內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市長勝中學2022年高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，若存在唯一的，滿足，則正實數(shù)的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：【知識點】函數(shù)解析式的求解及常用方法．B1B

解析：由f（f（x））=8a2+2a可化為2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；則由0＜2x＜1；log2x∈R知，8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；又∵a＞0；故解8a2+2a≥1得，a≥；故正實數(shù)a的最小值是；故選B．【思路點撥】分析題意可知8a2+2a≤0或8a2+2a≥1；從而解得．2.已知，為線段上距較近的一個三等分點，為線段上距較近的一個三等分點，則用表示的表達式為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.在△ABC中，，M是AB的中點，N是CM的中點，則A．,

B．

C．

D．參考答案：D4.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為()A．1

B．2

C．1或2

D．－1參考答案：B5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（0,1）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A. B.

C. D.參考答案：C略6.下列函數(shù)為周期函數(shù)的是：

（

）A．sinx

B．

C．sin

D．2014（）參考答案：D略7.已知正項等比數(shù)列的前項和為，且,與的等差中項為，則（）A．36

B．33

C．32

D．31

參考答案：D∵，∴，故，又，∴，∴，，，故選D．8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】若,則,利用均值定理可得,則,進而判斷命題之間的關(guān)系.【詳解】若,則,因為,當且僅當時等號成立,所以,因為,所以“”是“”的充分不必要條件,故選:A【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查利用均值定理求最值.9.若，則的取值范圍是 （

） A．（0，1）

B．（0，）

C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：C略10.已知集合A，B都是非空集合，則“x∈（A∪B）”是“x∈A且x∈B”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二項式的展開式中，的系數(shù)為，則常數(shù)的值為

.參考答案：212.設(shè)AB是橢圓的長軸，點C在上，且.若AB=4，BC=，則的兩個焦點之間的距離為

.參考答案：13.若，，則_________________.參考答案：略14.將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為，則方程有實根的概率為

．參考答案：15.已知，，且，，則與的夾角為

.參考答案：略16.函數(shù),(A,ω,φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖所示，則

．參考答案：由的圖象可得函數(shù)的周期T滿足=?,

解得T=π=又∵ω>0，故ω=2又∵函數(shù)圖象的最低點為(,?)故A=且sin(2×+φ)=?即+φ=故φ=∴f(x)=sin(2x+)∴f(0)=sin=故答案為：

17.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=4，則S7=．參考答案：28【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】由已知得S7=（a1+a7）=2a4，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案為：28．【點評】本題考查等差數(shù)列的前2018項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）P、Q是拋物線上除頂點以外的兩點，O為坐標原點，，直線分別是過點P、Q的拋物線的切線.（1）求的交點M的軌跡方程；（2）若分別交x軸于A、B兩點，求證：的垂心必在拋物線的準線上.參考答案：解析：（1）設(shè)直線OP、OQ的斜率分別為

……①…………………3分過P、Q的切線方程分別是………………②

……………③②—③得又.故M點的軌跡方程是…………6分（2）由

令同理過A點且于垂直的直線方程……④同理，過B點與垂直的直線方程………………⑤由④⑤聯(lián)立得即為垂心的縱坐標.又準線方程為.垂心G在拋物線的準線上.……………12分19.已知A，B，C為銳角△ABC的三個內(nèi)角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．（Ⅰ）求A的大??；（Ⅱ）求y=2sin2B+cos（﹣2B）取最大值時角B的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】三角函數(shù)的化簡求值；三角函數(shù)的最值．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)兩向量的垂直，利用兩向量的坐標求得（2﹣2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=0，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系整理求得cosA的值，進而求得A．（Ⅱ）根據(jù)A的值，求得B的范圍，然后利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理后．利用B的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，及此時B的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2﹣2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=0?2（1﹣sin2A）=sin2A﹣cos2A?2cos2A=1﹣2cos2A?cos2A=．∵△ABC是銳角三角形，∴cosA=?A=．

（Ⅱ）∵△ABC是銳角三角形，且A=，∴＜B＜∴=1﹣cos2B﹣cos2B+sin2B=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1當y取最大值時，2B﹣=，即B=．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，向量的基本性質(zhì)．考查了學生對基礎(chǔ)知識的掌握和基本的運算能力．20.（12分）某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10％，可能損失10%，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為；如果投資乙項目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為和（）.(Ⅰ)如果把10萬元投資甲項目，用表示投資收益（收益=回收資金－投資資金），求的概率分布及；

(Ⅱ)要使10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求的取值范圍.參考答案：解析：（Ⅰ）依題意，可能的取值為1，0，

.

……2分的分布列為（列出下表得3分）……………………5分10P=.…………………6分(Ⅱ)設(shè)表示10萬元投資乙項目的收益，則的分布列為（列出下表得2分）…8分2P.………10分依題意要求≥，……11分∴≤≤1.

……………12分21.f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；（2）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）試比較++…+與的大小．（n∈N*且n≥2），并證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）求出函數(shù)的定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，從導(dǎo)函數(shù)的二次項系數(shù)的正負；導(dǎo)函數(shù)根的大小，進行分類討論；判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性．（3）將要證的不等式等價轉(zhuǎn)化為g（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．【解答】解：（1）a=1，f（x）=|x﹣1|﹣lnx當x≥1時，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣=≥0∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的．x＜1時，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣＜0∴f（x）在區(qū)間（0，1）減的．故a=1時f（x）在[1，+∞）上是遞增的，減區(qū)間為（0，1），f（x）min=f（1）=0（2）當a≥1，x＞a，f（x）=x﹣a﹣lnx，f′（x）=1﹣，f（x）在[a，+∞）上是遞增的，0＜x＜a，f（x）=﹣x+a﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0∴f（x）在（0，a）遞減函數(shù)，0＜a＜1，x≥a，f（x）=x﹣a﹣lnx，f′（x）=1﹣，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）遞增函數(shù)f（x）在[a，1）遞減函數(shù)，0＜x＜a時f（x）=a﹣x﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0，∴f（x）在

（0，a）遞減函數(shù)．當a≥1時f（x）在[a，+∞），（0，a）增函數(shù)．當0＜a＜1時f（x）在[1，+∞），（0，1）增函數(shù)．（3）當a=1

x＞1時x﹣1﹣lnx＞0

∴=n﹣1﹣（++…+）＜n﹣1﹣（++…+）=n﹣1﹣（﹣+﹣+…+﹣）=n﹣1﹣（﹣）=【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負，函數(shù)遞減．考查分類討論的數(shù)學思想方法，函數(shù)的最值