等比數(shù)列前n項(xiàng)和數(shù)學(xué)小故事相傳，古印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發(fā)明者——宰相西薩·班·達(dá)依爾。于是，這位宰相跪在國王面前說：陛下，請您在這張棋盤的第一個(gè)小格內(nèi)，賞給我一粒麥子，在第二個(gè)小格內(nèi)給兩粒，第三格內(nèi)給四粒，照這樣下去，每一小格都比前一小格加一倍．陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人罷！第2格：第1格：第4格：第3格：第63格：第64格：12……這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？這實(shí)際上是求首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和．18,446,744,073,709,551,615=一般地，設(shè)有等比數(shù)列：它的前n項(xiàng)和是：(1)的兩邊乘以q由定義等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo):(1)(2)(1)-(2)整理等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式對首項(xiàng)為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{an},它的前n項(xiàng)和公式的理解：1.運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)先要確定公比q是否等于1.2.當(dāng)q≠1時(shí),等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)求解公式:當(dāng)已知a1,q,n時(shí),用試一試

根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.例1

(1)在等比數(shù)列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;練習(xí)1若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5;練習(xí)2設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.練習(xí)3在等比數(shù)列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和公比q.解

由題意,若q=1,則S3=3a1=6,符合題意.此時(shí),q=1,a3=a1=2.若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,解得q=-2(q=1舍去).此時(shí),a3=a1q2=2×(-2)2=8.綜上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.練習(xí)4.在等比數(shù)列{an}中,S2=30,S3=155,求Sn.例2

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N+.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.練習(xí).已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=n·2n,則Sn=

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答案

(n-1)2n+1+2(n∈N+)

解析

∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2