2．4．1函數(shù)的零點(diǎn)1．了解函數(shù)零點(diǎn)的定義．2．理解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．3．掌握函數(shù)零點(diǎn)的判定方法．1．函數(shù)的零點(diǎn)如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的值等于零，即f(α)＝0，則α叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．2．二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)(1)當(dāng)函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)且穿過(guò)x軸時(shí)，函數(shù)值變號(hào)．(2)兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分為三個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值保持同號(hào)．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)．()(2)任何函數(shù)都有零點(diǎn)．()(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)，則一定有f(a)·f(b)＜0．()答案：(1)×(2)×(3)×2．函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)的零點(diǎn)是()A．1 B．－1C．1，－1 D．(1，－1)答案：C3．函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)與函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)有什么聯(lián)系？解：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．求函數(shù)的零點(diǎn)判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4．【解】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零點(diǎn)是－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0無(wú)解，所以函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點(diǎn)．eq\a\vs4\al()函數(shù)零點(diǎn)的求法求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)通常有兩種方法：一是令f(x)＝0，根據(jù)解方程f(x)＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；二是畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．1．若2是函數(shù)f(x)＝x2－m的一個(gè)零點(diǎn)，則m＝________．解析：因?yàn)?是函數(shù)f(x)＝x2－m的一個(gè)零點(diǎn)，所以f(2)＝0，即22－m＝0，所以m＝4．答案：42．函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，求函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)．解：由于函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，得2a＋b＝0，則g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，令－2ax2－ax＝0，可得x＝0或－eq\f(1,2)，故g(x)的零點(diǎn)為0和－eq\f(1,2)．零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷分別判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由：(1)f(x)＝x2＋6x＋9；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))．【解】(1)函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋9的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，且與x軸有唯一的公共點(diǎn)(－3，0)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋9有一個(gè)零點(diǎn)．(2)法一：當(dāng)x≥0時(shí)，令f(x)＝0得x＋1＝0，解得x＝－1，與x≥0矛盾；當(dāng)x<0時(shí)，令f(x)＝0得x－1＝0，解得x＝1，與x<0矛盾．所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))沒(méi)有零點(diǎn)．法二：畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))的圖象，如圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,x－1，x<0))沒(méi)有零點(diǎn)．eq\a\vs4\al()判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判斷解的個(gè)數(shù)，可通過(guò)方程的解來(lái)判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)圖象法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，根據(jù)兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)定理法：函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[a，b]上是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，由f(a)·f(b)＜0即可判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn)，若有，有幾個(gè)零點(diǎn)？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6．解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0無(wú)實(shí)根，所以此函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．(2)令－x2＋2x－1＝0?－(x－1)2＝0?x1＝x2＝1，故此函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)1．(3)令x2－5x＋6＝0?(x－3)(x－2)＝0?x1＝2，x2＝3．故此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2，3．函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1．若b＝a＋2，且函數(shù)f(x)在(－2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解】當(dāng)a＝0時(shí)，令f(x)＝0，得x＝eq\f(1,2)，符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)閎＝a＋2，所以f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a>0，函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1必有兩個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在(－2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，故f(－2)·f(1)<0，(6a＋5)×(－1)<0，所以6a＋5>0，所以a>－eq\f(5,6)，又因?yàn)閍≠0，所以a>－eq\f(5,6)且a≠0．綜上a>－eq\f(5,6)．eq\a\vs4\al()方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間緊密相連，要靈活處理它們之間的關(guān)系并能靈活應(yīng)用．當(dāng)二次函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí)，要注意討論各種情況，不要遺漏．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比0大，一個(gè)零點(diǎn)比0小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：法一：設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2則x1x2<0，所以a－2<0，所以a<2．法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，零點(diǎn)分布在x＝0兩邊，所以f(0)<0，即a－2<0，所以a<2．答案：a<21．正確理解函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是f(x)＝0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f(x)＝0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根．即函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)?方程f(x)＝0的實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．3．關(guān)于判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法總結(jié)(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一個(gè)零點(diǎn)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的根，但不能將它們完全等同．如函數(shù)f(x)＝x2－4x＋4只有一個(gè)零點(diǎn)，但方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根．1．函數(shù)f(x)＝－x2＋5x－6的零點(diǎn)是()A．－2，3 B．2，3C．2，－3 D．－2，－3解析：選B．令－x2＋5x－6＝0，即x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3．故函數(shù)f(x)＝－x2＋5x－6的零點(diǎn)為2，3．2．函數(shù)y＝(x－2)(x－3)－12的零點(diǎn)為_(kāi)_______．解析：函數(shù)y＝(x－2)(x－3)－12＝x2－5x＋6－12＝(x＋1)(x－6)．令y＝0，解方程(x＋1)(x－6)＝0得，x1＝－1，x2＝6．所以函數(shù)的零點(diǎn)為－1，6．答案：－1，63．已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1的零點(diǎn)為－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，則a＝________，b＝________．答案：－614．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－2a－b＝0，,32－3a－b＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－6，))所以g(x)＝－6x2－5x－1的零點(diǎn)是－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)．答案：－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是()A．0，2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)解析：選C．由f(x)的一個(gè)零點(diǎn)是2，得2a＋b＝0，所以eq\f(b,a)＝－2，而g(x)＝bx2－ax＝bx(x－eq\f(a,b))，其零點(diǎn)是0和eq\f(a,b)，即0，－eq\f(1,2)．故選C．2．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，則該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．0 D．無(wú)法確定解析：選B．因?yàn)閍c<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故選B．3．函數(shù)f(x)＝x3－2在區(qū)間[1，2]內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：選C．由f(x)在R上是增函數(shù)，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）<0,f（2）>0))知f(x)在[1，2]上有零點(diǎn)．又因?yàn)閒(x)＝x3－2在[1，2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在[1，2]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．4．若函數(shù)f(x)＝mx2＋8mx＋21，當(dāng)f(x)<0時(shí)－7<x<－1，則實(shí)數(shù)m的值等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C．m＝0時(shí)f(x)＝21<0不成立，m≠0時(shí)，f(x)是二次函數(shù)，由f(x)<0時(shí)－7<x<－1知－7，－1是f(x)的零點(diǎn)，所以－7，－1是方程mx2＋8mx＋21＝0的兩根，所以eq\f(21,m)＝－7×(－1)＝7．所以m＝3．故選C．5．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，則f(x)在(1，2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．至多有一個(gè) B．有一個(gè)或兩個(gè)C．有且僅有一個(gè) D．一個(gè)也沒(méi)有解析：選C．若a＝0，則f(x)＝bx＋c是一次函數(shù)，由f(1)·f(2)＜0得零點(diǎn)只有一個(gè)；若a≠0，則f(x)＝ax2＋bx＋c為二次函數(shù)，若f(x)在(1，2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則必有f(1)·f(2)＞0，與已知矛盾．故f(x)在(1，2)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．6．函數(shù)f(x)＝2x2－ax＋3有一零點(diǎn)為eq\f(3,2)，則f(1)＝________．解析：因?yàn)閑q\f(3,2)是f(x)＝0的零點(diǎn)，所以2×(eq\f(3,2))2－a×eq\f(3,2)＋3＝0，所以a＝5，所以f(x)＝2x2－5x＋3，所以f(1)＝0．答案：07．已知函數(shù)f(x)＝3mx－4，若在區(qū)間[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[－2，0]上存在零點(diǎn)x0使f(x0)＝0，且f(x)單調(diào)，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－eq\f(2,3)．所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))8．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，－2是它的一個(gè)零點(diǎn)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則該函數(shù)有________個(gè)零點(diǎn)，這幾個(gè)零點(diǎn)的和等于________．解析：因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，f(x)在(－∞，0)上也單調(diào)遞增，由f(2)＝－f(－2)＝0．因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)在R上共有3個(gè)零點(diǎn)，其和為－2＋0＋2＝0．答案：309．若方程mx2－x＋1＝0至少有一個(gè)大于0的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：設(shè)f(x)＝mx2－x＋1，當(dāng)m<0時(shí)，由于f(0)＝1，對(duì)稱(chēng)軸x＝eq\f(1,2m)<0，所以方程有一個(gè)正根；當(dāng)m>0時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（－1）2－4m≥0,－\f(－1,2m)>0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4),m>0))?0<m≤eq\f(1,4)；當(dāng)m＝0時(shí)，方程為－x＋1＝0根為x＝1，符合題意．綜上所述m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))．10．已知關(guān)于x的函數(shù)y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)．(1)求m的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為－4，求m的值．解：(1)當(dāng)m＋6＝0時(shí)，函數(shù)y＝－14x－5顯然有零點(diǎn)；當(dāng)m＋6≠0時(shí)，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9)．所以當(dāng)m≤－eq\f(5,9)，且m≠－6時(shí)，二次函數(shù)有零點(diǎn)．綜上可知，原函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是m≤－eq\f(5,9)．(2)設(shè)x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有x1＋x2＝－eq\f(2（m－1）,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6)，因?yàn)閑q\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，所以eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，所以－eq\f(2（m－1）,m＋1)＝－4，解得m＝－3．且當(dāng)m＝－3時(shí)，m＋6≠0，Δ>0符合題意．所以m的值為－3．[B能力提升]11．二次函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q的零點(diǎn)為1和m，且－1<m<0，那么p，q滿(mǎn)足的條件為()A．p>0且q<0 B．p>0且q>0C．p<0且q>0 D．p<0且q<0解析：選D．由題意知，方程x2＋px＋q＝0的兩根為m和1，且－1<m<0．由根與系數(shù)的關(guān)系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－p＝m＋1>0，,q＝m<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p<0，,q<0.))12．關(guān)于函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2的零點(diǎn)的敘述：①－2是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)的二重零點(diǎn)是1；③函數(shù)f(x)＝g(x)＋4，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)是－1，2；④對(duì)于任意a，b∈(－2，1)，f(a)f(b)≥0．其中，所有敘述正確的序號(hào)為_(kāi)_______．解析：f(－2)＝－8＋6＋2＝0，故①正確；f(x)＝(x3－x)－2x＋2＝x(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)，故②正確；g(x)＝f(x)－4＝x3－3x－2＝(x3－x)－2x－2＝x(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝(x＋1)(x2－x－2)＝(x＋1)2(x－2)，故③正確；對(duì)于任意a，b∈(－2，1)，f(a)f(b)>0，故④不正確．答案：①②③13．已知函數(shù)f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有兩個(gè)零點(diǎn)；(1)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是－1和－3，求k的值；(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是α和β，求α2＋β2的取值范圍．解：(1)因?yàn)椋?和－3是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－3＝k－2，,－1×（－3）＝k2＋3k＋5，))解得k＝－2．(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為α和β，則α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＝k－2，,α