最小二乘法在攝影測(cè)量與遙感中的應(yīng)用最小二乘法在攝影測(cè)量與遙感中具有非常重要的應(yīng)用，在此主要對(duì)最小二乘法在遙感圖像的多項(xiàng)式糾正與遙感圖像復(fù)原中的應(yīng)用做簡(jiǎn)要的介紹。一、遙感圖像的多項(xiàng)式糾正遙感圖像的精糾正是指消除圖像中的幾何變形，產(chǎn)生一幅符合某種地圖投影或圖形表達(dá)要求的新圖像的過程。它包括兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是像素坐標(biāo)的變換，即將圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)榈貓D或地面坐標(biāo)；二是對(duì)坐標(biāo)變換后的像素亮度值進(jìn)行重采樣。遙感圖像糾正主要處理過程如下：根據(jù)圖像的成像方式確定影像坐標(biāo)和地面坐標(biāo)之間的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)所采用的數(shù)學(xué)模型確定糾正公式。根據(jù)地面控制點(diǎn)和對(duì)應(yīng)像點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行平差計(jì)算變換參數(shù)，評(píng)定精度。對(duì)原始影像進(jìn)行幾何變換計(jì)算，像素亮度值重采樣。目前的糾正方法有多項(xiàng)式法、共線方程法和隨機(jī)場(chǎng)內(nèi)插值法等。多項(xiàng)式糾正法是實(shí)踐中經(jīng)常使用的一種方法，因?yàn)樗脑肀容^直觀，并且計(jì)算較為簡(jiǎn)單，特別是對(duì)地面相對(duì)平坦的情況，具有足夠好的糾正精度。該方法的基本思想是回避成像的空間幾何過程，而直接對(duì)影像變形的本身進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬。它認(rèn)為遙感圖像的總體變形可以看作是平移、縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射、偏扭、彎曲以及更高次的基本變形的綜合作用結(jié)果，因而糾正前后影像相應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系可以用一個(gè)適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式來表達(dá)。該方法對(duì)各種類型傳感器的糾正都是普遍適用的，也有不同程度的近似性。同時(shí)該方法不僅用于影像對(duì)地面(或地圖)系統(tǒng)的糾正，還常用于不同類型影像之間的相互幾何配準(zhǔn)，以滿足計(jì)算機(jī)分類、地物變化監(jiān)測(cè)等處理的需要。當(dāng)遙感影像的幾何變形是由多種因素引起的，并且其變形規(guī)律難以用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述時(shí)，通常選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式來近似地描述糾正前后相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，并利用控制點(diǎn)的圖像坐標(biāo)和參考坐標(biāo)系中的理論坐標(biāo)按最小二乘原理求解出多項(xiàng)式中的系數(shù)，然后以此多項(xiàng)式對(duì)圖像進(jìn)行幾何校正。常用的多項(xiàng)式有一般多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式以及雙變量分區(qū)插值多項(xiàng)式等。一般多項(xiàng)式糾正變換公式為：x=a+(aX+aY)+(aX2+aXY+aY2)+(aX3+aX2Y+aXY2+aY3)+…*0123456789卜y=b+(bX+bY)+(bX2+bXY+bY2)+(bX3+bX2Y+bXY2+bY3)+…一0123456789式中：X,y——某像素原始圖像坐標(biāo)；X,Y——同名像素的地面(或地圖)坐標(biāo)。多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)(即系數(shù)個(gè)數(shù))N與其階數(shù)n有著固定的關(guān)系：1N二(n+1)(n+2)2多項(xiàng)式的系數(shù)a,b(i,j二0,1,2,???,("-1))一般可由兩種辦法求得：ii可用預(yù)測(cè)的圖像變形參數(shù)構(gòu)成。利用已知控制點(diǎn)的坐標(biāo)值按最小二乘法原理求解。根據(jù)糾正圖像要求的不同選用不同的階數(shù),當(dāng)選用一次項(xiàng)糾正時(shí),可以糾正圖像因平移、旋轉(zhuǎn)、比例尺變化和仿射變形等引起的線性變形；當(dāng)選用二次項(xiàng)糾正時(shí),則在改正一次項(xiàng)各種變形的基礎(chǔ)上,改正二次非線性變形。如選用三次向

糾正則改正更高次的非線性變形。對(duì)參加計(jì)算的同名點(diǎn)的要求（1）在影像上為明顯的地物點(diǎn)，易于判讀。（2）在影像上均勻分布。下面利用已知地面控制點(diǎn)求解多項(xiàng)式系數(shù)：（1）列誤差方程式：二aa-lxax二aa-lXX1X-X?1±一一A其中，改正數(shù)向量為：ybyV=VV…}xx1x1V=VV…丄yy1y1系數(shù)矩陣為：所求的變換系數(shù)為：1a1ab1ooL_LLb====:abAA像點(diǎn)坐標(biāo)為：2）構(gòu)成法方程：(AtA)A=AtLax(AtA)A=AtLby3）計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)：a=(AtA)-1AtLaxA=(AtA)-1AtLby=±xx4）精度評(píng)定：=±xx8x8y式中：n——控制點(diǎn)個(gè)數(shù)；N系數(shù)個(gè)數(shù)；n-N多余觀測(cè)。設(shè)定一個(gè)限差￡作為評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)。若8>￡，則說明存在粗差，精度不

可取，應(yīng)對(duì)每個(gè)控制點(diǎn)上的平差殘余誤差V,V進(jìn)行比較檢查，視最大者為粗差，xiyi將其剔除或重新選點(diǎn)后再進(jìn)行平差，直至滿足5<￡為止。二、遙感圖像的復(fù)原在遙感圖像的獲取、傳輸以及記錄保存過程中，由于各種因素，如成像設(shè)備與目標(biāo)物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，大氣的湍流效應(yīng)，光學(xué)系統(tǒng)的相差，成像系統(tǒng)的非線性畸變，環(huán)境的隨機(jī)噪聲等原因都會(huì)使圖像產(chǎn)生一定程度的退化，遙感圖像退化的典型表現(xiàn)是圖像出現(xiàn)模糊、失真，出現(xiàn)附加噪聲等。由于遙感圖像的退化，使得最終獲取的遙感圖像不再是原始圖像，圖像效果明顯變差。為此，要較好地顯示原始遙感圖像，必須對(duì)退化后的遙感圖像進(jìn)行處理，恢復(fù)出真實(shí)的原始遙感圖像，這一過程就稱為遙感圖像復(fù)原。遙感圖像復(fù)原的過程是首先利用退化現(xiàn)象的某種先驗(yàn)知識(shí)，建立退化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，然后再根據(jù)退化模型進(jìn)行反向的推演運(yùn)算，以恢復(fù)原始的遙感景物圖像。遙感圖像復(fù)原處理的關(guān)鍵問題就是在于建立退化模型。在用數(shù)學(xué)方法描述靜止的、單色的、平面的圖像時(shí)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式就簡(jiǎn)化為I=f(x,y)，原圖像f(x,y)由于通過了一個(gè)系統(tǒng)H及受外來噪聲n(x,y)影響而使其退化為圖像g(x,y)。圖像復(fù)原可以看成是一個(gè)估計(jì)過程，如果已經(jīng)給出了退化圖像g(x,y)，并估計(jì)出系統(tǒng)參數(shù)H，且假設(shè)已知n(x,y)的統(tǒng)計(jì)特性，則可近似地恢復(fù)真實(shí)圖像f(x,y)。假設(shè)圖像函數(shù)f(x,y)和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x,y)的大小分別為AxB、CxD，首f(x,y)=eff(x,y)=ef(x,y)00<x<A—1,0<y<B—1A<x<M—1,B<y<N—1h(x,eh(x,eh(x,00<x<C—1,0<y<D—1C<x<M—1,D<y<N—1經(jīng)過這樣的延拓后，f(x,y)和h(x,y)分別成為二維周期函數(shù)。它們?cè)趚和y方ee向上的周期分別為M和N?？梢?，二維退化模型是一個(gè)二維卷積形式，即1)(x,y)=￡￡nif(m,n)h(x-m,y-n)1)eem=0n=0式中，x=0,1,2,…,M—1;y=0,1,2,…,N—1;卷積函數(shù)g(x,y)也是周期函數(shù)，其周期與f(x,y)和h(x,y)一樣。為避免重疊，同樣要按以下規(guī)則延拓ee所以式(1)的模型也可以用以下矩陣來表示[g]=[H]f]其中，[H]、[f]都是MxN維的列向量。這些列向量是由MxN維的函數(shù)矩陣「f(x,y)]和「h(x,y)1的各行堆積而成的。ee在加性噪聲n(x,y)的影響下，離散退化模型可寫為2)g(x,y)=燈N-1f(m,n)h(x-m,y-n)+n(x,y)eeeem=0n=02)1.圖像的非約束復(fù)原由式(2)可知，其噪聲項(xiàng)為n二g-Hf在對(duì)n不了解的情況下，希望找到一個(gè)f的估計(jì)值f，使得Hf在最小二乘意義上最接近g，使n的范數(shù)最小，即制|2二nrn二g-明2二g-Hf/制|2二nrn二這樣，圖像復(fù)原問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍驤(f)=||g-Hf的極小值問題，而不受任何其他條件的約束，這種復(fù)原稱為非約束復(fù)原。為此，只需要求其對(duì)f的微分就可以得到復(fù)原公式，即簡(jiǎn)化為f=(HtHLHTg令M=N，則H為一方陣，并且假設(shè)H-1存在，于是可求得:f二H-1(Ht)-iHTg二H-ig即為所求得的非約束復(fù)原公式。2.圖像的約束復(fù)原在最小二乘復(fù)原處理中，為了在數(shù)學(xué)上更容易處理，并且適用于遙感領(lǐng)域，

常常對(duì)/附加不同的約束條件。此時(shí)，求解方程J(f)=||g-Hf就需要使用拉格

函數(shù)服從約束條件”-=iini2的最小化問題。尋找一個(gè)最優(yōu)估計(jì)f，使下述準(zhǔn)則函數(shù)為最小，即朗日乘數(shù)法，令Q為函數(shù)服從約束條件”-=iini2的最小化問題。尋找一個(gè)最優(yōu)估計(jì)f，使下述準(zhǔn)則函數(shù)為最小，即L+/g-nf\-mi2空=2Q?-次空=2Q?-次H(g-然后求解f為:HtH+-HtH+-QtQ[九)-1丿HTg即是所要求的約束復(fù)原公式。最小二乘法原理在求解圖像復(fù)原公式