期權(quán)的二叉樹定價模型

在實際的金融市場中最為關(guān)鍵的問題是：在一定條件下，期權(quán)價格的合理取值應(yīng)為多少？本節(jié)將討論標的資產(chǎn)為離散和連續(xù)情形下的歐式看漲期權(quán)（calloption）定價問題。為期權(quán)進行準確估值的一個常用方法是構(gòu)造二叉樹圖。這個二叉樹圖能夠描述標的資產(chǎn)（股票）在期權(quán)的有效期內(nèi)所可能夠遵循的路徑。2021/5/91一、單期二叉樹模型1．二叉樹模型的例子首先我們看下面的一份例子。假設(shè)某種股票的當前價格為$20，并且能夠知道三個月后，股票的價格后的可能取值為兩個$22或$18。假設(shè)股票不付紅利，我們將對三個月后以$21執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進行估值。根據(jù)期權(quán)合約的定義，很容易計算得到下面的結(jié)果：在期權(quán)的到期日，如果股票價格為$22，則期權(quán)的價值將是$1；如果股票價格為$18，則期權(quán)的價值將是0。

2021/5/92股票和期權(quán)的取值情況如圖所示2021/5/93根據(jù)無套利定價的思想為期權(quán)定價在無套利假設(shè)條件下，如何利用二叉樹模型為期權(quán)定價。我們將構(gòu)造股票和期權(quán)的投資組合，特別的，將股票和期權(quán)分別取適當?shù)念^寸，我們將能夠構(gòu)造出一份期權(quán)和相應(yīng)股票頭寸的無風險組合，從而無風險組合的價值在三個月末是確定值。由于該組合無風險，根據(jù)無套利假設(shè)條件，所以該組合的收益率一定等于無風險收益率，由此我們可以得出有關(guān)期權(quán)價格的一個方程，求解該方程，就可以得出期權(quán)的價格。由于組合中只有兩種證券（股票和股票期權(quán)），并且只有兩個可能的結(jié)果，所以只要選擇合適的股票和期權(quán)的比率，我們一定能構(gòu)造出無風險組合。2021/5/94構(gòu)造下面的證券組合該組合包含△股股票的多頭頭寸和一份看漲期權(quán)的空頭頭寸。我們首先計算△值為多少時，所構(gòu)造的組合為無風險組合。當股票價格從$20上升到$22時，股票的價值為22△，期權(quán)的價值為$1，在這種情況下，該證券組合的價值為22△-1；當股票價格從$20下降到$18時，股票的價值為18△，期權(quán)的價值為零，在這種情況下，該證券組合的價值為18△。如果選取某個具體的△值，使得在兩種情況下，組合最終的價值相等，則該證券組合一定是無風險組合。即22△-1=18△，求解可得：△=0.252021/5/95因此，按照上面求出的△值，我們可以構(gòu)造下面的無風險證券組合為：多頭：0.25股股票空頭：一份看漲期權(quán)合約如果股票價格上升到$22，該組合的價值為：22*0.25–1=4.5如果股票價格下跌到$18，該組合的價值為：18*0.25=4.5可以看到，無論股票價格怎樣變化，最終是上升還是下降，在期權(quán)有效期結(jié)束時，我們構(gòu)造的證券組合價值總是$4.5。2021/5/96在無套利假設(shè)條件下，無風險證券組合的收益率一定為無風險利率。假設(shè)無風險利率為年率12%。我們可以計算該組合的現(xiàn)在價值一定是$4.5，即：我們用f表示期權(quán)的價格。已知股票現(xiàn)在價格為$20，因此該組合現(xiàn)在的價值為：

20*0.25–f=5–f

于是5–f=4.367求解可得f=0.633在無套利假設(shè)條件下，期權(quán)的價值一定為$0.633。2021/5/97如果期權(quán)的價值超過了$0.633，投資者構(gòu)造該組合的成本就有可能低于$4.367，并將獲得超過無風險利率的額外利潤，這與無套利假設(shè)條件矛盾；如果期權(quán)的價值低于$0.633，投資者可以通過賣空該證券組合來獲得低于無風險利率的資金，這與無套利假設(shè)條件矛盾。2021/5/982期權(quán)的二叉樹計算公式推導(dǎo)考慮一種不支付紅利的股票，股票現(xiàn)在價格為S，以該股票為標的資產(chǎn)，有效期為T的某個期權(quán)的價格為f，假設(shè)在未來T時刻股票的價格只有兩種取值情況，股票價格或者從S上升到一個新的價格，或者從S下降到一個新的價格(其中：u>1,d<1)，即當股票價格向上變化時，股票價格增長的比率為u-1；當股票價格向下變化時，股票價格減少的比率為1-d。在期權(quán)的有效期T時間，我們可以根據(jù)股票的取值情況，計算期權(quán)的相應(yīng)取值狀況。當股票價格變化到Su時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu；當股票價格變化到Sd時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fd。利用前面例子的思想方法，我們可以利用股票和期權(quán)合約構(gòu)造無風險證券組合。在證券的組合中，我們將選取△股的股票多頭頭寸和一份期權(quán)合約的空頭頭寸來組成證券組合。為使得該證券組合為無風險組合，我們需要計算股票的多頭頭寸數(shù)量△的具體取值。2021/5/99股票價格和期權(quán)價格的單步二叉樹圖SufuSfSdfd如果股票價格由S上升到Su，則在期權(quán)的到期日，該組合的價值為：Su

△

-fu如果股票價格由S下降到Sd，則在期權(quán)的到期日，該組合的價值為：Sd

△-fd2021/5/910要使得上述證券組合為無風險組合，則無論股票價格是上升還是下降，在期權(quán)的到期日，上述的兩個取值應(yīng)該相等，即Su△-fu=Sd

△

-fd整理可以得到

（1）2021/5/911當組合中股票的△取值為時所構(gòu)造的組合一定是無風險組合，根據(jù)無套利假設(shè)條件，組合的收益一定為無風險利率。我們用r表示無風險利率，則該組合的現(xiàn)值為：

而該組合的初始價值為S△-f

，因此將△代入上式可以得到其中（2）（3）2021/5/912利用單期二叉樹模型公式估計期權(quán)的價值假設(shè)u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,fu

=1，fd=0。由公式可得p=(e0.03-0.9)/(1.1-0.9)=0.6523期權(quán)的價值為這個結(jié)果與前面的計算結(jié)果相同。2021/5/9133期權(quán)的風險中性定價我們注意到，二叉樹期權(quán)計算公式?jīng)]有用到股票上升和下降的概率。例如，當上升概率是0.5時，計算得到的歐式期權(quán)價格，與上升概率為0.9時，計算得到的歐式期權(quán)價格相等。直觀上，人們很自然的會想到，如果股票價格上升的概率增加，則基于股票的看漲期權(quán)價值也會增加，看跌期權(quán)的價值會減少。事實上，情況并非如此。雖然我們不需要對股票價格上升和下降的概率作任何假設(shè)，在期權(quán)計算公式中，可以將變量p解釋為股票價格上升的概率，于是變量1-p就是股票價格下降的概率。

2021/5/914

為期權(quán)的預(yù)期收益。按照這種對p的解釋，于是公式表示的含義為：期權(quán)的現(xiàn)值就是未來期權(quán)的預(yù)期值按無風險利率的貼現(xiàn)值。2021/5/915當上升變化的概率假設(shè)為時，我們考察一下股票的預(yù)期收益。在T時刻預(yù)期的股票價格，由下式給出：

將p的表達式代入上式，化簡得：上式說明，平均來說，股票價格以無風險利率增長。因此，假設(shè)上升變化的概率等于等價于假設(shè)股票收益為無風險利率。（4）2021/5/916所有投資者是風險中性的世界，稱為風險中性世界（risk-neutralworld）。在這樣的世界中，投資者對風險不要求補償，證券市場上所有證券的預(yù)期收益都假設(shè)是無風險利率。公式（4）說明:當我們設(shè)定上升變化的概率為時，我們就在假設(shè)所有投資者都是風險中性。公式（2）說明：在風險中性世界中，給期權(quán)定價時，我們可以假設(shè)證券市場上所有證券的預(yù)期收益都是無風險利率，期權(quán)的價值是其預(yù)期收益按無風險利率的貼現(xiàn)值。2021/5/917利用風險中性定價法計算上面例題已知股票現(xiàn)價為$20，三個月末股票價格可能上漲到$22或下降到$18。本例中所考慮的期權(quán)是一份執(zhí)行價格為$21，有效期為三個月的歐式看漲期權(quán)，無風險利率是年率12%。在風險中性假設(shè)條件下，股票價格上升變化的概率是p。在這樣的世界中，股票的預(yù)期收益率一定等于無風險利率12%。這意味著一定滿足：22p+18(1–p)=20e0.12*0.25p=0.6523。在三個月末尾，看漲期權(quán)價值具有$1價值的概率為0.6523，價值為零的概率為0.3477。因此，看漲期權(quán)的期望值為：

0.65231+0.34770=$0.6523利用無風險利率進行貼現(xiàn)，可以得到該期權(quán)的價值為:

0.6523e-0.12*0.25=0.633

這一計算結(jié)果與前面所得結(jié)果相同，這說明利用無套利理論和風險中性定價方法計算的結(jié)論相同。2021/5/918二、二叉樹模型的應(yīng)用顯然，假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)股票價格的變化并只是由單期或兩期構(gòu)成，并不符合金融市場上股票價格的實際變化情況。所以我們所列舉的二叉樹圖模型都是非現(xiàn)實的