第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)四、相關變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程求導

相關變化率

第二章二、對數(shù)求導法第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)四定義:隱函數(shù)的顯化一、隱函數(shù)的導數(shù)例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化

.若由方程可確定y是

x

的函數(shù),函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).定義:隱函數(shù)的顯化一、隱函數(shù)的導數(shù)例如,可確定顯函數(shù)可確定兩邊對

x

求導(注意y=y(x))(含導數(shù)的方程)問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時，如何求導?隱函數(shù)求導法則:用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.即：兩邊對x求導(注意y=y(x))(含導數(shù)例1.解解得例1.解解得例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x

解:

方程兩邊對

x

求導

可得，

從而，

解:方程兩邊對x求導

可得，

從而，

二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).--------對數(shù)求導法適用范圍:

二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用例4.求的導數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導法2：用e抬起法。

例4.求的導數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對例5.求對x

求導解：取對數(shù)的導數(shù)。結論：例5.求對x求導解：取對數(shù)的導數(shù)。結論：三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)定理：若參數(shù)方程可確定一個

y

與

x之間的可導,且則時,有函數(shù)關系,三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)定理：若參數(shù)方程可確定一個y分析：

由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得

分析：

由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得

?例6.設,且求已知解:注意:對誰求導?

?例6.設,且求已知解:注意:對誰求導?例7.

設由方程確定函數(shù)求解:

方程組兩邊對t

求導,得故例7.設由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t求導例8.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解:

速度的水平分量垂直分量故速度大小速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則例8.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動四、相關變化率為兩個可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率解題步驟:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率四、相關變化率為兩個可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變試求當容器內水例9.

有一底半徑為Rcm,高為

hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:

設時刻t容器內水面高度為

x,水的兩邊對t

求導而故體積為V

,則試求當容器內水例9.有一底半徑為Rcm,高為h內容小結1.隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2.對數(shù)求導法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)4.相關變化率問題列出依賴于

t的相關變量關系式對t求導相關變化率之間的關系式3.參數(shù)方程求導法則轉化為對參數(shù)t求導

記住公式內容小結1.隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2.對數(shù)求導求其反函數(shù)的導數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導備用題1.

設求其反函數(shù)的導數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求2.

設求提示:

分別用對數(shù)求導法求答案:2.設求提示:分別用對數(shù)求導法求答案:3.設由方程確定,解:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得