第頁北京市鐵路第二中學(xué)2023—2023學(xué)年度第一學(xué)期高一數(shù)學(xué)期中試卷本試卷共22題，總分值150分，考試時間120分鐘一、選擇題〔本大題共10小題，每題5分，共50分．在每題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的〕1．集合，，那么〔〕． A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，，應(yīng)選．2．設(shè)集合，，那么〔〕． A． B． C． D．或【答案】A【解析】解：或，應(yīng)選．3．函數(shù)的定義域為〔〕． A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，∴且，得，∴定義域為．應(yīng)選．4．函數(shù)，那么的值為〔〕． A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，應(yīng)選．5．定義在上的函數(shù)的值域為，那么函數(shù)的值域為〔〕． A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】解：的值域為，應(yīng)選．6．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：“二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，求證：這個二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱〞，根據(jù)消息，題中二次函數(shù)圖像不具有的性質(zhì)是〔〕． A．在軸上的截線段長是 B．與軸交于點 C．頂點 D．過點【答案】B【解析】解：、因為圖像過點，且對稱軸是直線，另一點對稱點，故正確；、由條件可求得函數(shù)的解析式為，頂點坐標為，故錯誤；、由，故，故正確；、，時，，故函數(shù)與軸交點為，故正確．應(yīng)選．7．，那么〔〕． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，時，，選．8．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率〞，在特定條件下，可食用率與加工時間〔單位：分鐘〕滿足函數(shù)關(guān)系〔，，是常數(shù)〕，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最正確加工時間為〔〕． A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【解析】解：由圖知，函數(shù)過，，三點，代入可得：，解得：，故，該二次函數(shù)開口朝下，當(dāng)時，取得最大值．應(yīng)選．9．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是〔〕． A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．應(yīng)選．10．函數(shù)，，假設(shè)對任意，總有或成立，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕． A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由，得，故對時，不成立，從而對任意，恒成立，因為，對任意恒成立，如下圖，那么必有，計算得出．應(yīng)選．二、填空題11．__________．【答案】【解析】解：12．，化簡__________．【答案】【解析】13．請將三個數(shù)，，，按照從小到大的排序排列__________．【答案】【解析】解：，∵在上單調(diào)遞增，且，14．方程的實數(shù)解的個數(shù)為__________．【答案】【解析】解：由下列圖可知與有兩個交點，∴有個解．15．假設(shè)一次函數(shù)有一個零點，那么函數(shù)的零點是__________．【答案】和【解析】解：∵有個零點是，又，16．假設(shè)一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，那么稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)〞，例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同族函數(shù)〞，給出下面四個函數(shù)：①；②；③；④．其中能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)〞的是__________．〔寫出所有符合條件的序號〕【答案】②③【解析】解：由題知“同族函數(shù)〞應(yīng)具備對稱性，①、單調(diào)遞增，不對稱，錯誤；②、關(guān)于對稱，可用來構(gòu)造“同族函數(shù)〞；③、關(guān)于對稱，可用來構(gòu)造“同族函數(shù)〞；④、在上單調(diào)遞增，不對稱，錯誤．應(yīng)選②③．三、解答題〔本大題共6小題，共70分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕17．〔本小題總分值分〕函數(shù)，其中且．〔〕假設(shè)，求滿足的集合．〔〕假設(shè)，求的取值范圍．【答案】〔〕或．【解析】解：〔〕，，時，，即，得或．時，，∴，得，矛盾，舍去，綜上：．18．〔本小題總分值分〕二次函數(shù)，．〔〕當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值．〔〕求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．【答案】〔〕；〔〕．【解析】解：〔〕時，，對稱軸為，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，〔〕∵關(guān)于對稱，∴要使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么必有或，計算得出或，即實數(shù)的取值范圍是．19．設(shè)常數(shù)，函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)？并說明理由．【答案】見解析．【解析】解：假設(shè)為偶函數(shù)，那么對任意均成立，所以，整理可得，∵不恒為，此時，，滿足條件，假設(shè)為奇函數(shù)，那么對任意均成立，所以，整理可得，所以，此時，，滿足條件，綜上，時，是偶函數(shù)，時，是奇函數(shù)．20．〔本小題總分值分〕函數(shù)，滿足①；②．〔〕求，的值．〔〕設(shè)，求的最小值．【答案】〔〕，；〔〕．【解析】解：〔〕，又，又，時，，此時在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，21．〔本小題總分值分〕某市居民自來水收費標準如下，每戶每月用水不超過噸時每噸為元，當(dāng)用水超過噸時，超過局部每噸元，某月甲、乙兩戶共交水費元，甲、乙兩用戶該月用水量分別為，(噸)．〔〕求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．〔〕假設(shè)甲、乙兩戶該月共交水費元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費．【答案】〔〕．〔〕噸，元；噸，噸．【解析】解：〔〕根據(jù)題意知，，令，得，令，得，那么當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，即得．〔〕因為在各段區(qū)間上均單調(diào)增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，得，所以甲戶用水量為噸，付費元，乙戶用水量為噸，付費元．22．〔本小題總分值分〕在中學(xué)階段，對許多特定集合〔如實數(shù)集等〕的學(xué)習(xí)常常是以定義運算〔如四那么運算〕和研究運算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在上定義一個運算，記為⊙，對于中的任意兩個元素

，，規(guī)定：⊙．〔〕計算：⊙．〔〕請用數(shù)學(xué)