(shí)bJ_c.

八ci,c5+541+4

(2)設(shè)。與。的夾角為仇則cose==/-----------i==-------

|a||c|V5V2522+102+5，5力+2/1+1

要C與。的夾角最小，則cos。最大，；owes〃，故cos。的最大值為1,此時(shí)6=0,

1十4

cos6=1,1,解之得;l=0,c=(l,2).

V5/l2+2/l+l

4=()時(shí)，。與a的夾角最小，此時(shí)c與。平行.

考點(diǎn)：1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算.求解兩個(gè)向量之間的夾角的步驟:

第一步，先計(jì)算出兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步，根據(jù)公

式cos(a,可=黯,求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范

圍在［0,句內(nèi)及其余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角.其中當(dāng)向量的夾角為銳角時(shí)［石＞0,

且兩向量不共線，當(dāng)向量的夾角為鈍角時(shí)G石＜0且兩向量不共線.

21.設(shè)兩個(gè)向量q,02,滿足同=1,同=Lqg滿足向量。=3+02，。=耳一左02

若4與的數(shù)量積用含有k的代數(shù)式f(k)表示.若忖=G忖.

(1)求/伏)；

(2)若4與02的夾角為60。，求左值；

(3)若。與人的垂直，求實(shí)數(shù)左的值.

后之+］

【答案】(1)f(k)=±~±(七0)；(2)%=1；(3)&=±1.

4Z

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，由忖=6忖即：5=3/可知：

(攵4+02)2=3,—左02『整理化簡(jiǎn)得到了(%);(2)因?yàn)槭菉A角為60°的單位向