第2章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1微分方程的建立與求解2.2起始點(diǎn)的跳變2.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.5卷積2.6卷積的性質(zhì)

第2章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1微分方程的建立與求解12.1微分方程的建立與求解許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。一．微分方程的列寫(xiě)2.1微分方程的建立與求解許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬2根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征3二．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法二．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法4

齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。時(shí)域經(jīng)典法就是：完全解=齊次解+特解。齊次解：注意重根情況處理方法。特解：全解：時(shí)5特征根齊次解實(shí)單根r重實(shí)根共軛復(fù)根r重共軛復(fù)根表2-1幾種特征根情況下齊次解的形式特征根齊次解6表2－2幾種典型的自由項(xiàng)對(duì)應(yīng)的特解形式表2－2幾種典型的自由項(xiàng)對(duì)應(yīng)的特解形式7關(guān)于實(shí)際系統(tǒng)中的初始條件問(wèn)題在應(yīng)用經(jīng)典方法求解系統(tǒng)微分方程時(shí)，要使用時(shí)刻的初始條件來(lái)確定完全解中的待定系數(shù)。在實(shí)際系統(tǒng)中一般選擇為初始觀測(cè)時(shí)刻，而系統(tǒng)的激勵(lì)是在時(shí)刻加入的，因此，由于輸入信號(hào)的作用，響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)在處可能發(fā)生跳變或出現(xiàn)沖激。為區(qū)分跳變前后的數(shù)值，我們用0-表示激勵(lì)接入之前的瞬間，并稱此時(shí)刻為“起始時(shí)刻”；而用0+表示激勵(lì)接入之后的瞬間，并稱此時(shí)刻為“初始時(shí)刻”。關(guān)于實(shí)際系統(tǒng)中的初始條件問(wèn)題8系統(tǒng)的起始條件就是系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)函數(shù)在0-時(shí)刻的函數(shù)值，可用{y(i)(0-),i=0,1,…,n-1}表示；而系統(tǒng)的初始條件就是系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)函數(shù)在0+時(shí)刻的函數(shù)值，用{y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情況下，我們求的系統(tǒng)響應(yīng)是指系統(tǒng)接入激勵(lì)以后的響應(yīng)，即0+≤t<+∞。所以，應(yīng)當(dāng)利用系統(tǒng)的初始條件求齊次解中的各個(gè)系數(shù)。系統(tǒng)的起始條件就是系統(tǒng)響應(yīng)及其各階導(dǎo)函數(shù)在0-時(shí)刻的函數(shù)9嚴(yán)格地講，初始條件和初始狀態(tài)或起始條件和起始狀態(tài)是有區(qū)別的。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)儲(chǔ)能的情況或數(shù)據(jù)。而我們知道電系統(tǒng)的儲(chǔ)能元件是電感和電容，也就是說(shuō)，起始狀態(tài)是指系統(tǒng)中電感的電流和電容的電壓在起始時(shí)刻的值iL(0-)和uC(0-)。類似地，初始狀態(tài)是指系統(tǒng)中電感的電流和電容的電壓在初始時(shí)刻的值iL(0+)和uC(0+)。嚴(yán)格地講，初始條件和初始狀態(tài)或起始條件和起始10【例】描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為

若系統(tǒng)激勵(lì)f(t)=t2，系統(tǒng)初始條件為y(0+)=1,y′(0+)=1。試求系統(tǒng)全解?！窘狻魁R次方程為特征方程為

【例】描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為若系統(tǒng)激勵(lì)f(t)=t211解得特征根為

所以，齊次解為

由于f(t)=t2，因此，設(shè)特解為

將上式和f(t)=t2代入原系統(tǒng)微分方程，有

解得特征根為所以，齊次解為由于f(t)=t2，因此，設(shè)特12故有

解得

這樣，特解為

全解為

故有解得這樣，特解為全解為13將初始條件y(0+)=1,y′(0+)=1代入上式，得

解得

c1=1,c2=-2所以，全響應(yīng)y(t)為

(t≥0)將初始條件y(0+)=1,y′(0+)=1代入上式，得解142.2起始點(diǎn)的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換例:建立電流的微分方程并求解在時(shí)的變化。12S2.2起始點(diǎn)的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換例:建立電流15解：（1）列寫(xiě)電路的微分方程解：（1）列寫(xiě)電路的微分方程16（2）求系統(tǒng)的完全響應(yīng)齊次解：系統(tǒng)的特征方程：特征根：齊次解：將電路參數(shù)代入,并整理方程得:（2）求系統(tǒng)的完全響應(yīng)特征根：齊次解：將電路參數(shù)代入,并整理17特解：根據(jù)自由項(xiàng)令，將其代入原方程得：要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為：特解：根據(jù)自由項(xiàng)令，將其18（3）確定換路后的換路前換路后的（3）確定換路后的換路前換路后的19由于電容兩端電壓和電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變，因而有：由于電容兩端電壓和電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變，20（4）求在時(shí)的完全響應(yīng)求得：（4）求在時(shí)的完全響應(yīng)21要求的完全響應(yīng)為要求的完全響應(yīng)為22當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒(méi)有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有及其各階導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明相應(yīng)的0-到0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即

這時(shí)為確定0+狀態(tài)值，可以用沖激函數(shù)匹配法。它的原理是根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。等等。當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)23示例：給定0-狀態(tài)起始值為，確定它的0+狀態(tài)。示例：給定0-狀態(tài)起始值為，確定它的024設(shè)：（#）積分一次得（*）將（#）式和（*）式代入原方程設(shè)：25得出：要求的得出：要求的26例：用沖激函數(shù)匹配法求解例1中的電流i（t）的完全響應(yīng)r（t）。解：（1）求出時(shí)微分方程表示為（2）用沖激函數(shù)匹配法求例：用沖激函數(shù)匹配法求解例1中的電流i（t）的完全響應(yīng)r（t27由于方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是，因而有代入原式得：由于方程右端的沖激函數(shù)項(xiàng)最高階次是，因28因而有因而有29要求的0+狀態(tài)為其余求解步驟同前例。要求的0+狀態(tài)為其余求解步驟同前例。302.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

示例：設(shè)有如圖所示RC電路，電容兩端有起始電壓，激勵(lì)源為，求t>0時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)——電容兩端電壓。2.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)示例：設(shè)有如圖31解：不難求得描述系統(tǒng)的微分方程為

為求解此方程，將上列方程兩端乘以或?qū)懽鹘猓翰浑y求得描述系統(tǒng)的微分方程為為求解此方程，將上列方程32兩邊求積分：兩邊求積分：331．系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng) (Natural+forced)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng) (Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient+Steady-state)1．系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)＋強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)暫態(tài)34

也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)于齊次解。

形式取決于外加激勵(lì)。對(duì)應(yīng)于特解。(1)自由響應(yīng)：強(qiáng)迫響應(yīng)：2、各種系統(tǒng)響應(yīng)定義也稱固有響應(yīng)，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵(lì)形式無(wú)關(guān)35

是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時(shí)間t增加，它將消失。

由完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)分量即得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。

(2)暫態(tài)響應(yīng)：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：是指激勵(lì)信號(hào)接入一段時(shí)間內(nèi)，完全響應(yīng)中暫時(shí)出36

沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。

不考慮原始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)。

(3)零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只由起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)37

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由狀態(tài)值為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。3、求解系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的38例：如下電路，把t<0電路看作起始狀態(tài)，分別求t>0時(shí)i(t)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。12S例：如下電路，把t<0電路看作起始狀態(tài)，分別求t>0時(shí)i(t39解：如果把電路轉(zhuǎn)換成電容和電感中的起始儲(chǔ)能，則可以畫(huà)出如下圖所示的帶有起始儲(chǔ)能的電路。解：如果把電路轉(zhuǎn)換成電容和電感中的起40(1)零輸入響應(yīng):此時(shí)令e(t)=0,系統(tǒng)在時(shí)刻的等效電路如下圖所示.電路將在的作用下工作.(1)零輸入響應(yīng):此時(shí)令e(t)=0,系統(tǒng)在41根據(jù)上圖系統(tǒng)滿足微分方程由于整個(gè)電路是在電容和電感的儲(chǔ)能作用下工作,也就是能量釋放過(guò)程,為此畫(huà)出電路在t=0+時(shí)刻的初始值等效電路如下圖所示,(注意電容相當(dāng)于短路,電感相當(dāng)于開(kāi)路.)根據(jù)上圖系統(tǒng)滿足微分方程由于整個(gè)電路是在電容421R由圖求得:1R由圖求得:43所以得:所以得:44零輸入響應(yīng)的形式零輸入響應(yīng)的形式45(2)零狀態(tài)響應(yīng):此時(shí)對(duì)應(yīng)的電路形式如下圖所示它滿足微分方程(2)零狀態(tài)響應(yīng):此時(shí)對(duì)應(yīng)的電路形式如下圖所示它滿足微分方程46由前求得:由前求得:47利用沖激函數(shù)匹配法,得:所以得:利用沖激函數(shù)匹配法,得:所以得:48通過(guò)上面分析,系統(tǒng)響應(yīng)的分解可以表示為通過(guò)上面分析,系統(tǒng)響應(yīng)的分解可以表示為49自由響應(yīng)自由響應(yīng)50【例】已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為

起始狀態(tài)為 。求自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)和零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。【解】首先求自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。由特征方程

λ+3=0得特征根

λ=-3【例】已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為起始狀態(tài)為 。求自51所以，齊次解為

設(shè)特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=1。

所以

全解為

（#）

由沖激函數(shù)平衡法，得

所以，齊次解為設(shè)特解yp(t)=A，代入微分方程，得A=52將式(#)代入初始條件，得

由此，系統(tǒng)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)分別為

將式(#)代入初始條件，得由此，系統(tǒng)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)分別53下面，求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。由上述求解過(guò)程可設(shè)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)分別為

因?yàn)? ，可分別解得

下面，求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。由上述求解過(guò)程可設(shè)零54所以，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為

所以，系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為552.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)1.沖激響應(yīng)

定義：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)δ(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為h(t)。我們把系統(tǒng)模型中的y(t)和f(t)分別用h(t)和δ(t)代替，即

2.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)1.沖激響應(yīng)56由于δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)等于零，因此，沖激響應(yīng)h(t)形式與微分方程齊次解的形式相同。且沖激響應(yīng)h(t)的形式與n和m有關(guān)。下面通過(guò)比較方程兩端（激勵(lì)和響應(yīng)）最高階數(shù)m和n的關(guān)系分三種情況討論。1)n>m此時(shí)h(t)中不包含沖激信號(hào)項(xiàng),即當(dāng)n>m時(shí)，h(t)中不包含沖激信號(hào)項(xiàng)，其表達(dá)式為由于δ(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)等于零，因此57

2)n=m

此時(shí)h(t)中包含項(xiàng)，而無(wú)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即3)n<m

此時(shí)h(t)中包含有及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)等項(xiàng)。2)n=m3)n<m等項(xiàng)。58【例】某二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

【解】令f(t)=δ(t)并考慮零狀態(tài)條件，則y(t)=h(t)。這樣有

h″(t)+4h’(t)+3h(t)=δ′(t)+2δ(t)(#)【例】某二階連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)59特征方程為

λ2+4λ+3=0特征根為

λ1=-1,λ2=-3因?yàn)閚>m,所以沖激響應(yīng)為

h(t)=(c1e-t+c2e-3t)ε(t)對(duì)上式求導(dǎo)，得

h′(t)=(c1+c2)δ(t)-(c1e-t+3c2e-3t)ε(t)(2)(1)特征方程為λ2+4λ+3=0特征根為λ1=-1,60對(duì)（2）式再求導(dǎo)，得

(3)將式(1)、

式(2)和式(3)代入式(#)，

得

比較等式兩端系數(shù)可得

對(duì)（2）式再求導(dǎo)，得(3)將式(1)、式(2)和式(361解得

所以，沖激響應(yīng)為

解得所以，沖激響應(yīng)為622階躍響應(yīng)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，記為g(t)。考慮到?jīng)_激信號(hào)與單位階躍信號(hào)間存在微分與積分關(guān)系,因而對(duì)LTI系統(tǒng),h(t)和g(t)間也同樣存在微分積分關(guān)系,即:2階躍響應(yīng)考慮到?jīng)_激信號(hào)與單位階躍信號(hào)間存63【例】某線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出方程為

y″(t)+5y′(t)+6y(t)=3f′(t)+f(t)求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)?！窘狻苛頵(t)=ε(t)，并考慮零狀態(tài)條件，則方程可改寫(xiě)為

g″(t)+5g′(t)+6g(t)=3ε′(t)+ε(t)（1）

由特征方程

λ2+5λ+6=0得特征根

λ1=-2,λ2=-3【例】某線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出方程為y″(t)+5y′(64階躍響應(yīng)中的齊次解部分為

gc(t)=(c1e-2t+c2e-3t)ε(t)階躍響應(yīng)中的特解為

又因?yàn)閚>m，所以階躍響應(yīng)為

階躍響應(yīng)中的齊次解部分為gc(t)=(c1e-2t+c265其一階導(dǎo)函數(shù)為

二階導(dǎo)函數(shù)為

將以上三式代入式(1)，

整理得

其一階導(dǎo)函數(shù)為二階導(dǎo)函數(shù)為將以上三式代入式(1)，66比較上式兩端系數(shù)，

得

解得

階躍響應(yīng)為

比較上式兩端系數(shù)，得解得階躍響應(yīng)為67對(duì)g(t)求導(dǎo)即得h(t)為

對(duì)g(t)求導(dǎo)即得h(t)為68【例】電路如圖1所示，i(t)為響應(yīng)，試求階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)。

圖1【例】電路如圖1所示，i(t)為響應(yīng)，試求階躍響應(yīng)和沖激69【解】根據(jù)KCL、KVL，有

聯(lián)立以上四式消去i1(t)、us(t)、iC(t)，并代入元件值，得微分方程【解】根據(jù)KCL、KVL，有聯(lián)立以上四式消去i1(t)、u70設(shè)us(t)=ε(t)，系統(tǒng)為零狀態(tài)，則

根據(jù)沖激函數(shù)平衡法，可得初始條件

解微分方程，可得階躍響應(yīng)

設(shè)us(t)=ε(t)，系統(tǒng)為零狀態(tài)，則根據(jù)沖激函數(shù)平衡法71代入初始條件，求得 。所以，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為

對(duì)階躍響應(yīng)求導(dǎo)，得

代入初始條件，求得 。所以，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為對(duì)階躍響應(yīng)求722.5卷積積分及其應(yīng)用

一、卷積積分的概念卷積積分（簡(jiǎn)稱卷積）是一種特殊運(yùn)算。其定義為：設(shè)有函數(shù)f1(t)和f2(t)，f1(t)和f2(t)的卷積運(yùn)算為則（#）

式中，“*”號(hào)為卷積運(yùn)算符號(hào)；積分限定為-∞到+∞是為了適應(yīng)存在于-∞到+∞整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的一般函數(shù)（信號(hào)）。

2.5卷積積分及其應(yīng)用一、卷積積分的概念（#）式73式（#）是一個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，為了對(duì)其有一個(gè)更深刻、更形象地了解，我們通過(guò)作圖來(lái)詮釋卷積的意義。根據(jù)卷積積分的表達(dá)式，卷積運(yùn)算可分為5個(gè)步驟，即換元—折疊—位移—相乘—積分。下面通過(guò)圖形變換完成這5個(gè)步驟，

我們從中可以體會(huì)卷積的意義。

二、卷積的圖解

能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程，有助于確定更為一般的卷積積分的上下限。

進(jìn)一步加深對(duì)其物理意義的理解。式（#）是一個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，為了對(duì)其有一個(gè)更深刻744.相乘5.積分求函數(shù)的面積。求響應(yīng)，必須：1.換元（t)4.相乘5.積分求函數(shù)7511t0130.5t0110130.50解：11t0130.5t0110130.50解：76-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當(dāng)-1+t<0即t<1時(shí)，-1+t-3+t011y(t)=0移動(dòng)距離t前沿坐標(biāo)-1+t兩函數(shù)無(wú)公共的非零區(qū)域-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)當(dāng)-1+t<077011-3+t-1+t-3+t-1+t011011-3+t-1+t-3+t-1+t01178-3+t-1+t-3+t-1+t011011-3+t-1+t-3+t-1+t011011790.512340.512348021t0250.5t0421t0250.5t0481結(jié)果:0369t３結(jié)果:0369t３82討論：（１）兩個(gè)時(shí)限信號(hào)卷積結(jié)果的左邊界和右邊界分別是兩個(gè)時(shí)限信號(hào)左邊界之和及右邊界之和。（２）兩個(gè)時(shí)限信號(hào)卷積結(jié)果的寬度是卷積的兩個(gè)時(shí)限信號(hào)的寬度之和．（３）若兩個(gè)矩形函數(shù)寬度相等，則卷積將產(chǎn)生一個(gè)等腰三角形，而不同寬度的矩形函數(shù)卷積將產(chǎn)生一梯形。討論：8310t解：(1)當(dāng)t<0時(shí)1t010ty(t)=010t解：(1)當(dāng)t<0時(shí)1t01840101tt0101tt85三、卷積的其它計(jì)算方法

（1）解析法：直接利用定義式計(jì)算。（2）分段法：此法僅限于時(shí)限信號(hào)的卷積運(yùn)算。（3）利用卷積的性質(zhì)計(jì)算：三、卷積的其它計(jì)算方法（1）解析法：86【例】已知f1(t)=(3e-2t-1)u(t)和f2(t)=etu(t),試求卷積f1(t)*f2(t)。【解】【例】已知f1(t)=(3e-2t-1)u(t)和f2(872.6卷積積分的性質(zhì)一.卷積代數(shù)1.交換律

證明：

2.6卷積積分的性質(zhì)證明：882.分配律

證明：

2.分配律證明：89兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)表明:兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于各個(gè)子系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之和。兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)表明:兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等903.結(jié)合律

證明：

3.結(jié)合律證明：91而

比較兩式，

結(jié)論成立。

而比較兩式，結(jié)論成立。92兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)表明:兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各個(gè)子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)表明:兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響93二、卷積的微分與積分設(shè)y(t)=f1(t)*f2(t)，則有

推廣：二、卷積的微分與積分推廣：94i，j均為整數(shù)，當(dāng)其為正整數(shù)時(shí)，表示求導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，表示求重積分的次數(shù)。i，j均為整數(shù)，當(dāng)其為正整數(shù)時(shí)，表示