數(shù)學選擇性必修第三冊人教版A版第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理6.2排列與組合6.3二項式定理第七章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式7.2離散型隨機變量及其分布列7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征7.4二項分布與超幾何分布7.5正態(tài)分布第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.1成對數(shù)據(jù)的相關關系8.2一元線性回歸模型及其應用8.3分類變量與列聯(lián)表第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方案，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。二、分布乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。（1）無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取。三、區(qū)別于聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分類乘法計數(shù)原理本質每類方法都能獨立地完成這件事，它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事。任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事。關系分類互斥分步互依6.2排列與組合一、排列1.排列：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2.排列數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Anm3.排列數(shù)公式：A其中，n，m∈N*且m≤n4.全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列。這時公式中m=n，即有An5.階乘：n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積。正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成Anm=n!規(guī)定6.排列數(shù)公式的階乘表示：An（1）公式推理：A7.性質：A例1：求3A8x=4解：3·8得90-19x+x2=12，解得x=13或x=6又x≤8且x-1≤9，即x≤8，所以x=6.例2：求證：A證明：左邊=n！8.拓展有些排列問題中，某些元素的前后順序是確定的（不一定相鄰）方法：（1）整體法：即若m+n個元素排成一列，其中m個元素之間的先后順序確定不變，將這m+n個元素排成一列，有Am+nm+n種不同的排法；然后任取一個排列，固定其他n個元素的位置不動，把這m個元素交換順序，有Amm（2）插空法：即m個元素之間的先后順序不變，因此先排列這m個元素，只有一種排法，然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空當中。例1：7人排成一列，甲必須在乙的后面（可不相鄰），有2520種不同的排法解：A例2：用1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，若1，3，5，7的順序一定，則有210個七位數(shù)符合條件。解：A二、組合1.組合：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。2.組合數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號C3.組合數(shù)公式：m，n∈N?，m≤n規(guī)定4.組合數(shù)的性質：Cnm=Cn+1m5.解方程注意驗根：（1）當Cnx=Cny時，y=x或x6.3二項式定理一、二項式定理1.二項式定理：(a+b)（n∈N?2.特點（1）各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n。（2）字母a按降冪排列，字母b按升冪排列。（3）展開式共有n+1項，比二項式的次數(shù)多1。3.二項式系數(shù)：Cnk，k∈{0，1，24.二項展開式的通項：Cnkan它是展開式的第k+1項，可用Tk+1表示，即Tk+1=例1：求（2解：(2===64例2：求(1+2x)解：T3+1=C例3：求(x?1x解：T當9-2k=3時，即k=3時，x3的系數(shù)為例4.：求(x?y)(x解：(x+T8=所以含x2yx2y5.二項式的特定項：（1）常數(shù)項：令通項中變元的指數(shù)為零。（2）有理項：令未知量的指數(shù)為整數(shù)。（3）中間項：①n為偶數(shù)，中間項為第n2②n為奇數(shù)，中間項為第n+12項和（4）求最大項：設第k+1項系數(shù)Tk+1最大，則滿足Tk+1≥二、二項式系數(shù)的性質1.(a+b1a+b2a+b3a+b4a+b5a+b62.規(guī)律（1）在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的兩個二項式系數(shù)相等。（2）在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和Cn+13.作用：可直觀地看出二項式系數(shù)的性質，同時當二項式乘方次數(shù)不大時，可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù)。rf(r)4.對于(a+b)n展開式的二項系數(shù)Cn0，Crf(r)（1）對稱性（2）增減性與最大值（3）各二項式系數(shù)的和5.二項式系數(shù)的性質性質內(nèi)容對稱性Cn增減性與最大值如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)，那么展開式中一項的二項式系數(shù)最大。如果n為奇數(shù)，那么其展開式中間兩項的二項式系數(shù)相等且同時取得最大值。C二項式系數(shù)的和二項展開式各二項式系數(shù)的和等于2n(1+x)2=2奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，都等于2n?1即C第七章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式一、條件概率1.條件概率：一般地，設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱PBA=P（1）性質：①任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤PBA≤②如果B和C是兩個互斥事件，則PB∪2.條件概率求法公式：PBP二、全概率公式1.全概率公式：一般地，設A1，A2，……，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1,2，……，n，則對任意的事件B?ΩP(B)我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一。2.貝葉斯公式：設A1，A2，……，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪……∪An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1,2，……，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)P7.2離散型隨機變量及其分布列一、離散型隨機變量1.隨機變量：在隨機實驗中，確定了一個對應關系，使得每一個實驗結果都能用一個確定的數(shù)字表示，在這個對應關系下，數(shù)字隨著實驗結果（自變量）的變化而變化。隨機變量常用X，Y，ξ，η…表示。2.離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱之為離散型隨機變量。通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z。二、離散型隨機變量的分布列1.概率分布列：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，Xi，我們稱X取每一個值Xi的概率P(X=Xi)=Pi，i（1）離散型隨機變量X的概率分布列：（簡稱X的分布列）Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn（2）性質：①離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。②Pi≥0（i=1,2,…,n）i=1n（3）表示方法：①表格法（分布列）②解析式法（P(X=xi)=pi）③圖像法(條形統(tǒng)計圖)2.兩點分布X01PX01P1-PPX服從兩點分布，并稱p=P（X=1）為成功概率。（2）性質：①一般地，在只有兩個結果的隨機試驗中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即隨機變量的取值只有0和1兩個，故又稱為0-1分布。②兩點分布應用廣泛，如抽取的彩票是否中獎。③試驗結果只有兩個可能性，且其概率之和為1。7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征一、離散型隨機變量的均值1.離散型隨機變量的均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望。它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。2.性質：性質若Y=aX+b，其中a，b是常數(shù)（X是隨機變量），則Y也是隨機變量，且有E(aX+b)=aE(X)+b特例a=0時，E(b)=b，即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身。a=1時，E(X+b)=E(X)+b，即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和。b=1時，E(aX)=aE(X)，即常數(shù)與隨機變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量均值的乘積。①結論：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)②若隨機變量X服從兩點分布，則有E(X)=p.③若X～B(n，p)，則E(X)=np二、離散型隨機變量的方差1.離散型隨機變量的方差：設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi?EX)2描述了xi(i=1，2，…，n①方差：DX=i=1n(xi?E(X))2p2.意義：反映隨機變量的取值的離散程度。方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；反之，越分散。3.離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+4.離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a，其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即5.性質：①D(aX+b)=a2②若X服從兩點分布，則DX=p(1-p)③若X～B(n，p)，則DX=np(1-p)7.4二項分布與超幾何分布一、二項分布1.伯努利試驗：我們把只包含兩個可能結果的實驗叫做伯努利試驗。2.我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機實驗成為n重伯努利試驗。顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：（1）同一個伯努利試驗重復做n次；（2）各次實驗的結果相互獨立。3.二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次實驗中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)由二項式定理，容易得到k二、超幾何分布1.超幾何分布：一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CMkCN?Mn其中n，N，M∈N?，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布X01…mPCC…C2.設隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)。令p=MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而Xn是抽取的n件產(chǎn)品的次品率，我們猜想E3.特點：①超幾何分布描述了由有限個物體中抽取n個物件，成功抽出指定種類的物件的次數(shù)。②抽取過程是不放回的。7.5正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1.正態(tài)曲線：fx=1σ顯然，對任意的x∈R，f(x)＞0，它的圖像在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱fx2.正態(tài)分布：若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2特別地，當μ=0，σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布。（1）正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定①標準正態(tài)分布：μ=0，σ=1②參數(shù)μ的意義：μ就是隨機變量X的均值。E(X)=μ③參數(shù)σ的意義：σ就是隨機變量X的標準差。D(X)=σ（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率：P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974（3）性質性質①曲線位于x軸上方，與x軸不相交②曲線是單峰的，它關于x=μ對稱③曲線在x=μ處達到峰值1σ④曲線與x軸之間的面積為1。μ=0μ=1μ=-1yμ=0μ=1μ=-1yxOyxOσ2=1σyxOσ2=σ1=σ3=第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.1成對數(shù)據(jù)的相關關系一、變量的相關關系1.相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度的關系。2.函數(shù)關系與相關關系的異同點：（1）相同點：均為兩個變量之間的關系。（2）不同點：相關關系：非確定，函數(shù)關系：確定。3.正相關（負相關）：從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加（減少）的趨勢，稱這兩個變量正相關（負相關）。4、兩個變量的線性相關（1）散點圖這些點大致分布在通過散點圖中心（x，y5.線性相關：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫回歸直線。（1）一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關。二、樣本相關系數(shù)1.對于變量x和變量y，設經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）,其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分別為x和y.將數(shù)據(jù)以（x2.利用散點（xi?x，yiL（1）一般情形下，Lxy＞0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關；L3.樣本相關系數(shù)：為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)做進一步的“標準化”的處理，仿照Lxy的構造方法得到r我們稱r為變量x和變量y的樣本相關系數(shù)。（1）樣本相關系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負性和絕對值的大小可以反映出成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征①當r＞0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；②當r＜0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關。（2）樣本相關系數(shù)r的取值范圍：-1≤r≤1（3）當|r|=1時，表明成對樣本數(shù)據(jù)(xi（4）樣本相關系數(shù)的意義：r的絕對值反映成對數(shù)據(jù)之間線性相關的程度。（5）當|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越若。8.2一元線性回歸模型及其應用一、一元線性回歸模型1.Y關于x的一元線性回歸模型：&Y=bx（1）Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量；（2）a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差。二、一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計1.經(jīng)驗回歸方程：y=bx+a&記x=1ni=1nx我們將y=bx+a稱為Y關于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的2.殘差分析（1）對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的y稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差。殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析。（2）殘差的散點圖：比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假設。（3）R2=1?i=1n(yi3.