商丘市重點中學2024年數(shù)學高三第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．2．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．3．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．4．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．記等差數(shù)列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．6．已知復數(shù)，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．7．已知滿足，則（）A． B． C． D．8．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關系為（）A． B．C． D．9．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．10．函數(shù)的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．11．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.14．已知，，是平面向量，是單位向量.若，，且，則的取值范圍是________.15．已知向量滿足，且，則_________．16．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在直角中，，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）點是線段上一點，，且，求的值.20．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為.（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程及的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到距離的取值范圍.22．（10分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【題目詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【題目點撥】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎題.2、A【解題分析】

由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案．【題目詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A．【題目點撥】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數(shù)基礎題．3、A【解題分析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【題目詳解】解：根據(jù)題意，設，則，又，，，故選：A.【題目點撥】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，關鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎題.4、C【解題分析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【題目詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【題目點撥】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力，屬于中等題.5、C【解題分析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【題目詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.6、A【解題分析】

分子分母同乘分母的共軛復數(shù)即可.【題目詳解】，故的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.7、A【解題分析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【題目詳解】，.故選：A.【題目點撥】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.8、A【解題分析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【題目詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【題目點撥】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10、A【解題分析】

求出函數(shù)在處的導數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【題目詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題屬于基礎題.11、B【解題分析】

延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進而可得的面積.【題目詳解】解：延長到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【題目點撥】本題考查余弦定理的應用，考查三角形面積公式的應用，其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關鍵，是中檔題.12、A【解題分析】

利用正弦定理邊角互化思想結合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【題目詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【題目點撥】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】.14、【解題分析】

先由題意設向量的坐標，再結合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解．【題目詳解】由是單位向量．若，，設，則，，又，則，則，則，又，所以，（當或時取等）即的取值范圍是，，故答案為：，．【題目點撥】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15、【解題分析】

由數(shù)量積的運算律求得，再由數(shù)量積的定義可得結論．【題目詳解】由題意，∴，即，∴．故答案為：．【題目點撥】本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關鍵．16、【解題分析】初始條件成立方；運行第一次：成立；運行第二次：不成立；輸出的值：結束所以答案應填：考點：1、程序框圖；2、定積分.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標求得結果.試題解析:（1）證明：取的中點，連接，則，又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及為的中點，可得為等邊三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴為直線與所成的角，由（1）可得，∴，∴，設，則，取的中點，連接，過作的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∴，所以，設為平面的法向量，則，即，取，則為平面的一個法向量，∵，則直線與平面所成角的正弦值為.點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．②利用判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直．18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角；【題目詳解】解：（1）∵，點為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分別為，的中點，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，∵，∴，，，，∴，，，設平面的法向量為，由，得，令，得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.19、（1）3；（2）.【解題分析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【題目詳解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因為，所以，解得.在中，由余弦定理得，，即，，故.【題目點撥】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查學生的計算能力，是一道中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)坐標和為等邊三角形可得，進而得到橢圓方程；（2）①當直線斜率不存在時，易求坐標，從而得到所求面積；②當直線的斜率存在時，設方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達定理的結論可求得關于的表達式，采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問題，結合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結合兩種情況的結論可得最終結果.【題目詳解】（1），，為等邊三角形，，橢圓的標準方程為．（2）設四邊形的面積為．①當直線的斜率不存在時，可得，，．②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，聯(lián)立得：，，，．，，，，面積．令，則，，令，則，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合應用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題；關鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關于某一變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.21、（1），.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，即可求得的的普通方程，曲線的極坐標方程為，利用極坐標化直角坐標的公式:，即可求得答案；（2）的標準方程為，圓心為，半徑為，根據(jù)點到直線距離公式，即可求得答案.【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標方程為，利用極坐標化直角坐標的公式:的直角坐標方程為.（2）的標準方程為，圓心為，半徑為圓心到的距離為，點到的距離的取值范圍是.【題目點撥】本題解題關鍵是掌握極坐標化直角坐標的公式和點到直線距離公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.22、（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）取中點為，根據(jù)幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法