河南省南陽市源潭中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.執(zhí)行如右圖的程序框圖，若輸出的，則輸入的值可以為（

）A．

B．C．

D．參考答案：試題分析：輸入，第一次不符合條件，得到第二次不符合條件，得到第三次不符合條件，得到第四次符合條件，輸出此時(shí)，故選.考點(diǎn)：算法與程序框圖.3.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部是(

) A． B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)z，即可得復(fù)數(shù)z的虛部．解答： 解：===﹣故復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部是故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.命題“對(duì)任意的”，的否定是

A．不存在

B．存在

C．存在

D．對(duì)任意的參考答案：B5.已知實(shí)數(shù)，滿足，若的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B． C．

D．參考答案：C6.函數(shù)f（x）=（）x﹣x2的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】利用排除法，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，x=0，f（0）=1，排除B，x=﹣2，f（﹣2）=0，排除A，x→﹣∞，f（x）→+∞，排除C，故選D．7.函數(shù)是(

) A．奇函數(shù)且在上是減函數(shù)

B．奇函數(shù)且在上是增函數(shù)

C．偶函數(shù)且在上是減函數(shù)

D．偶函數(shù)且在上是增函數(shù)參考答案：B8.使奇函數(shù)，在上為減函數(shù)的θ值為A．

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)函數(shù)，若，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C

10.“”是“成立”的（）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為，是其前項(xiàng)和，則=_____________.參考答案：12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為

cm3．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．G7【答案解析】6

解析：過A作AO⊥BD于O，AO是棱錐的高，所以，所以四棱錐A-BB1D1D的體積為故答案為：6．【思路點(diǎn)撥】過A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出幾何體的體積即可．13.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為____________.參考答案：14.已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a·b=1,則x=＿＿＿參考答案：115.某用人單位從甲、乙、丙、丁4名應(yīng)聘者中招聘2人，若每名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲、乙2人中至少有1入被錄用的概率為_______．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．K4K5

解析：某單位從4名應(yīng)聘者甲、乙、丙、丁中招聘2人，∵這4名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等，∴甲、乙兩人都不被錄用的概率為，∴甲、乙兩人中至少有1人被錄用的概率；故答案為：.【思路點(diǎn)撥】先利用排列組織知識(shí)求出甲、乙兩人都不被錄用的概率，再用間接法求出甲、乙兩人中至少有1人被錄用的概率．16.已知f(n)＝1+(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，觀察上述結(jié)果，則可歸納出一般結(jié)論為

。參考答案：17.已知，且，則的值為___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知函數(shù)，．（Ⅰ）若曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線，求證：點(diǎn)唯一；（Ⅲ）若，，且曲線與總存在公切線，求正實(shí)數(shù)的最小值．參考答案：解：（Ⅰ），．∵曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線∴，解得，．

…………3分（Ⅱ）設(shè)，則由題設(shè)有

…①又在點(diǎn)有共同的切線∴代入①得……5分設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，所以＝0最多只有個(gè)實(shí)根，從而，結(jié)合（Ⅰ）可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)只能是

……………7分（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．由，得．∵曲線與總存在公切線，∴關(guān)于的方程，即

總有解．

……9分若，則，而，顯然不成立，所以．……10分從而，方程可化為．令，則．∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴在的最小值為，所以，要使方程有解，只須，即．

……………12分19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；.（Ⅲ）試題分析：（Ⅰ），對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，令，得.的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（Ⅱ）因?yàn)榇嬖趦蓷l直線，都是曲線的切線，所以至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根，令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為.則解得.再說明當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線分別為，是兩條不同的直線即可；（Ⅲ）只需分類討論.試題解析：（Ⅰ）.

………………1分

當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

………………2分 當(dāng)時(shí)，令，得. 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下：↘極小值↗ 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.………………4分（Ⅱ）因?yàn)榇嬖趦蓷l直線，都是曲線的切線，所以至少有兩個(gè)不等的正實(shí)根.

………………5分令得，記其兩個(gè)實(shí)根分別為.則解得.

………………7分當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線分別為，.令.由得（不妨設(shè)），且當(dāng)時(shí)，，即在上是單調(diào)函數(shù).所以.所以，是曲線的兩條不同的切線.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

………………9分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù). 因?yàn)椋? 而，不符合題意.

………………11分當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知：的最小值是.（ⅰ）若，即時(shí)，，所以，符合題意.（ⅱ）若，即時(shí)，.所以，符合題意.（ⅲ）若，即時(shí)，有.因?yàn)?，函?shù)在內(nèi)是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所?所以符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

………………14分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合20.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x﹣y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為．（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】綜合題．【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程為，知曲線C的普通方程是，由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，知點(diǎn)P的普通坐標(biāo)為（4cos，4sin），即（0，4），由此能判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．（2）由Q在曲線C：上，（0°≤α＜360°），知到直線l：x﹣y+4=0的距離=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直線l的距離的最小值．【解答】解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為，∴曲線C的普通方程是，∵點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的普通坐標(biāo)為（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直線l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故點(diǎn)P在直線l上．（2）∵Q在曲線C：上，（0°≤α＜360°）∴到直線l：x﹣y+4=0的距離：=，（0°≤α＜360°）∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程與普通方程的互化，注意三角函數(shù)的合理運(yùn)用．21.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD．AB=AA1=（1）證明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）要證明A1C⊥平面BB1D1D，只要證明A1C垂直于平面BB1D1D內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可證出A1C⊥BD，取B1D1的中點(diǎn)為E1，通過證明四邊形A1OCE1為正方形可證A1C⊥E1O．由線面垂直的判定定理問題得證；（2）由已知A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由此能求出三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積．【解答】證明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD，∴A1O⊥BD，A1O⊥AC；又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，且A1C?面A1AC，故A1C⊥BD．在正方形ABCD中，∵AB=，∴AO=1，在Rt△A1OA中，∵AA1=，∴A1O=1．設(shè)B1D1的中點(diǎn)為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，∴A1C⊥E1O．又BD?面BB1D1D，且E10?面BB1D1D，且BD∩E1O=O，∴A1C⊥面BB1D1D；解：（2）∵四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O=1，A1B=AB=AA1=，∴A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，A1O=1，∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的體積V=S△ABD?A1O=×（）2×1=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱柱的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.已知△A