SIGNALSANDSYSTEMS信號與系統(tǒng)第七章連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析法南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院第七章狀態(tài)變量分析7.1狀態(tài)變量分析法概述7.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立7.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的復(fù)頻域求解本章要點(diǎn)作業(yè)

7.1狀態(tài)變量分析概述系統(tǒng)的描述方法述法、狀態(tài)變量描述法輸入－輸出描述法（端口分析法、外部法）用系統(tǒng)的輸入－輸出變量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性；數(shù)學(xué)模型是n

階微分（或差分）方程。狀態(tài)變量描述法(內(nèi)部法）用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)內(nèi)部變量的特性；通過狀態(tài)變量將系統(tǒng)的輸入和輸出變量聯(lián)系起來，進(jìn)而描述系統(tǒng)的外部特性。狀態(tài)變量分析法的優(yōu)點(diǎn)可以有效地提供系統(tǒng)內(nèi)部的信息，便于處理與系統(tǒng)內(nèi)部情況有關(guān)的分析、設(shè)計(jì)問題；不僅適用于線性時不變的單輸入－單輸出系統(tǒng)，也適用于非線性、時變、多輸入－多輸出系統(tǒng)；便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決復(fù)雜系統(tǒng)的分析計(jì)算；當(dāng)系統(tǒng)的輸出變量改換時，無需重新列寫狀態(tài)方程（微分或差分方程），只要調(diào)整輸出方程（代數(shù)方程）即可。7.1狀態(tài)與狀態(tài)空間1.系統(tǒng)的狀態(tài)：是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和未來的狀況，其本質(zhì)是指系統(tǒng)的儲能狀態(tài)。2.狀態(tài)變量：完全描述系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)目最少的一組變量。常用

x1(t)，x2(t)，…，xn(t)來表示。起始時刻t＝t0

的狀態(tài)稱為初始狀態(tài)，用

x1(t0)，x2(t0)，…，xn(t0)來表示。3.狀態(tài)矢量：一組狀態(tài)變量可以用一個矢量來表示：4.狀態(tài)空間：狀態(tài)矢量所描述的空間

狀態(tài)矢量所包含的狀態(tài)變量的個數(shù)稱為狀態(tài)空間的維數(shù)，也稱系統(tǒng)的復(fù)雜度階數(shù)，簡稱系統(tǒng)的階數(shù)。狀態(tài)變量分析法：用狀態(tài)變量來描述和分析系統(tǒng)的方法5.狀態(tài)軌跡：狀態(tài)矢量的端點(diǎn)隨時間變化而描述的路徑狀態(tài)變量分析法的步驟（1）選定狀態(tài)變量；（2）建立狀態(tài)方程：描述狀態(tài)變量與激勵之間關(guān)系的一階微分或差分方程組；（3）建立輸出方程：描述輸出與輸入關(guān)系的一組代數(shù)方程；（4）求解狀態(tài)方程和輸出方程。系統(tǒng)階數(shù)的確定

當(dāng)已知電路時，習(xí)慣上將電感的電流和電容的電壓選為狀態(tài)變量，因?yàn)樗鼈冎苯优c系統(tǒng)的儲能狀態(tài)相聯(lián)系。

也可以選取磁鏈和電荷作為狀態(tài)變量，還可以選取間接反映系統(tǒng)儲能狀態(tài)的物理量，甚至有時可以選用不是系統(tǒng)中真實(shí)存在的物理量。

但是一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量必須是一組獨(dú)立并且完備的變量，變量的數(shù)目即系統(tǒng)復(fù)雜度的階數(shù)n由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)所決定，與所選的狀態(tài)變量無關(guān)。

由于受

KCL和KVL

的約束，n

的一般計(jì)算公式為全電容回路全電感割集

可見此電路只有3

個狀態(tài)變量是獨(dú)立的，只須用3

個狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)就可以了。狀態(tài)變量可以選為7.2連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立建立狀態(tài)方程的兩類方法1.直接法

直觀編寫法（依據(jù)給定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)直接編寫）系統(tǒng)編寫法（借助計(jì)算機(jī)自動編寫）2.間接法

由系統(tǒng)的輸入－輸出方程編寫法由系統(tǒng)的模擬圖編寫法7.2.1連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式7.2.2由電路圖建立狀態(tài)方程步驟（1）選擇獨(dú)立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量；（2）對于含有獨(dú)立電容支路的節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，對于含有獨(dú)立電感的回路列寫KVL方程；（3)消除非狀態(tài)變量（中間變量）（4）整理成狀態(tài)方程和輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。例7-2-1電路如圖所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。對于一般的常態(tài)網(wǎng)絡(luò)（不存在全電容回路和全電感割集）還可以應(yīng)用直流電路的知識列寫狀態(tài)方程。例：

試求圖示常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程。非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程例：

非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)如圖所示，

試列寫其狀態(tài)方程。當(dāng)電路存在C-C回路或L-L割集時，直接列寫得到的不是標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程，一般可表示為結(jié)論（1）狀態(tài)變量的選取并不是唯一的，選取不同的狀態(tài)變量，狀態(tài)方程的形式會改變；（2）一般情況下，消除非狀態(tài)變量不太容易；（3)僅有R、L、C組成的無受控源網(wǎng)絡(luò)總能列寫出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程；（4）如果電路含有受控源，由于多了一類約束關(guān)系，可能會使?fàn)顟B(tài)變量的個數(shù)減少，對于少數(shù)特定的電路甚至無法列寫出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。7.2.3從輸入－輸出方程導(dǎo)出狀態(tài)方程1.微分方程中無激勵的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時*2.微分方程中有激勵的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時7.2.4從模擬圖建立狀態(tài)方程

根據(jù)系統(tǒng)的輸入－輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)可以作出系統(tǒng)的時域或復(fù)頻域模擬圖，然后選擇每一個積分器的輸出端信號作為狀態(tài)變量，最后得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。由于系統(tǒng)函數(shù)可以寫成不同的形式，所以模擬圖也可以有不同的結(jié)構(gòu)，于是狀態(tài)變量的選擇也就不同，因而狀態(tài)方程和輸出方程就會有幾種不同的形式。

所以，可以分別畫出級聯(lián)、并聯(lián)和串聯(lián)等三種形式的模擬圖。1.直接模擬

直接模擬的優(yōu)點(diǎn)是不必求出系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)，狀態(tài)方程和輸出方程的列寫有規(guī)律可循。2.并聯(lián)模擬返回

并聯(lián)模擬的特點(diǎn)是，系數(shù)矩陣是由系統(tǒng)的特征根所構(gòu)成的對角陣。所以，也稱這種狀態(tài)變量為對角線狀態(tài)變量。3.串聯(lián)模擬

串聯(lián)模擬的特點(diǎn)是，系數(shù)矩陣是一個上三角陣。結(jié)論1.上述三類通過模擬圖列寫狀態(tài)方程的方法均可以推廣到n

階系統(tǒng)的一般情況。2.狀態(tài)變量可以在系統(tǒng)內(nèi)部選取，也可以人為地虛擬。3.對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不同，系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程也將不同，但它們所描述的系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系沒有改變。4.由于同一系統(tǒng)的特征方程相同，所以各狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A是相似的。5.當(dāng)系統(tǒng)的輸入和輸出都不止一個時，只要分別畫出其相應(yīng)的模擬圖，按照上述方法仍然能方便地列寫出狀態(tài)方程和輸出方程。7.3連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解求解狀態(tài)方程的兩類方法1.復(fù)頻域求解2.時域求解（略）7.3.1狀態(tài)方程的復(fù)頻域解對狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換，根據(jù)時域微分性得式中I

為

n×n

單位矩陣。零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)例7-3-1已知某連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)