一數(shù)理統(tǒng)計教案一一數(shù)理統(tǒng)計教案一——#例1下面給出了某地120名12歲男孩身高的資料。某地120名12歲男孩身高的資料（單位：厘米）128.1144.4150.3146.2140.6139.7154.3143.8141.4138.1140.3135.9143143.1142.7127.4141.2142.9135.3140.2129.1126125.6127.7154.4142.7141.2140.8160.3142.2136.2137.3141.3133.4131125.4130.3146.3146.8138.9150139.7132.9136.6155.8142.7137.6136.9122.7131.8147.7133.1133.1144.7140.6134.6139.7135.8134.8139.1139132.3134.7147.9138.1152.1135139.5139.4138.4136.6136.2141.6141138.4146146.4136.2150.7145.2138.3145.1141.4139.9140.6140.2131127.7148.5138.8126135.7142.7150.4142.7144.3136.4134.5132.3123.1143.7142.4136.8128.2156.9152.7148.1139.6138.9136.1135.9142.8144.5138.4147.5139.8142.4（1）將數(shù)據(jù)按由小到大順序整理為122.7133.1136.6139.7142.4146.3123.1133.1136.8139.7142.7146.4124.3133.4136.9139.8142.7146.8125.4134.1137.3139.9142.7147.5125.6134.5137.6140.2142.7147.7126134.6138.1140.2142.7147.9126134.7138.1140.3142.8147.9127.4134.8138.3140.6142.9148.1127.7135138.4140.6143148.5127.7135.3138.4140.6143.1150128.1135.7138.4140.8143.7150.3128.2135.8138.8141143.8150.4129.1135.9138.9141.2144.3150.7130.3135.9138.9141.2144.4152.1131136.1139141.3144.5152.7131136.2139.1141.4144.7154.3131.8136.2139.4141.4145.1154.4132.3136.2139.5141.6145.2155.8132.3136.4139.6142.2146156.9132.9136.6139.7142.4146.2160.3

（2）制作頻數(shù)分布表（以［t,t）形式分組）i1i組下限（tj122126130134138142146150154158合計頻數(shù)（n.）581022332011641120合并成頻數(shù)分布表：組下限（t.）122126130134138142146150154以上合計頻數(shù)（n.）581022332011651203）作直方圖二、分布的2—擬合優(yōu)度檢驗1、取有限個值的總體設(shè)x,x,,x是來自總體X的樣本值，欲檢驗:12n

Xy1y2???yr頻數(shù)(n)in1n2???nr合計n值的個數(shù)(頻數(shù))，H為真時，統(tǒng)計量x2=工(ni叫2?x2(r—1));0npi=1i計算：統(tǒng)計x,x,…,x中取y值的個數(shù)(頻數(shù))得頻數(shù)分布表:12niX~(y,y,…，X~(y,y,…，y)12rW，p2,…，p丿12r,這里y,i；p,i=1,2,…,r均為已知數(shù)。i1)H0：P(X=y)=p,i=1,2,…，r；0ii2)檢驗統(tǒng)計量：咒2=Y(ni_"/J2i=1npirn2i—n，(n=x,x，…，x中取ynpi12nii=1i計算x2=工佇-n值；4)i=1npi4)，查咒2-分布表得查表：對給定的顯著水平a、自由度，查咒2-分布表得X2(r—1)；1—a(5)結(jié)論：若X2>X2(r—1)，則拒絕H:P(X=y)=p,i=1,2,…,r；

1—a0ii若x2<x2(r—1)，就認為假設(shè)與實驗結(jié)果無顯著差異。1—a(即接受原假設(shè)H:P(X=y)=p,i=1,2,…,r)。0ii例2擲一枚骰子120次，結(jié)果如下表：點數(shù)123456頻數(shù)232621201515對于a=0.05，問該骰子是否均勻?解：以X表示擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則骰子是否均勻等價于

P(X=k)=,k=1,2,…,6否成立。61H0：P(X=k)=―,k=1,2,…,6；丫n2—232262212202152152“八X2二乙i-n=1+1+1+1+亍+1-120i=1npi120x120x120x120x120x120x666666=4.8對于a=0.05、自由度r-1=6-1=5，查x2-分布表得x2(5)=11.07;0.95由于X2=4.8<11.07=x2(5)，所以接受H:p(x=k)=L,k=1,2,…,6，即0.9506認為該骰子是均勻的。注：當(dāng)分布中有一些未知參數(shù)時，可以各參數(shù)的極大似然估計值『代i替各未知參數(shù)9，得到p（0,0，…,0）的估計值p=p（0?）代ii12sii12s入公式得x2=工竺-n，（設(shè)有s個未知參數(shù)），此時，在H為真時,0統(tǒng)計量X2=工竺-n?X2（r-s-1）分布。,=1叭2、取無限多個值的總體設(shè)x,x,...,x是來自總體X的樣本值，欲檢驗假設(shè)：X?F（x）。分成r個互TOC\o"1-5"\h\z12n分成r個互（1）首先根據(jù)n的大小及x,x,...,x的情況將（-^,+^12n，t］，1(t，t］，t］，1(t，t］，…,12i”，t］，C,+w)；r-2r-1r-1y*(t,t］，yxy*(t,t］，yx(t,+s)，ii-1irr-111計算p=P(X<t)=F(t)，…，p二P(t<X<t)二F(t)-F(t)，111ii-1iii-1p=P(X>t)=1—F(t)。rr-1r-1于是關(guān)于：X~F(x)的檢驗問題，轉(zhuǎn)化為檢驗假設(shè)：P(X二y)二p,i=1,2,…,r問題。ii記x,x，…,x中在(t,t】中的個數(shù)為n，則在P(X二y)二p,i=1,2,…,r12ni-1iiii為真時，咒2鼻(ni-npi)2?咒2(r-1)。匸1npi在總體分布中有未知參數(shù)時與前面取有限多個值的方式一樣處理。例3在一實驗中，每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射的到計數(shù)器上的a—粒子數(shù)X,共觀察了100次，得結(jié)果如下：粒子數(shù)(X)01234567891011頻數(shù)(J)i11516172611992121對a=0.10，問X是否服從Poisson分布？解：由于總體中有一個未知參數(shù)九，所以先求得九的極大似然估計值x二4.2，本題化歸檢驗假設(shè)：X?P(4.2)。于是：H0：X~P(4.2)計算p=P(X=0)+P(X=1)=0.0150+0.063=0.078，1p=P(X=2)=0.132，p=P(X=3)=0.185，p=P(X=4)=0.194234p=P(X=5)=0.163，p=P(X=6)=0.114，p=P(X=7)=0.069567p=P(X>7)=1-0.078-0.132-0.185-0.194-0.163-0.114-0.069=0.0648

據(jù)此將題的分布表整理成粒子數(shù)（X）<1234567>8頻數(shù)（n）i161617261199662162172262112+++++100x0.078100x0.132100x0.185100x0.194100x0.16392100x0.11492100x0.11492100x0.06962100x0.064-100=6.257對于a=0.10,自由度r-s-1二8-1-1二6,查x2-分布表得x2⑹二10.645；0.90由于X2二6.257<10.645二X2⑹，所以接受H0：X?P（4.2），即認為X是服0.900從參數(shù)九二4.2的Poisson分布。例4檢驗例1的數(shù)據(jù)（12歲男孩身高的數(shù)值X）,服從正態(tài)分布。（a取0.10）解首先求出總體均值卩和總體方差°2的極大似然估計值x及s2=1g(x-x)2'經(jīng)計算得=x=139.5，cP2二s2二55，E=7.42。nnini=1再計算p,i=1,2,,9。i126-139.5p=P(X<126)=①()=①(-1.82)=0.0344，17.42130-139.5126-139.5p=P(126<X<130)=O()一①(-27.427.42=O(-1.28)-O(-1.82)=0.1003-0.0344=0.0669p=0.1294，p=0.1910，p=0.2124，p=0.1775，p=0.1116，p=0.0522，345678154-139.5p=1-①()=1-①(1.95)=1-0.9744=0.025697.42代入公式：

TOC\o"1-5"\h\zrn25282102222332/2=乙i——n=+++++np120x0.034120x0.0669120x0.1294120x0.191120x0.2124;——1:202120x0.177511202120x0.1775112+120x0.111662+120x0.0522620.0256—120=6.1271對于a=0.10,自由度=9-2-1=6，查咒2-分布表得咒2⑹二10.645;0.90由于X2二6.1271<10.645二兀2⑹，所以認為實驗結(jié)果與假設(shè)一總體服從0.90正態(tài)分布無顯著差異，即接受H:x?N(139.5,55)。三、獨立性檢驗設(shè)(x,y),i二1,2,…,n是來自總體(X,Y)?F(x,y)的樣本值，且設(shè)iiX?F(x),Y?F(y)，欲檢驗隨機變量X與Y相互獨立。12為此首先將隨機變量X，Y的取值范圍分別劃分成互不交的集合:A，…，A和B，…，B，則X，Y獨立時應(yīng)有：1r1sP(XeA,YeB)二P(XeA)P(YeB),i二1,2,…,r;j二1,2,…,s。TOC\o"1-5"\h\zijij由于劃分是任意的，則檢驗隨機變量X與Y相互獨立問題轉(zhuǎn)化為檢驗：P(XeA,YeB)二P(XeA)P(YeB),i二1,2,…,r;j二1,2,…,s。ijij記p二P(XeA,YeB)，p二P(XeA)，p二P(YeB)，ijiji-i-jji二1,2,…,r,j二1,2,…,s。又記樣本值(x,y),i二1,2,…,n落入AxB中的個數(shù)為n，即iiijijn=xeA,yeBo事件(XeA,YeB)發(fā)生的頻數(shù)；ijijijn==工n，n==Yn；貝9n=工n=工n=工工n。整理成下面的—二元八(/-jj八-j(/j=1i=1i=1j=1聯(lián)立表。

p二pp,i二1,2,…,r,j二1,2,…,s。此為取有限多個值(rxs)，有p,p這iji'-j些((r-1)+(s-1))i..j個未知參數(shù)的分布擬合優(yōu)度檢驗問題。于是：二元聯(lián)立表二元聯(lián)立表H0：p二pp,i二1,2,…,r,j二1,2,…,s；0iji——j計算咒2二工另/-n；這里p,p是p,p的極大似然估計;TOC\o"1-5"\h\znpp匚-j匚-jiTj=1i..j可求得pi可求得pi.將其代入(2)式得p=~丄,j=h2,?…，s.jnrsn2rsn2rsn2此X2在H0為真時/丿/'丿——n二n乙乙——ij——n二n(此X2在H0為真時nppnnnniTj=1i..jiTj=1i..ji=1j=1i..j服從X2((r-1)x(s-1))分布。因此查表：對給定的顯著水平Q，查X2-分布表得X2((r-1)x(s-1))；1—a結(jié)論：若X2>X2((r-1)x(s-1))，拒絕假設(shè)：X與Y相互獨立；1—a

否則認為實驗結(jié)果與假設(shè)無顯著差異，即接受原假設(shè)。的極大似然估計問題：.j似然函數(shù)：l=nn(p似然函數(shù)：l=nn(p)%=nn卩人卩乜ijii=1j=1i=1j=1=(1-藝p)nr.ni.i=1=pn.pnj=1pni.(1-Yp)i..ji=1j=1.ji.i=1Hpnjj=1取對數(shù)得：lnL=取對數(shù)得：lnL=nln(1-Yp)hYnlnphnln(1-Yp)hYnlnpi.i.i..s.j.j.ji=1i=1j=1j=1r.令：o=皿，得：o=n

dpi.-1n-1nn+=n令：o=皿，得：o=n

dpi.-1n-1nn+=nh———n=r.ppr.i.1-Ypl

l=1n—i.pi.n,i=1,2，?…,r；ppir由比例的性質(zhì)得：Yni.i=i.i=1n=-^nppr.np=i=1,2，?…,r；i.令:0=6lnL，得:

dp.j1-Ypkk=1n+-jp.j-n.sp.snn+-jnp.jn-j,j=1,2,…，s；p.j由比例的性質(zhì)得：p.sYsn.jn=—=npY1p.jj=1np

n.j=—,j=1,2,…，s。n例1為了研究兒童智力發(fā)展與營養(yǎng)的關(guān)系，某研究機構(gòu)調(diào)查了1436名兒童，得到下表的數(shù)據(jù)，試在顯著水平°=0.05下判斷智力發(fā)展與營養(yǎng)有無關(guān)系。

兒童智力與營養(yǎng)的調(diào)査數(shù)據(jù)智商合計<8080—8990—99>100營養(yǎng)良好3673422663291304營養(yǎng)不良56402016132合計42