線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性概念穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性判斷方法第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1.系統(tǒng)穩(wěn)定性概念李亞普諾夫穩(wěn)定性敘述:若線性控制系統(tǒng)在擾動影響下其動態(tài)過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡點），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。若系統(tǒng)在擾動影響下，其動態(tài)過程隨著時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)受擾動偏離了平衡狀態(tài)，當擾動消除后系統(tǒng)能夠恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)穩(wěn)定，反之稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半平面。系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而與初始條件、外作用大小無關(guān)；系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)特征根（閉環(huán)極點），而與系統(tǒng)零點無關(guān)。

第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月S平面特征根分布與穩(wěn)定性關(guān)系第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.穩(wěn)定性判斷方法

線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0(a0>0)各項系數(shù)構(gòu)成的勞斯表第一列各值均為正值。ROUTH表中第一列出現(xiàn)變號的次數(shù)即是系統(tǒng)所包含的右半平面極點數(shù)。第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3-1試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表該表第一列系數(shù)符號不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號變化了兩次，所以該方程中有二個根在S的右半平面。已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有其余項。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。是以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項1解決的辦法據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-2由于表中第一列上面的符號與其下面系數(shù)的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為（臨界）不穩(wěn)定。解：列勞斯表第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月改變一次改變一次例3-3第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月改變一次改變一次解法2:第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月勞斯表中出現(xiàn)全零行

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一個控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表顯然這個系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

例3-4第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。代入原方程式中，得到以

穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。12解決的辦法設(shè)右側(cè)。Ruoth判據(jù)的應(yīng)用第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例題例題3－5第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-6C(S)R(S)-解⑴第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月解⑵第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月5.赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定必要條件：特征多項式各項系數(shù)均大于零。

赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：由系統(tǒng)特征方程

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0(a0>0)各項系數(shù)構(gòu)成的主行列式及其順序主子式全部為正。第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月赫爾維茨主行列式及其順序主子式第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-7第22頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月3-5總結(jié)：ROUTH表中第一列出現(xiàn)0用極子數(shù)代替首列0元素，繼續(xù)列寫routh表。用全0行上一行系數(shù)構(gòu)造輔助方程；對輔助方程求導，用求導后的系數(shù)作為全零行系數(shù)，繼續(xù)列寫routh表。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：ROUTH表中第一列不變號。若變號，變號的次數(shù)即為右半平面極點數(shù)。ROUTH表中出現(xiàn)全為0的行用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線右側(cè)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)所有極點均