第1課時(shí)三角函數(shù)的應(yīng)用(一)第五章

§5.7三角函數(shù)的應(yīng)用1.了解生活中具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的現(xiàn)象.2.通過構(gòu)建三角函數(shù)模型，嘗試解決物理中的簡(jiǎn)單問題.(重點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語(yǔ)現(xiàn)實(shí)世界中，許多事物的運(yùn)動(dòng)、變化呈現(xiàn)出一定的周期性，例如，如圖是交變電流產(chǎn)生的示意圖.線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生交變電流(電刷及回路等部分省略)，當(dāng)線圈處于如圖所示的位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電流y達(dá)到最大值A(chǔ)；導(dǎo)語(yǔ)當(dāng)線圈由此位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后到達(dá)與此平面垂直的位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電流y為0；當(dāng)線圈繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達(dá)水平位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電流y達(dá)到反向最大值－A；當(dāng)線圈繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達(dá)垂直位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電流y又一次為0；當(dāng)線圈繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再次到達(dá)圖示位置時(shí)，線圈中的感應(yīng)電流y又一次達(dá)到最大值A(chǔ).這樣周而復(fù)始，形成周期變化.導(dǎo)語(yǔ)再例如，地球的自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化；海水在月球和太陽(yáng)引力下發(fā)生的漲落現(xiàn)象；做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的位移變化；人體在一天中血壓、血糖濃度的變化等等，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么它可以借助三角函數(shù)來(lái)描述，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相應(yīng)的實(shí)際問題，今天，我們就一起來(lái)探究如何構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題.一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)二、三角函數(shù)“擬合”模型的應(yīng)用三、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用隨堂演練內(nèi)容索引簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

一問題1現(xiàn)實(shí)生活中存在大量周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)的變化現(xiàn)象，你能舉出哪些例子？提示彈簧振子的運(yùn)動(dòng)、鐘擺的擺動(dòng)、水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)、琴弦的振動(dòng)、日出日落、潮漲潮落、一天溫度的變化、一天人員流動(dòng)的變化等等.很顯然，三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好地“擬合”這種周期性的變化.問題2

某個(gè)彈簧振子(簡(jiǎn)稱振子)在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式.t0.000.050.100.150.200.250.30y－20.0－17.8－10.10.110.317.720.0t0.350.400.450.500.550.60y17.710.30.1－10.1－17.8－20.0提示振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動(dòng)的物理學(xué)原理可知，其位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)來(lái)刻畫.根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示.1.在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.2.A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離；知識(shí)梳理ωx＋φ稱為相位；x＝0時(shí)的相位φ稱為初相.注意點(diǎn)：

如圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象.試根據(jù)圖象回答下列問題.(1)寫出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率；例1(2)從O點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如果從A點(diǎn)算起呢？如果從O點(diǎn)算起，到曲線上D點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；如果從A點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng).(3)寫出這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式.若y＝Asin(ωx＋φ)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的解析式，則A>0，ω>0，若A，ω不滿足條件，則先利用誘導(dǎo)公式變形，再根據(jù)概念求值.反思感悟

彈簧振子的振幅為2cm，在6s內(nèi)振子通過的路程是32cm，由此可知該振子振動(dòng)的A.頻率為1.5Hz B.周期為1.5sC.周期為6s D.頻率為6Hz√跟蹤訓(xùn)練1三角函數(shù)“擬合”模型的應(yīng)用

二

下表所示的是某地2002～2022年的月平均氣溫(華氏度)：例2月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸，x＝月份－1，平均氣溫為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)描出散點(diǎn)圖，并用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，如圖所示.(2)這個(gè)函數(shù)的周期是多少？(3)估計(jì)這個(gè)正弦曲線的振幅A；2A＝最高氣溫－最低氣溫＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(4)下面四個(gè)函數(shù)模型中哪一個(gè)最適合這些數(shù)據(jù)？∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，∴②不適合，同理④不適合，∴③最適合.處理曲線擬合與預(yù)測(cè)問題時(shí)，通常需要以下幾個(gè)步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪出散點(diǎn)圖.(2)通過觀察散點(diǎn)圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式，根據(jù)條件對(duì)所給問題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).反思感悟

平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深y(單位：米)隨著一天的時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如下表：跟蹤訓(xùn)練2t03691215182124y1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，從①y＝Asin(ωt＋φ);②y＝Acos(ωt＋φ)＋b；③y＝－Asinωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示.依題意，選②y＝Acos(ωt＋φ)＋b作為函數(shù)模型，又∵函數(shù)圖象過點(diǎn)(3,2.4)，(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)(1)中選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全？∴12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，又∵5≤t≤18，∴5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)組織訓(xùn)練，能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全.三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

三

如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在t(單位：s)時(shí)相對(duì)于平衡位置(靜止時(shí)的位置)的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝Asin確定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振動(dòng)中，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為1s.且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為10cm.例3(1)求小球相對(duì)于平衡位置的高度h和時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；因?yàn)樵谝淮握駝?dòng)中，小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為1s，所以周期為2，(2)小球在t0s內(nèi)(包含t0)經(jīng)過最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次，求t0的取值范圍.以后每隔一個(gè)周期都出現(xiàn)一次最高點(diǎn)，因?yàn)樾∏蛟趖0s內(nèi)經(jīng)過最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次，反思感悟處理物理學(xué)問題的策略(1)常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性.(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題.

已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系為I＝Asin(ωt＋φ).(1)如圖所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；跟蹤訓(xùn)練3由題圖可知A＝300，(2)如果t在任意一段

的時(shí)間內(nèi)，電流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故ω的最小正整數(shù)值為943.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).(2)函數(shù)的“擬合”.(3)三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：選擇三角函數(shù)模型時(shí)，最后結(jié)果忘記回歸實(shí)際問題.隨堂演練

√123412342.如圖，A是輪子外邊沿上的一點(diǎn)，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向右無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為2.2m時(shí)，下列描述正確的是(參考數(shù)據(jù)：7π≈21.991)A.點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約0.15mB.點(diǎn)A在輪子的右下位置，距離地面約0.15mC.點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約0.26mD.點(diǎn)A在輪子的右下位置，距離地面約0.04m√123