2024年北京市中央民大附中數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：），則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．2．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．4．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實數(shù)（）A． B． C． D．5．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級．某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科，這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示．該班學(xué)生中，這兩科等級均為的學(xué)生有人，這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生，其另外一科等級為，則該班（）A．物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B．物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D．這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人8．已知函數(shù)，若曲線上始終存在兩點，，使得，且的中點在軸上，則正實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．10．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．11．已知集合，則集合真子集的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．812．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中所有項的系數(shù)和為______，常數(shù)項為______.14．已知半徑為的圓周上有一定點，在圓周上等可能地任意取一點與點連接，則所得弦長介于與之間的概率為__________．15．若、滿足約束條件，則的最小值為______.16．已知正方形邊長為，空間中的動點滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）曲線在點處的切線斜率為.（i）求；（ii）若，求整數(shù)的最大值.19．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.20．（12分）如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均為正三角形，E為AB的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積．21．（12分）已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于，兩點，點為橢圓的左焦點.（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC邊上的點，且△ACD的面積為，求sin∠ADB.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中等題.3、C【解析】

求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時，通常代入公式進行計算.4、B【解析】

求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點可計算參數(shù)值．5、D【解析】

分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．6、C【解析】

由題意，可根據(jù)向量運算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．【點睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)題意分別計算出物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為，化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進行分析，可得出合適的選項.【詳解】根據(jù)題意可知，名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人（其中物理化學(xué)的有人，物理化學(xué)的有人），表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項，物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)物理和，化學(xué)都是時，或化學(xué)和，物理都是時，物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學(xué)都是的學(xué)生，剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生，因為都是的學(xué)生最少人，所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學(xué)都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少（人），D選項正確.故選：D.【點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.8、D【解析】

根據(jù)中點在軸上，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，兩點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)，，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數(shù)在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.9、A【解析】

因為給出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時，，，，.故選：A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題.10、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

解出集合，再由含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C【點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應(yīng)用，含有個元素的集合，其真子集的個數(shù)為個，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當(dāng)直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3-260【解析】

(1)令求得所有項的系數(shù)和；(2)先求出展開式中的常數(shù)項與含的系數(shù)，再求展開式中的常數(shù)項.【詳解】將代入，得所有項的系數(shù)和為3.因為的展開式中含的項為，的展開式中含常數(shù)項，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：3；-260【點睛】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特殊項問題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】在圓上其他位置任取一點B，設(shè)圓半徑為R，其中滿足條件AB弦長介于與之間的弧長為?2πR，則AB弦的長度大于等于半徑長度的概率P==；故答案為：．15、【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，根據(jù)題中條件得出，進而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點，空間中的動點滿足，，所以，整理得，，當(dāng)，時，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由消去參數(shù)，可得的普通方程，由可得的普通方程；（2）設(shè)為曲線上一點，點到曲線的圓心的距離，結(jié)合可得最值，的最大值為，從而得解.試題解析：（1）的普通方程為.∵曲線的極坐標(biāo)方程為，∴曲線的普通方程為，即.（2）設(shè)為曲線上一點，則點到曲線的圓心的距離.∵，∴當(dāng)時，d有最大值.又∵P，Q分別為曲線，曲線上動點，∴的最大值為.18、（1）在上增；在上減；（2）（i）；（ii）2【解析】

（1）求導(dǎo)求出，對分類討論，求出的解，即可得出結(jié)論；（2）（i）由，求出的值；（ii）由（i）得所求問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，設(shè)，，只需，根據(jù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，即在上增；當(dāng)時，，，，，即在上增；在上減；（2）（i），.（ⅱ），即，即，只需.當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時，，，，所以在上減，在上增，令，..在單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，，綜上可知，整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立，考查分類討論思想，屬于中檔題.19、【解析】

根據(jù)，可解得，設(shè)為曲線任一點，在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，則點在曲線上，根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【詳解】，，即.，解得，.設(shè)為曲線任一點，則，又設(shè)在矩陣A變換作用得到點，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【點睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接，交于點M，連接ME，證明；（Ⅱ）由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離，根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接，交于點M，連接ME，則．因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為平面ABC，所以點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離．如圖，設(shè)O是AC的中點，連接，OB．因為為正三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面ABC．所以點到平面ABC的距離，故三棱錐的體積為．而斜三棱柱的體積為．所以剩余部分的體積為．【點睛】本題考查證明線面平行，計算體積，意在考查推理證明，空間想象能力，計算能力，屬于中檔題型，一般證明線面平行的方法1.證明線線平行，則線面平行，2.證明面面平行，則線面平行，關(guān)鍵是證明線線平行，一般構(gòu)造平行四邊形，則對邊平行，或是構(gòu)造三角形中位線.21、（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)判別式即可證明．（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達定理即可證明，需要分類討論，【詳解】解：（1）當(dāng)時直線方程為或，直線與橢圓相切.當(dāng)時，由得，由題知，，即，所以.故直線與橢