試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁中考數(shù)學高頻考點突破——圓的切線的證明1．如圖，的邊為的直徑，與圓交于點D，D為的中點，過D作于E．(1)求證：；(2)求證：為的切線．2．如圖，在中，，以為直徑的與相交于點D，過點D作，交于點E．(1)求證：是的切線；(2)若的直徑為5，，求的長．3．如圖，已知是的直徑，C是上的點，點D在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．4．如圖，中，，，點O在上，以O(shè)為圓心，為半徑畫⊙O，分別與邊相交于點，垂足分別為E、D．(1)求證：是⊙O的切線；(2)設(shè)，求的長（用含m的代數(shù)式表示）．5．如圖，在等腰中，，以為直徑作，交于點D，過點D作，垂足為E．(1)求證：是的切線；(2)如果，，求的長．6．如圖，在中，，以為直徑作半圓O交于點D，點E為中點，連接．(1)求證：是半圓O的切線；(2)若，，求的長．7．如圖，是的直徑，點C是上一點，和過點C的直線互相垂直，垂足為D，交于點E，且平分．(1)求證：直線是的切線；(2)連接，若，，求AE的長．8．如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點．過點作的切線與的延長線交于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．9．已知四邊形是平行四邊形，以為直徑的經(jīng)過點D．(1)如圖1，若，求證：與相切；(2)如圖2，若，，交邊于點F，交邊延長線于點E，求，的長．10．如圖，在中，，的平分線交于點，點在上，以點為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過點，分別交，于點，．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，，求陰影部分的面積（結(jié)果保留）．11．如圖，已知，以交于點D，點E為弧的中點，連接交于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若⊙O的半徑為2，，求的長．12．如圖，在中，為的直徑，為上一點，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．13．如圖，在中，，的角平分線交于點D，點O在上，以點O為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交、于點E，F(xiàn)．(1)試判斷直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求⊙O的半徑．14．如圖，是的直徑，點是上異于的點，連接，點在的延長線上，且，點在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，則的長為_____________．15．如圖，是的直徑，C、D是上兩點，且D為弧中點，過點D的直線交的延長線于點E，交的延長線于點F，連接．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，求陰影部分的面積；16．如圖，在中，，，點在上，經(jīng)過點，，且交于點，直徑于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點F，圓心O在AB上．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；(3)求證：CD＝HF．18．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：BC2=CD·2OE；(3)若AB：AC=3：5，BE=6，求OE的長．答案第=page2525頁，共=sectionpages2626頁答案第=page2626頁，共=sectionpages2626頁參考答案：1．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理證明即可．【解析】（1）如圖1，連接，∵為的直徑，∴；（2）如圖2，連接，，是的中位線，，，∵是的半徑，∴為的切線．【點評】本題考查的是切線的判定、圓周角定理，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，求得，進而得到，即可求得，證得結(jié)論；（2）連接，由是的直徑，得，再由，可求得，最后利用等面積法求得．【解析】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，是的切線；（2）解：如圖2，連接，∵是的直徑，，，，，，，，，的長是．【點評】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等面積法求線段，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)幾何知識，作出適當?shù)妮o助線．3．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可得，由于是的直徑，可得，從而得到，即可；（2）設(shè)的半徑為r，則，由于，可得到，，再求出，分別計算的面積以及扇形的面積即可求出陰影部分面積．【解析】（1）證明∶如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）設(shè)的半徑為r，則，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴∴，解得：，∴，∵，∴，∴∴，過點O作于點E，∴，∴，∵，∴陰影部分面積為．【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則，得，再由得，則，得，于是，可證明是的切線；（2）作于點，則，得，推得，則，于是有，再證明，推得，即可求出用含的代數(shù)式表示的式子．【解析】（1）解：證明：如圖，連接，，，，，，，于點，，是的半徑，且，是的切線．（2）如圖，作于點，，，，，于點，，，，，，，，，，，，，即．【點評】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由，得到，先證明，得到，則，由是的半徑，即可得到結(jié)論；（2）由，得到，由勾股定理得到，由,得到,連接，由得到，由勾股定理即可求得的長．【解析】（1）證明：連接，∵，∴，∵等腰中，，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，∴，∴，∵為的中點，∴,∵,∴,連接，∵為的直徑，∴,∵,∴，∴，∴，即的長為．【點評】此題考查了切線的判定定理，解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)3【分析】（1）如圖，連接；根據(jù)題意結(jié)合圖形，證明，即可解決問題；（2）首先求出，進而求出的值；運用勾股定理求出的值，即可解決問題．【解析】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴；又∵點E為的中點，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，又∵點D半圓O上，∴是半圓O的切線．（2）解：由（1）知，又∵∴，∴，∴∴，由勾股定理得：．【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握相關(guān)知識點是解決問題的關(guān)鍵．7．(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由角平分線的定義得到，再由推出，則，再由，得到，由此即可證明結(jié)論；（2）如圖所示，連接，先證明，再由是直徑，得到，即可利用勾股定理求出，證明，求出，再利用勾股定理求出，則．【解析】（1）證明：如圖所示，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵點C在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖所示，連接，由（1）得，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴．【點評】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理可以得到，即，即可證得是的切線；（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：連接，是的切線，是的直徑，，于點，，，在和中，，（SAS），，，是的半徑，是的切線．（2）解：于點，，，是的切線，，，，，，，，，，，在中，，．故答案為：．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)，【分析】（1）連接，由，，得到，則，由四邊形是平行四邊形，，則，則，證得，得到結(jié)論；（2）連接，，，由圓周角定理證得是直徑，在和中，利用勾股定理得到，設(shè)，則，列方程求出，即可得到答案．【解析】（1）證明：連接，∵，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；（2）解：如圖，連接，，，∵是直徑，∴．∵，∴，∴，∴是直徑，∴，，∴，，∴，在和中，，，∴，設(shè)，則，∴．解得，∴，即．【點評】此題主要考查了切線的判定定理、圓周角定理、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)相切，見解析(2)【分析】（1）連接，由角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，易得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得即可知與相切；（2）根據(jù)圓周角定理可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)扇形面積公式，利用陰影部分面積等于的面積減去扇形的面積即可求解．【解析】（1）解：與相切．理由：連接，是的平分線，又，，，．，即．（2）解：，，，在中，，設(shè)的半徑為，則，解得：，，陰影部分的面積．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系和不規(guī)則圖形的面積計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定．11．(1)見解析(2)【分析】（1）連接AE，求出，推出，求出，根據(jù)切線的判定即可證明結(jié)論．（2）根據(jù)．求出，根據(jù)證，推出，由勾股定理得出求解即可．【解析】（1）證明：連接，∵是的直徑∴，∴，∵，∴，∵E為弧中點，∴，∴，∴，∵為直徑，∴是的切線．（2）解：∵的半為2，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴∴，設(shè)，由勾股定理得：，解得：（負數(shù)舍去），∴．【點評】本題主要考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)、判定定理是解答本題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意連接，直接利用切線的定理進行分析證明即可；（2）根據(jù)題意連接，交于于點，利用三角函數(shù)和勾股定理以及矩形的性質(zhì)進行綜合分析計算即可．【解析】（1）解：證明：連接；∵；∴；又∵為的中點；∴∴；∴；∴；∵；∴；又∵為半徑；∴為的切線；（2）連接，交于于點，則，∵是圓的直徑；∴；∴四邊形為矩形；∵∴，∴，∵，則，由勾股定理的，∴又∵四邊形為矩形；∴【點評】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓的切線定理和勾股定理以及三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)與⊙O相切，理由見解析(2)4【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線與等腰三角形得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到證明；（2）在中根據(jù)勾股定理即可得到答案．【解析】（1）解：與⊙O相切，理由如下，證明：連接，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴與⊙O相切；（2）解：在中設(shè)半徑為r，根據(jù)勾股定理可得，，∵，，∴，解得．【點評】本題考查切線的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線．14．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；（2）證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的值，由此即可得出答案．【解析】（1）證明：如圖，連接，，，是的直徑，，，，，即，，又是的半徑，是的切線．（2），，，，，的半徑為3，，，解得：．【點評】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．15．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，從而利用角平分線和平行證明，然后利用平行線的性質(zhì)求出，即可解答；（2）根據(jù)圓周角定理可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后根據(jù)，進行計算即可解答【解析】（1）證明：連接，如圖所示，∵D為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，在中，，∴，∴【點評】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，切線的判定與性質(zhì)，扇形面積的計算，熟練掌握圓周角定理，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)得出，，求出，得出，即可得出是的切線；（2）由垂徑定理得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，得出，，即可得出．【解析】（1）證明：連接，如圖所示：，，，，，，，是的切線；（2）解：直徑，，，，，，，，．【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握切線的判定和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）連接OE，根據(jù)∠BEF＝90°，證明BF是圓O的直徑，說明OB＝OE，得出∠OBE＝∠OEB，根據(jù)BE平分∠ABC，得出∠CBE＝∠OBE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，證明，得出∠AEO＝∠C＝90°，即可證明結(jié)論正確；（2）先證明∠BEC＝∠BEH，再根據(jù)等角的余角相等證明∠FEH＝∠FEA，即可證明結(jié)論正確；（3）連接DE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出EC＝EH，根據(jù)“AAS”證明△CDE≌△HFE，即可證明結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OE，如圖所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圓O的直徑，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切線；（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴∠BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直徑，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）證明：連接DE，如圖所示：∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，【點評】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，余角和補角的性質(zhì)，作出相應(yīng)的輔助線，證明△CDE≌△HFE，是解題的關(guān)鍵．18．(1)DE為⊙O的切線，理由見解析(2)見解析(3)OE=【分析】（1）連接