線性代數(shù)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三一、線性組合的概念定義1：和向量如果存在一組實數(shù)使得則稱向量是向量組A的線性組合，給定向量組或稱向量能由向量組A線性表示。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。

第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三線性方程組的矩陣表示和向量表示：令方程組可表示為第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三其中若記即為方程組的系數(shù)列向量第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三則方程組的向量表示為即則線性方程組是否有解等價于向量方程是否有解而向量方程是否有解等價于向量能否用向量組線性表示第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例線性方程組則方程組可以表示為向量方程第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三則方程組可以表示為向量方程由于方程組存在一組解即存在一組數(shù)使即能用向量組線性表示方程組的解線性表示的系數(shù)第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

向量可由向量組線性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以列向量的線性方程組有解，且一個解就是線性表示的系數(shù)。為常數(shù)項由此我們得到如下結(jié)論：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三二、線性相關(guān)性與線性無關(guān)定義2則稱向量組A是線性相關(guān)的，線性無關(guān)則必有k1=k2=…=km=0否則稱它線性無關(guān)．第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三向量組由于存在不全為零的數(shù)2，1，-1使故向量組線性相關(guān)例如而向量組不存在不全為零的數(shù)使即只有時才成立所以向量組線性無關(guān)第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三說明1.對于任一向量組，不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)。2.向量組只包含一個向量時，如果它線性相關(guān)，則必是零向量。3.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的。4.對于含有兩個向量的向量組，它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對應(yīng)成比例。第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例如如果線性相關(guān)，則使等式成立的中至少有一個非零假設(shè)則有即兩向量的對應(yīng)分量成比例兩向量相差常數(shù)倍第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用可表示為向量方程其中第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三則齊次線性方程組是否有非零解等價于向量方程是否有非零解而向量方程是否有非零解等價于向量組是否線性相關(guān)。由此我們得到如下結(jié)論：向量組線性相關(guān)的充分必要條件是：齊次線性方程組有非零解。第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

顯然，如果齊次線性方程只有零解，則對該方程增加若干方程后仍有零解，由此我們得到如下命題命題1設(shè)有兩個向量組若向量組A線性無關(guān)，則向量組B也線性無關(guān)。對應(yīng)向量組線性無關(guān)說明增加方程個數(shù)相當(dāng)于向量增加分量，但向量組所含向量的個數(shù)不變第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三

由于線性方程組的解與方程組中方程的次序無關(guān)，由此我們得到如下命題命題2設(shè)有兩個向量組則向量組A與B的線性相關(guān)性相同。其中是這n個自然數(shù)的某個確定的排列，說明改變方程的次序相當(dāng)于改變向量的各分量的次序。第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例1證明n維單位坐標向量組線性無關(guān)；并將任意n維向量表示成的線性組合解設(shè)存在一組數(shù)，使得第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三按照向量的數(shù)乘、加法運算可得根據(jù)向量相等的定義，即有所以線性無關(guān)對于任意給定的n維向量第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例2

討論向量組的線性相關(guān)性解假設(shè)存在x,y,z，使得即由向量相等的定義得第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三容易驗證x=1,y=1,z=-1是上述方程的一組非零解即存在一組不全為零的數(shù)1，1，－1使所以線性相關(guān)實際上象這樣維數(shù)和向量個數(shù)相等的向量組，討論線性相關(guān)或無關(guān)時，只需考慮以α、β、γ構(gòu)成的行列式是否為0，為零則線性相關(guān)，否則線性無關(guān)。第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例3

設(shè)則t為何值時向量組線性相關(guān)解向量組線性相關(guān)等價于行列式即t＝5時線性相關(guān)第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三證設(shè)有x1，x2，x3使第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三故方程組只有零解x1=x2=x3=0，所以向量組線性無關(guān)。第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期三例5

把向量表示成向量組的線性組合解設(shè)存在四個數(shù)，使得即第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，