最優(yōu)控制第六章極小值原理第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三極小值原理是原蘇聯(lián)學(xué)者龐特里亞金于1956年提出的。它從變分法引伸而來(lái)，與變分法極為相似。因?yàn)闃O大與極小只相差一個(gè)符號(hào)，若把性能指標(biāo)的符號(hào)反過(guò)來(lái)，極大值原理就成為了極小值原理。極小值原理是解決最優(yōu)控制，特別是求解容許控制問(wèn)題的得力工具。第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三用古典變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題，都是假定控制變量u(t)的取值范圍不受任何限制，控制變分δu是任意的，從而得到最優(yōu)控制u*(t)所應(yīng)滿足的控制方程。但是，在大多數(shù)情況下，控制變量u(t)總要受到一定限制，δu不能任意取值，控制變量被限制在某一閉集內(nèi)，即u(t)滿足不等式約束條件在這種情況下，控制方程已不成立，所以不能再用變分法來(lái)處理最優(yōu)控制問(wèn)題。第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三(2)一、連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為(1)初始條件為x(t0)=x0，終態(tài)x(tf)滿足終端約束方程式中N——q維連續(xù)可微的矢量函數(shù)，q≤n。第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三控制式中g(shù)——l維連續(xù)可微的矢量函數(shù)，l≤r。(3)受不等式約束第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三式中，Φ和L——連續(xù)可微的矢量函數(shù)

tf——待定終端時(shí)刻。最優(yōu)控制問(wèn)題就是要尋求最優(yōu)容許控制u(t)在滿足上列條件下，使J為極小。性能泛函(4)第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三與前面討論過(guò)的等式約束條件最優(yōu)控制問(wèn)題作一比較，可知它們之間的主要差別在于：這里的控制u(t)是屬于有界閉集U，受到不等式g[x(t),x(t),t]≥0約束。為了把這樣的不等式約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等式約束問(wèn)題，采取以下兩個(gè)措施：第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三雖然u(t)不連續(xù)，但w(t)是連續(xù)的。若u(t)分段連續(xù)，則u(t)是分段光滑連續(xù)系統(tǒng)。(5)1)引入一個(gè)新的r維控制變量w(t)，令第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三(6)無(wú)論是正是負(fù)，恒非負(fù)，故滿足g非負(fù)的要求。2)引入另一個(gè)新的l維變量z(t)，令第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三的極值問(wèn)題。(7)通過(guò)以上變換，便將上述有不等式約束的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有等式約束的波爾扎問(wèn)題。再應(yīng)用拉格朗日乘子法引入乘子λ和γ(讀gamma)，問(wèn)題便進(jìn)一步化為下列增廣性能泛函第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三(8)(9)為簡(jiǎn)便計(jì)，令哈密爾頓函數(shù)為第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三、δJx、δJw、δJz分別是由于tf、x、w、z于是J1可寫(xiě)成(10)現(xiàn)在求增廣性能泛函J1的一次變分(11)式中作微小變化所引起的J1的變分。

第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三(12)第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三注意到(13)故第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三(14)(15)第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三把式(12)～式(15)代入式(11)，最后得第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三由于δtf、δxT(tf)、δx、δw、δz都是任意的，于是由δJ1=0可得增廣性能泛函取極值的必要條件，是下列各關(guān)系式成立。(16)第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三1)歐拉方程(17)(18)(19)即即第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2)橫截條件(22)(21)(20)(23)第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三將代入式(17)，并注意到，便得到1)歐拉方程(24)(25)(26)第二十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2)橫截條件(27)(28)(29)(30)第二十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三對(duì)上列方程稍作分析可知：1)由式(24)看出，只有當(dāng)g不含x時(shí)，才有(31)與通常的伴隨方程一致。第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2)式(18)和式(19)說(shuō)明和均為常數(shù)，又由式(22)和式(23)可知，它們?cè)诮K端處為零，故沿最優(yōu)軌線，恒有(32)第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三3)若將代入，則得即這表明在有不等式約束情況下，沿最優(yōu)軌跡這個(gè)條件已不成立。第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三值得指出的是，式(24)～式(30)只給出了最優(yōu)解的必要條件。為使最優(yōu)解為極小，則還必須滿足維爾特拉斯函數(shù)沿最優(yōu)軌跡為非負(fù)的條件，即(33)第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三由于沿最優(yōu)軌線有和，，并且，所以上式可寫(xiě)成第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三即上式表明，如果哈密爾頓函數(shù)H看成的函數(shù)，那么最優(yōu)軌跡上與最優(yōu)控制u*(t)相對(duì)應(yīng)的H將取絕對(duì)極小值(即最小值)。這是極小值原理的一個(gè)重要結(jié)論。(34)以，代入上式，便得(35)第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為(36)控制約束為終端約束為，待定(38)(37)始端條件為第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三性能泛函為取哈密爾頓函數(shù)為則實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件是，最優(yōu)控制u*、最優(yōu)軌跡x*和最優(yōu)協(xié)態(tài)矢量λ*滿足下列關(guān)系式：(39)(40)第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三1)沿最優(yōu)軌線滿足正則方程(41)若g中不包含x，則為(43)(42)第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2)在最優(yōu)軌跡上，與最優(yōu)控制u*相應(yīng)的函數(shù)取絕對(duì)極小值，即(44)沿最優(yōu)軌跡，有(45)或第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三3)函數(shù)在最優(yōu)軌跡終點(diǎn)處的值決定于(47)(46)4)協(xié)態(tài)終值滿足橫截條件第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三5)滿足邊界條件這就是著名的極小值原理。(48)第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三下面對(duì)定理作些說(shuō)明：1)定理的第一、第二個(gè)條件，即式(41)～式(44)，普遍適用于求解各種類(lèi)型的最優(yōu)控制問(wèn)題，且與邊界條件形式或終端時(shí)刻自由與否無(wú)關(guān)。其中，第二個(gè)條件：說(shuō)明，當(dāng)u(t)與u*(t)都從容許的有界閉集U中取值時(shí)，只有u*(t)能使函數(shù)沿最優(yōu)軌跡x*(t)取全局最小值。這一性質(zhì)與閉集U的特性無(wú)關(guān)。第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三將上述條件與等式約束下最優(yōu)控制的必要條件作一比較，可以發(fā)現(xiàn)，橫截條件和端點(diǎn)邊界條件沒(méi)有改變，只是這一條件不成立，代之以條件此外，協(xié)態(tài)方程也略有改變，僅當(dāng)g函數(shù)中不包括x時(shí)，方程才與前面一致。第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三第三個(gè)條件，即式(46)，描述了H函數(shù)終值與tf的關(guān)系，可用于確定tf的值。在定理推導(dǎo)過(guò)程中看出，該條件是由于tf變動(dòng)而產(chǎn)生的，因此當(dāng)終端時(shí)刻固定時(shí)，該條件將不復(fù)存在。第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四個(gè)、五個(gè)條件，即式(47)～式(48)，將為正則方程式(41)～式(43)提供數(shù)量足夠(2n個(gè))的邊值條件。若初態(tài)固定，其一半由x(t0)=x0提供，另一半由狀態(tài)終值約束方程式(48)和協(xié)態(tài)終值方程式(47)共同提供。例如，若終態(tài)固定，這一半便由狀態(tài)終值x(tf)=xf提供，而毋須再對(duì)協(xié)態(tài)終值附加任何約束條件；若的形式看，雖然也是尋求H為極小(或極大)的必要條件。但在變分法中，由u*(t)只和“接近”的u(t)作比較，所以u(píng)*(t)只能使H取得相對(duì)極小(或極大)值，甚至只能得到H的駐點(diǎn)條件。第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三2)當(dāng)控制矢量無(wú)界時(shí)，控制方程成立。但當(dāng)控制矢量有界時(shí)，正如同一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)不能用導(dǎo)數(shù)等于零去判定它在兩個(gè)端點(diǎn)處的極值一樣，這里，不成立了，而應(yīng)代之H為全局最小。從的形式看，雖然也是尋求H為極小(或極大)的必要條件。但在變分法中，由于u*(t)只和“接近”的u(t)作比較，所以u(píng)*(t)只能使H取得相對(duì)極小(或極大)值，甚至只能得到H的駐點(diǎn)條件。第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三不難理解，當(dāng)滿足變分法應(yīng)用條件時(shí)，用求解控制向量無(wú)界時(shí)的泛函極值問(wèn)題只是最小值原理應(yīng)用的一個(gè)特例。第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三3)最優(yōu)控制u*(t)保證哈密爾頓函數(shù)取全局最小值，所謂“極小值原理”一詞正源于此。在證明這一原理中，如果定義λ與H的符號(hào)恰好與上面相反，，可得結(jié)論因此，在有些文獻(xiàn)中亦稱(chēng)“極大值原理”。第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三4)極小值原理只給出了最優(yōu)控制的必要條件，并非充要條件。可以這樣說(shuō)，凡不符合極小值原理的控制必不是最優(yōu)控制；凡符合極小值原理求得的每個(gè)控制，還只是最優(yōu)控制的候選函數(shù)，至于到底哪個(gè)是最優(yōu)控制，還得根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)加以判斷，或進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上予以證明。但是能夠證明，對(duì)于線性函數(shù)，極小值原理既是泛函取最小值的必要條件，也是充分條件。此外，極小值原理沒(méi)有涉及最優(yōu)控制的存在性和唯一性問(wèn)題。第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三5)極小值原理的實(shí)際意義在于放寬了控制條件，解決了當(dāng)控制為有界閉集時(shí)，容許控制的求解問(wèn)題。它不要求對(duì)有可微性。例如，當(dāng)H(u)為線性函數(shù)，或者在容許控制范圍內(nèi)，H(u)是單調(diào)上升(或下降)時(shí)，由極小值原理求得的最優(yōu)控制在邊界上，但用變分法卻求不出來(lái)，因?yàn)橐巡贿m用。第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三例1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為控制約束0.5≤u≤1，求u(t)使第四十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三解：這是個(gè)終端自由的容許控制問(wèn)題。1)由哈密爾頓函數(shù)可見(jiàn)H是的線性函數(shù)，與u無(wú)關(guān)。根據(jù)極小值原理，求H極小等效于求泛函極小，這只要使u(1-λ)為極小即可。第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三u的上界為1，下界為0.5，因此當(dāng)λ>1時(shí)應(yīng)取u*(t)=1(上界)λ<1時(shí)，u*(t)=0.5(下界)

第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期三得其解為λ=-1+Ce-t當(dāng)tf

=1時(shí)λ(tf

)=λ