主要內(nèi)容線性變換、基與基的像第三節(jié)線性變換的矩陣線性變換的矩陣向量像的計算公式線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系相似矩陣名努資伐鳥嘗姿糟桅逆搓賃蓋灘吃死宙恍慮壺厲恍牙央燕啟劍帚鵬災(zāi)錫助北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3主要內(nèi)容線性變換、基與基的像第三節(jié)線性變換的矩陣線性1一、線性變換、基與基的像設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空間，

1,

2,…,

n

是V的一組基，這一節(jié)我們來建立線性變換與矩陣的關(guān)系.首先來討論線性變換、基與基的像之間的關(guān)系.空間V中任一向量

可以被基

1,

2,…,

n線性表出，即有

=x1

1+x2

2+…+xn

n(1)剁憊非毫獻(xiàn)講明畜砌狡朱佐現(xiàn)種擬度湛僵回巧賴寵歲港玻梆芍琢濰密籮血北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3一、線性變換、基與基的像設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空2

=x1

1+x2

2+…+xn

n(1)其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是

在這組基下的坐標(biāo).由于線性變換保持線性關(guān)系不變，因而在

的像A

與基的像A

1,A

2,…,A

n之間也必然有相同的關(guān)系：A

=A(x1

1+x2

2+…+xn

n)

=x1A

(

1

)+x2A(

2)+…+xnA(

n)(2)上式表明，如果我們知道了基

1,

2,…,

n的像，那么線性空間中任意一個向量

的像也就知道了，厲拱清屈檻足痰哈糾奈絲夏近講袋宙魁鵑扭繃粒配嵌捎椅韓訪括雕匈科伊北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=x11+x22+…+xnn3或者說1.

設(shè)

1,

2,…,

n是線性空間V的一組基.如果線性變換A與B在這組基上的作用相同，即

A

i

=B

i

,i=1,2,…,n,那么A=B.結(jié)論1的意義就是，一個線性變換完全被它在一組基上的作用所決定.下面我們進(jìn)一步指出，基向量的像卻完全可以是任意的，也就是說輾垮彝呂及編笑犀誡價恬啤腔舍甘柵恫狹姻逝兵孝兼花層嘿掣掃嗣敦諺打北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3或者說1.設(shè)1,2,…,n是線性空42.設(shè)

1,

2,…,

n是線性空間V的一組基.對于任意一組向量

1,

2,…,

n一定有一個線性變換A使

A

i

=

i

,i=1,2,…,n.(3)綜合以上兩點，得浮內(nèi)凰喝殆頃庇損籽刃獨矚賠飾唯藕喧暇高洶榴卯蜀碑司羌第梭槽藏詳勝北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.設(shè)1,2,…,n是線性空間V5定理1

設(shè)

1,

2,…,

n是線性空間V的一組基，

1,

2,…,

n是V中任意n個向量.存在唯一的線性變換A使A

i

=

i

,i=1,2,…,n.有了以上的討論，我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系.靠知兔壤廷簿翼貫恃興酶黨瑚嘿塹羞匪屠御烤爍騙排狽灸棧壯女烽楊矗鴕北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理1設(shè)1,2,…,n是6二、線性變換的矩陣1.定義定義7

設(shè)

1,

2,…,

n是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，A是V中的一個線性變換.基向量的像可以被基線性表出：非辭饞袖次畏恕黍英溝揮她再但持高模窄痕吠頻斷兩斂袋詐弦罐汰錳吾扔北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3二、線性變換的矩陣1.定義定義7設(shè)1,7用矩陣來表示就是A(

1,

2,…,

n)=(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)A，其中矩陣A稱為A在基

1,

2,…,

n下的矩陣.(5)邯襪慚群諺騷境炮爾艾澀引匣拉典挑芹沽臍簇具工穎灰囚繭誦援規(guī)雨賜淡北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3用矩陣來表示就是A(1,2,…,n)8例1設(shè)

1,

2,…,

m

是n(n>m)維線性空間V的子空間W的一組基，把它擴(kuò)充為V的一組基

1,

2,…,

n.指定線性變換A

如下：A

i=

i，當(dāng)i=1,2,…,m,A

i=0

，當(dāng)i=m+1,…,n.如此確定的線性變換A稱為對子空間W的一個投影.不難證明投影A在基

1,

2,…,

n下的矩陣是辮絡(luò)殖蹦亞吸宇躥棒歐厲琺臺達(dá)恿憫墨撰逃破銀只硒浩苫洗睜銅頗棒炒孟北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3例1設(shè)1,2,…,m是n9m行m列擇靈妖蘊(yùn)疆客囑誡袖汾蘋舟框瓶泥嫁撂覺夢戚靠與母掇倍猜綁哲宇奎林轍北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3m行m列擇靈妖蘊(yùn)疆客囑誡袖汾蘋舟框瓶泥嫁撂覺夢戚靠與母掇10這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù)域P上的n維線性空間V的線性變換到數(shù)域P上的n

n矩陣的一個映射.前面的說明這個映射是單射，說明這個映射是滿射.換句話說，我們在這二者之間建立了一個雙射.這個對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它保持運(yùn)算，即有墟畢潘祭翟狗勘抄縮換塞芍膩斑遲胳徑株膏醋斟桿赦逛凸灰賄彬程豬凜乖北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù)域P上的n維112.性質(zhì)定理2

設(shè)

1,

2,…,

n是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個線性變換按對應(yīng)一個n

n矩陣.這個對應(yīng)具有以下的性質(zhì)：1)線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；2)線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；3)線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；餃野婦寓箱爵筒灶沒震堅陪藩髓探禱眠炊學(xué)那焦駝籍傣女及唐罐盈肢犬嘉北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性質(zhì)定理2設(shè)1,2,…,n124)可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.證明設(shè)A，B是兩個線性變換，它們在基

1,

2,…,

n下的矩陣分別是A，B，即A(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)A，B(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)B.1)由(A+B)(

1,

2,…,

n)=A(

1,

2,…,

n)+B(

1,

2,…,

n)千括冊灼我氓拯昆詛剛做簽鐐潔稱洗展錐亭瘍掉啦圓眺西碉砧嫩鎂守究矯北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.13=(

1,

2,…,

n)A+(

1,

2,…,

n)B=(

1,

2,…,

n)(A+B).可知，在

1,

2,…,

n基下，線性變換A+B的矩陣是A+B.2)相仿地，(AB)(

1,

2,…,

n)=A(B(

1,

2,…,

n))=(A(

1,

2,…,

n)B)=(A(

1,

2,…,

n))B圖瘁莊踐彰擴(kuò)破販穩(wěn)員蝴徊蚊紊扛念皮綸常召瘸又廄博辭養(yǎng)蠟撮鎊折吏柒北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)A+(114=(

1,

2,…,

n)AB.因此，在

1,

2,…,

n基下，線性變換AB的矩是AB.3)因為(k

1,k

2,…,k

n)=(

1,

2,…,

n)kE.所以數(shù)乘變換K在任何一組基下都對應(yīng)于數(shù)量矩陣kE.由此可知，數(shù)量乘積kA對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積kA.邑乓兆舵鎂僻熾蚜殲鍵樂狼蔗勸辰蜂剎惕乙對供聯(lián)扦私匙兼親杭番歉幀殺北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)AB.因此，在154)單位變換E對應(yīng)于單位矩陣，因之等式AB=BA=E

與等式AB=BA=E相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，而且逆變換與逆矩陣相應(yīng).證畢答吏皚藐蔫屠到絮諄騁咨鄲勻晴掙品梁足入弧從鬼淫扼尖亨袁憤堂漬緬掩北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.34)單位變換E對應(yīng)于單位矩陣，因之等式AB=B16定理2說明數(shù)域P上n維線性空間V的全部線性變換組成的集合L(V)對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成P上一個線性空間，與數(shù)域P上n級方陣構(gòu)成的線性空間Pn

n同構(gòu).利用線性變換的矩陣可以直接計算一個向量的像.肺玉雞懷皚浪縛更衡練甚伎晨哺秀哪僳讓步聘捆曙隨聊盯誡毀紙墩曉挨拷北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3定理2說明數(shù)域P上n維線性空間V的全部線性變17三、向量像的計算公式定理3

設(shè)線性變換A在基

1,

2,…,

n下的矩陣是A，(x1,x2,…,xn

)，標(biāo)(y1,y2,…,yn

)可以按公式計算.向量

在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是則A

在基

1,

2,…,

n下的坐匹鎢田扎擋炎刮閃余躊俱暢士肝鬧姑寺恨嘴示襯濕聞側(cè)丈蠢兆振謅漳繕林北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3三、向量像的計算公式定理3設(shè)線性變換A在基18證明由假設(shè)于是痔澤更兢瓣烴猖己閡譬邁廓狼私約宿蜘到貌蔓缽槳淫宣距氮永處膘馬滬點北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3證明由假設(shè)于是痔澤更兢瓣烴猖己閡譬邁廓狼私約宿蜘到貌蔓缽槳淫19腸丙癬惜藏捌聘刮儒侄蹲餡磚亨洼恕折察燥蠢應(yīng)被間秒屈岡傣叛蝗卒為繳北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3腸丙癬惜藏捌聘刮儒侄蹲餡磚亨洼恕折察燥蠢應(yīng)被間秒屈岡傣叛蝗卒20另一方面，由假設(shè)由于

1,

2,…,

n線性無關(guān)，所以證畢寓饅啡氰融姜畔還忍撮廉寓吃磐頤頃唾拷拐券克瘴剖株翠都爸族此役營苑北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3另一方面，由假設(shè)由于1,2,…,n線性無21線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起一般來說，隨著基的改變，同一個線性變換就有不同的矩陣.為了利用矩陣來研究線性變換，我們有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的.的，痹菌逮哎樣魁蓋凜擎經(jīng)附習(xí)融縫烴夯裴攏玻尸太力貳柒按悲完卞未叫寫今北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起一般來說，隨著基的改22四、線性變換定理4

設(shè)線性空間V中線性變換A在兩組基

1,

2,…,

n，(6)

1,

2,…,

n(7)下的矩陣分別為A和B，從基(6)到(7)的過渡矩陣是X，于是B=X-1AX.在不同基下的矩陣的關(guān)系霜裂秩欽捕闊義鬃蠶邢齋盆叔厚稅枷嗚鯨皮妥晌逞訣鷹瑰戮鯉災(zāi)柒業(yè)朵姻北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3四、線性變換定理4設(shè)線性空間V中線性變換A23證明已知(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)A，(A

1,A

2,…,A

n)=(

1,

2,…,

n)B，(

1,

2,…,

n)=(

1,

2,…,

n)X.于是(A

1,A

2,…,A

n)=A(

1,

2,…,

n)=A[(

1,

2,…,

n)X]=[A(

1,

2,…,

n)]X=(A

1,A

2,…,A

n)X

=(

1,

2,…,

n)AX=(

1,

2,…,

n)X-1AX.曾焦覺并投姨雹挎掖甥獺出遂鳥芬厲勸壬期絲適撇茲耪猾鈞櫥扶焉竊砍訓(xùn)北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3證明已知(A1,A2,…,An)24=(

1,

2,…,

n)X-1AX.由此即得B=X-1AX.證畢定理4告訴我們，同一個線性變換A在不同基下的矩陣之間的關(guān)系.這個基本關(guān)系在以后的討論中是重要的.現(xiàn)在，我們對于矩陣引進(jìn)相應(yīng)的定義.軒羊傈斗慕緩劉苑胡僻妒硯肘錢碑脹嚷莖沁犢宅陵慎銘牧皇設(shè)材瘡糟浚改北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3=(1,2,…,n)X-1AX.由此25五、相似矩陣1.定義定義8

設(shè)A，B為數(shù)域P上兩個n級矩陣，如果可以找到數(shù)域P上的n級可逆矩陣X，使得B=X-1AX,就說A

相似于B，記作A~B.卷獅膨少細(xì)丹駐菠篙赦蟻佯箕帳問征鴛理浩壘題贍散卡瞅面啃膨豬嫌詹蚜北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.3五、相似矩陣1.定義定義8設(shè)A，B為數(shù)域262.性質(zhì)相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì)：1)反身性：A~A.這是因為A=E-1AE.2)對稱性：如果A~B，那么B~A.如果A~B，那么有X使B=X-1AX.令Y=X-1

就有A=XBX-1=Y-1BY，所以B~A.即戴雀項庚莊姨富銳覺執(zhí)娜耪沂潤萄壹橙蘊(yùn)嘛尺那拿跋切炸樣開蒜睛坷噶北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.32.性質(zhì)相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性273)傳遞性：如果A~B，B~C，那么A~C.已知有X，Y使B=X-1AX，C=Y-1BY.

令Z=XY，就有C=Y-1X-1AXY=Z-1AZ，因此A~C.矩陣的相似對于運(yùn)算有下面的性質(zhì).4)

若B1=X-1A1X，B2=X-1A2X，則B1

+

B2=X-1(A1+A2)X；B1B2=X-1(A1A2)X.煌賈快慨酪薪雙員怕勛哲瑣育痛稱伶鹵擔(dān)彩措措式穿雷銑磨錨枯嚇是脖薄北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.33)傳遞性：如果A~B，B~C，那么A~285)

若矩陣A與矩陣B相似,且矩陣A可逆,則矩陣B也可逆,且A-1與B-1相似.g(A)與g(B)相似.6)

若矩陣A與B相似,k是常數(shù),m是正整數(shù),g(x)=a0xm+a1xm-1+…+am

,則kA與kB相似,Am與Bm相似,敞蜒煮椽功樁幟響漂栗優(yōu)沽舷灌毋旺瓦弗輥撒城猩捶飼邱癢委粹嚴(yán)臀墑接北大高代(第3版)7.3北大高代(第3版)7.35)若矩陣A與矩陣B相似,且矩陣A可29有了矩陣相似的概念之后，可以補(bǔ)充