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∫x∫lnx1 xydt xdt y 1 1lnxylnxlny對數(shù)函數(shù)y=lnx的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)xey，習慣上記為yex.指數(shù)函數(shù)有加法公式ex+y=ex?ey.這里的底數(shù)e這樣定義，它使得∫1 e∫1對數(shù)函數(shù)y=lnx導數(shù)可以直接求出來，即y′=1x（利用變上限積分求導法則。指數(shù)函數(shù)y=ex的導數(shù)可以間接求出來，即利用它的反函數(shù)導數(shù)，然后倒過來即可，由此可知(ex)′=ex.這比直接利用導數(shù)定義要便捷一些。借助于歐拉公式eix=cosx+isinx，我們實際上可以由指數(shù)函數(shù)來研究三定積分運算∫看做是導數(shù)的逆運算，即按:=?d ∫.只是后來人們發(fā)現(xiàn)了牛頓-萊布尼茨公式，發(fā)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的變上積分∫表示一族函數(shù)而不是一個，即∫f(x)dx=F(x)不要漏掉任意常數(shù)Cn∑f(ξi)(xi?xi?1當max{xi?xi?1→0無法控制f(ξi).的想法是分y軸（即控制f(ξi)，大致想法如下：設m≤f(x)M，然后分割函數(shù)的值域[m,Mm=l0<l1<L<ln=

Ek={x∈[a,b]:lk≤f(x)Lebesgue測度記為m(Ek.∑lkm(Ek→∫f(x)∫EDI=∫∫Df(x的，而函數(shù)的定義要求對每一個x，有惟一的數(shù)值f(x與之對應。所以分xf(x的表現(xiàn)不那么糟糕。但是，如果分y軸，那么根據(jù)函數(shù)定義，同一個數(shù)值y，可能有一堆x與之對應，此時已經(jīng)不存在函數(shù)關系x=g(y了。這一解釋說明，站在函數(shù)積分的角度看，分x軸與分y軸并不對等。細想想確實如此，對于形態(tài)好的函數(shù)，分x軸與分y軸效果一樣，對于一些比較BT的函數(shù)，需要分y軸了（同時要借助L測度理論。需要強調的是：本人的看法是，Lebesgue積分的真正價值不是使得R不可積函數(shù)變得可積了，L積分的真正價值是：大大放寬了積分與極限∫u ∫0∫u z∫0

=arcsin定義了正弦函數(shù)zsinu.這其實是橢圓積分中k0對應的退化情

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