專題45隨機(jī)事件、頻率與概率【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)1、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．知識(shí)點(diǎn)2、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．知識(shí)點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．知識(shí)點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：知識(shí)點(diǎn)5、互斥事件與對(duì)立事件（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．（2）對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．（3）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識(shí)點(diǎn)6、概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．【題型歸納目錄】題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算題型二：頻率與概率題型三：生活中的概率題型四：互斥事件與對(duì)立事件題型五：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率【典型例題】題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算例1．（2022·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”一定發(fā)生，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”或事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，故選項(xiàng)D正確；故選：D例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A例3．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數(shù)包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生，即事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯(cuò)誤．故選：AB．變式1．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【答案】ABC【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒(méi)擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.變式2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）利用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)玩配色游戲兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各轉(zhuǎn)一次，觀察指針?biāo)竻^(qū)域的顏色（不考慮指針落在分界線上的情況）．事件A表示“轉(zhuǎn)盤(pán)①指針?biāo)竻^(qū)域是黃色”，事件B表示“轉(zhuǎn)盤(pán)②指針?biāo)竻^(qū)域是綠色”，用樣本點(diǎn)表示，．【解析】由題可得：轉(zhuǎn)盤(pán)①轉(zhuǎn)出的顏色紅黃藍(lán)轉(zhuǎn)盤(pán)②轉(zhuǎn)出的顏色藍(lán)（紅，藍(lán)）（黃，藍(lán)）（藍(lán)，藍(lán)）黃（紅，黃）（黃，黃）（藍(lán)，黃）紅（紅，紅）（黃，紅）（藍(lán)，紅）綠（紅，綠）（黃，綠）（藍(lán)，綠）紫（紅，紫）（黃，紫）（藍(lán)，紫）由表可知，共有15種等可能的結(jié)果，其中{(黃,藍(lán)),(黃,黃),(黃,紅),(黃,綠),(黃,紫)}，{(紅,綠),(黃,綠),(藍(lán),綠)}，所以{(黃,綠)}，{(黃,藍(lán)),(黃,黃),(黃,紅),(黃,綠),(黃,紫),(紅,綠),(藍(lán),綠)}．題型二：頻率與概率例4．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取人，正確；對(duì)于B，青年患者所占的頻率為，正確；對(duì)于C，平均治愈率為，正確；對(duì)于D，由C知錯(cuò)誤.故選：ABC.例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個(gè)小組，如下表所示：組號(hào)12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率分別為（

）A．0.14，0.37 B．， C．0.03，0.06 D．，【答案】A【解析】由表可知，第3組的頻率為，累積頻率為。故選：A例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績(jī)的優(yōu)秀率為30%，乙校成績(jī)的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，則取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33【答案】D【解析】由題意得：將兩所學(xué)校的成績(jī)放到一起，從中任取一個(gè)學(xué)生成績(jī)，取到優(yōu)秀成績(jī)的概率為，故選：D變式3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得這家健身房的總好評(píng)率為.故選：B.變式4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1423石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石【答案】C【解析】樣本中夾谷的比例為，用樣本估計(jì)總體，可得這批谷內(nèi)夾谷約為（石）.故選：C.變式5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，則布袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（

）個(gè)．A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解析】由題意，摸到紅色球、黑色球的概率分別為15%和45%，即可摸到白色球的概率為，所以可得白色球的個(gè)數(shù)為.故選：B變式6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（

）A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5D．以上說(shuō)法均不正確【答案】B【解析】對(duì)于A，大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率越來(lái)越接近于0.5，故A不正確；對(duì)于B，事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，所以不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5，故B正確；對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)概率是指特定的事件發(fā)生的次數(shù)占總體試驗(yàn)樣本的比率，隨著試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率約為0.5，故C不正確；對(duì)于D，顯然不正確.故選：B變式7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0.5 D．0.5，0.48【答案】C【解析】頻率跟實(shí)驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，出現(xiàn)正面朝上的頻率為實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)除以總試驗(yàn)次數(shù)，故為.概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，與實(shí)驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C.變式8．（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）有以下說(shuō)法:①一年按365天計(jì)算,兩名學(xué)生的生日相同的概率是;②買彩票中獎(jiǎng)的概率為0.001,那么買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng);③乒乓球賽前,決定誰(shuí)先發(fā)球,抽簽方法是從1~10共10個(gè)數(shù)字中各抽取1個(gè),再比較大小,這種抽簽方法是公平的;④昨天沒(méi)有下雨,則說(shuō)明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%”是錯(cuò)誤的.根據(jù)我們所學(xué)的概率知識(shí),其中說(shuō)法正確的序號(hào)是___.【答案】①③【解析】根據(jù)“概率的意義”求解,買彩票中獎(jiǎng)的概率0.001,并不意味著買1000張彩票一定能中獎(jiǎng),只有當(dāng)買彩票的數(shù)量非常大時(shí),我們可以看成大量買彩票的重復(fù)試驗(yàn),中獎(jiǎng)的次數(shù)為;昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定會(huì)下雨.說(shuō)法②④是錯(cuò)誤的，而利用概率知識(shí)可知①③是正確的.故答案為①③．題型三：生活中的概率例7．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）.現(xiàn)要從甲?乙兩名同學(xué)中選出1人參加某市組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲參賽的概率大 B．乙參賽的概率大C．這種選取規(guī)則公平 D．這種選取規(guī)則不公平【答案】BD【解析】由題意，知由1，2，3，4，5組成的“三位遞增數(shù)”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10個(gè).記“甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件A，事件A包含的樣本點(diǎn)有124，134，234，共3個(gè)，所以.記“乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件B，則事件B包含的樣本點(diǎn)有123，125，135，145，235，245，345，共7個(gè)，所以.因?yàn)椋匆覅①惖母怕蚀?，所以該選取規(guī)則不公平.故選：BD.例8．（多選題）（2022·山東·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．一個(gè)人打靶，打了10發(fā)子彈，有6發(fā)子彈中靶，因此這個(gè)人中靶的概率為0.6B．某地發(fā)行福利彩票，其回報(bào)率為47%，有個(gè)人花了100元錢買彩票，一定會(huì)有47元回報(bào)C．5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎(jiǎng)的可能性相同D．大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率.【答案】CD【解析】、某人打靶，射擊10次，擊中6次，那么此人中靶的頻率為0.6，故錯(cuò)誤；、買這種彩票是一個(gè)隨機(jī)事件，中獎(jiǎng)或者不中獎(jiǎng)都有可能，但事先無(wú)法預(yù)料，故錯(cuò)誤；、根據(jù)古典概型的概率公式可知C正確；、大量試驗(yàn)后，可以用頻率近似估計(jì)概率，故正確．故選：CD．例9．（多選題）（2022·江蘇·金陵中學(xué)二模）某人投了100次籃，設(shè)投完前n次的命中率為．其中，….100．已知，則一定存在使得（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根據(jù)題意得：，其中k為不超過(guò)85的自然數(shù)，且；對(duì)A，記前k次投籃中，投中的次數(shù)減去不中的次數(shù)為，則，又，一定存在m，使得，此時(shí)，故A正確；對(duì)B，前100次投籃中，若前次投籃均不中，后面次投籃均命中，則對(duì)于，方程無(wú)整數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若前次不中，后面次投籃均命中，最后一次不中，則對(duì)于，方程無(wú)整數(shù)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如果不存在m，使得，則前5次投籃中至少有2次不中，前10次投籃中至少有3次不中，前15次投籃中至少有4次不中，依此類推，前70次投籃中至少有15次不中，即前75次投籃中恰有15次不中，從而，矛盾，故D正確．故選：AD.變式9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)定：甲、乙兩人同時(shí)擲骰子，若甲擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于，則甲得一分；若乙擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于，則乙得一分，最先得到10分者獲勝.為確保游戲的公平性，正整數(shù)的值應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于甲，擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為時(shí)，甲能夠得一分，則由對(duì)稱性可知，擲兩次的骰子的點(diǎn)數(shù)之和為分別與擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為對(duì)應(yīng)的概率相等，為確保游戲的公平性，需，此時(shí)甲乙得分概率相等.故選：C.變式10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了下面兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：你的父親陽(yáng)歷生日日期是不是奇數(shù)？問(wèn)題二：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)化裝置：一個(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子，每個(gè)被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個(gè)球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問(wèn)題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問(wèn)題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個(gè)小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為（

）A．7% B．8% C．9% D．30%【答案】C【解析】因?yàn)橐粋€(gè)裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個(gè)白球和50個(gè)紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到白球和紅球的概率都為，因此，這200人中，回答了第一個(gè)問(wèn)題的有100人，而一年365天中，陽(yáng)歷為奇數(shù)的有186天，所以對(duì)第一個(gè)問(wèn)題回答“是”的概率為，所以這100個(gè)回答第一個(gè)問(wèn)題的學(xué)生中，約有51人回答了“是”，從而可以估計(jì)，在回答第二個(gè)問(wèn)題的100人中，約有9人回答了“是”，所以可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為9%．故選：C【方法技巧與總結(jié)】概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．題型四：互斥事件與對(duì)立事件例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個(gè)，為駕駛艙語(yǔ)音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對(duì)黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”，事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.則（

）A．A與C是互斥事件 B．B與D是對(duì)立事件C．B與C是對(duì)立事件 D．C與D是互斥事件【答案】D【解析】事件A為“只研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”；事件B為“至少研究一個(gè)黑厘子”，包含“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個(gè)黑厘子”，包含“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個(gè)黑匣子都不研究；事件D為“兩個(gè)黑厘子都研究”.即“研究駕駛艙語(yǔ)音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；所以對(duì)于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對(duì)于B，事件B與事件D不是對(duì)立事件，故B不正確；對(duì)于C，事件B與事件C不是對(duì)立事件，故C不正確；對(duì)于D，事件C和事件D不能同時(shí)發(fā)生，故C與D是互斥事件.故選：D.例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這10個(gè)正整數(shù)，脫靶計(jì)為0環(huán)．某人射擊一次，設(shè)事件“中靶”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6”，事件“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是（

）A．B與C互斥 B．B與C互為對(duì)立C．A與D互為對(duì)立 D．A與D互斥【答案】A【解析】對(duì)于AB，事件和不可能同時(shí)發(fā)生，但一次射擊中有可能擊中環(huán)數(shù)為1，所以B與C互斥，不對(duì)立，所以A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于CD，事件A與D有可能同時(shí)發(fā)生，所以A與D既不互斥，也不對(duì)立，所以CD錯(cuò)誤，故選：A例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，下列兩個(gè)事件為對(duì)立事件的是（

）A．“至多有一個(gè)是偶數(shù)”和“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”B．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”C．“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”【答案】C【解析】從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)，可能有個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，即“至多有一個(gè)是偶數(shù)”包含于“至多有兩個(gè)是偶數(shù)”，故A錯(cuò)誤；“恰有一個(gè)是奇數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“恰有一個(gè)是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“恰有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；同理可得“恰有一個(gè)是奇數(shù)”和“至多有一個(gè)是偶數(shù)”是互斥但不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包括個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即個(gè)奇數(shù)和個(gè)偶數(shù)，所以“至少有一個(gè)是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對(duì)立事件，故C正確；故選：C變式11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若事件與事件是對(duì)立事件，則事件與事件一定是互斥事件；若事件與事件是互斥事件，不一定得到事件與事件對(duì)立，故命題“事件與事件對(duì)立”是命題“事件與事件互斥”的充分不必要條件；故選：A【方法技巧與總結(jié)】1、準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．2、判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．題型五：利用互斥事件與對(duì)立事件計(jì)算概率例13．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）采購(gòu)員要購(gòu)買某種電器元件一包（10個(gè)）．他的采購(gòu)方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，其余包中各含1個(gè)次品，則采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包拒絕購(gòu)買的概率為（

）A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54【答案】A【解析】抽到含有1個(gè)次品，且抽到的3個(gè)元件中含有這一個(gè)次品的概率為，抽到含有4個(gè)次品，且隨機(jī)抽查的3個(gè)元件中含有次品，則拒絕購(gòu)買，故概率為，所以采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包拒絕購(gòu)買的概率為.故選：A例14．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙兩人參加歌唱比賽，晉級(jí)概率分別為和，且兩人是否晉級(jí)相互獨(dú)立，則兩人中恰有一人晉級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意兩人中恰有一人晉級(jí)，則甲晉級(jí)、乙未晉級(jí)或甲未晉級(jí)、乙晉級(jí)，所以概率；故選：A例15．（2022·河南河南·模擬預(yù)測(cè)（理））某士兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槊看蚊心繕?biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，所以連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率，故選：A.變式12．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)高三階段練習(xí)）重慶的8月份是一段讓人難忘的時(shí)光，我們?cè)庥隽烁邷嘏c山火，斷電和疫情．疫情的肆虐，讓我們?cè)俅尉蛹腋綦x．為了保障民生，政府極力保障各類糧食和生活用品的供應(yīng)，在政府的主導(dǎo)與支持下，各大電商平臺(tái)也紛紛上線，開(kāi)辟了一種無(wú)接觸式送貨服務(wù)，用戶在平臺(tái)上選擇自己生活所需要的貨物并下單，平臺(tái)進(jìn)行配備打包，再由快遞小哥送貨上門．已知沙坪壩某小區(qū)在隔離期間主要使用的電商平臺(tái)有：某東到家，海馬生鮮，咚咚買菜．由于交通、配送等多方面原因，各電商平臺(tái)并不能準(zhǔn)時(shí)送達(dá)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)三家平臺(tái)的準(zhǔn)點(diǎn)率分別為，，，各平臺(tái)送貨相互獨(dú)立，互不影響，某小哥分別在三家電商各點(diǎn)了一份配送貨，則至少有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楦髌脚_(tái)送貨相互獨(dú)立，互不影響，所以有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為,有三家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為，則至少有兩家準(zhǔn)點(diǎn)送到的概率為.故選：B.變式13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩名同學(xué)做同一道數(shù)學(xué)題，甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．兩人都做對(duì)的概率是0.72 B．恰好有一人做對(duì)的概率是0.26C．兩人都做錯(cuò)的概率是0.15 D．至少有一人做對(duì)的概率是0.98【答案】C【解析】由于甲做對(duì)的概率為0.8，乙做對(duì)的概率為0.9，故兩人都做對(duì)的概率是，所以A正確；恰好有一人做對(duì)的概率是，故B正確；兩人都做錯(cuò)的概率是，故C錯(cuò)誤；至少有一人做對(duì)的概率是，故D正確，故選：C變式14．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】區(qū)間的整數(shù)共有7個(gè)，則質(zhì)數(shù)有2，3，5，7共4個(gè)；非質(zhì)數(shù)有3個(gè)；設(shè)事件：從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，至少有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，由，故選：變式15．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））小吳、小張兩名同學(xué)均打算暑期選擇學(xué)校的舞蹈、畫(huà)畫(huà)、籃球三個(gè)興趣班中的一個(gè)興趣班學(xué)習(xí)，小吳、小張選擇舞蹈、畫(huà)畫(huà)、籃球三個(gè)興趣班學(xué)習(xí)的概率分別如下表，則小吳、小張選擇不同興趣班學(xué)習(xí)的概率為（

）舞蹈畫(huà)畫(huà)籃球小吳0.30.4小張0.50.3A．0.68 B．0.66 C．0.64 D．0.62【答案】A【解析】由題可得，小吳、小張選擇舞蹈、畫(huà)畫(huà)、籃球三個(gè)興趣班學(xué)習(xí)的概率分別如下表：舞蹈畫(huà)畫(huà)籃球小吳0.30.30.4小張0.50.30.2故小吳、小張選擇相同興趣班學(xué)習(xí)的概率為，故小吳、小張選擇不同興趣班學(xué)習(xí)的概率為．故選：A．變式16．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）一個(gè)電路如圖所示，，，，，，，為7個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【解析】電路由上到下有3個(gè)分支并聯(lián)，開(kāi)關(guān)所在的分支不通的概率為，開(kāi)關(guān)所在的分支不通的概率為，開(kāi)關(guān)，，所在的分支不通的概率為，所以燈亮的概率是.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．(2)間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)．特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解就顯得較簡(jiǎn)便．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）已知A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨(dú)立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨(dú)立【答案】C【解析】若事件A，B互斥，則，與事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥；若事件A，B相互獨(dú)立，則，而題設(shè)無(wú)法判斷是否成立，故無(wú)法判斷事件A，B是否相互獨(dú)立.故選：C.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知、分別表示隨機(jī)事件A、B發(fā)生的概率，那么是下列哪個(gè)事件的概率（

）A．事件A、B同時(shí)發(fā)生 B．事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生C．事件A、B都不發(fā)生 D．事件A、B至多有一個(gè)發(fā)生【答案】D【解析】表示隨機(jī)事件、同時(shí)發(fā)生，所以就是事件、至多有一個(gè)發(fā)生.故選：D3．（2022·湖南·高三開(kāi)學(xué)考試）從，，，，中任取個(gè)不同的數(shù)分別記作，，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從，，，，中任取個(gè)不同的數(shù)，，共有個(gè)基本事件，取出的個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值等于有，，，共個(gè)基本事件，所以所求概率為.故選：D4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“五一”勞動(dòng)節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，．∴他們不去北京旅游的概率分別為，，．∵至少有1人去北京旅游的對(duì)立事件是沒(méi)有人去北京旅游，∴至少有1人去北京旅游的概率為：．故選：B5．（2022·安徽省太和中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙兩人進(jìn)行五局三勝制的乒乓球單打比賽，每局甲獲勝的概率為.已知在第一局和第二局比賽中甲均獲勝，則繼續(xù)比賽下去，甲最終贏得比賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】第三局贏得概率為，第三局輸?shù)谒木众A的概率為，第三局和第四局輸?shù)谖寰众A的概率為，所以甲贏的概率為；故選：B.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若，為兩個(gè)事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．【答案】C【解析】互斥不一定對(duì)立，但對(duì)立必互斥，①正確；只有A與B是互斥事件時(shí)，才有，②錯(cuò)誤；若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，例如，設(shè)樣本點(diǎn)空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對(duì)立事件，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤．故選：C.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，．則事件“抽到的不是一等品”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的對(duì)立事件是抽到一等品，事件{抽到一等品}，，∴抽到不是一等品的概率是．故選:D．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下列說(shuō)法：①若事件，滿足，則，為對(duì)立事件；②把3張紅桃，，隨機(jī)分給甲、乙、丙三人，每人張，事件“甲得紅桃”與事件“乙得紅桃”是對(duì)立事件；③一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】①，為對(duì)立事件，需滿足和，故①錯(cuò)誤；②事件“甲得紅桃”的對(duì)立事件為“甲未得紅桃”，即“乙或丙得紅桃”，故②錯(cuò)誤；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“兩次都中靶”，則其對(duì)立事件為“兩次都不中靶”，故③正確．所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C二、多選題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．事件與事件相互獨(dú)立C．與和為D．事件A與事件B互斥【答案】ABC【解析】，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，B項(xiàng)正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨(dú)立而非互斥，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，互為對(duì)立事件，，則B．若事件，，兩兩互斥，則事件與互斥C．若事件與對(duì)立，則D．若事件與互斥，則它們的對(duì)立事件也互斥【答案】ABC【解析】若，互為對(duì)立事件，，則為必然事件，故為不可能事件，則，故A正確；若事件，，兩兩互斥，則事件，，不能同時(shí)發(fā)生，則事件與也不可能同時(shí)發(fā)生，則事件與互斥，故B正確；若事件與對(duì)立，則，故C正確；若事件，互斥但不對(duì)立，則它們的對(duì)立事件不互斥，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一批產(chǎn)品（既有正品也有次品）中取出三件產(chǎn)品，設(shè)三件產(chǎn)品全不是次品，三件產(chǎn)品全是次品三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．與互斥 B．與互斥C．任何兩個(gè)都互斥 D．與對(duì)立【答案】ABC【解析】由題意可知，三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品兩個(gè)事件，三件產(chǎn)品全不是次品，即3件產(chǎn)品全是正品，三件產(chǎn)品全是次品，由此知，與互斥，與互斥，故A，B正確，與互斥，由于總事件中還包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”兩個(gè)事件，故與不對(duì)立，故C正確，D錯(cuò)誤，故選：ABC．12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的電路由，兩個(gè)系統(tǒng)組成，其中M，N，P，Q，L是五個(gè)不同的元件，若元件M，N，P，Q，L出現(xiàn)故障的概率分別為，，，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．元件M，N均正常工作的概率為 B．系統(tǒng)正常工作的概率為C．系統(tǒng)正常工作的概率為 D．系統(tǒng)，均正常工作的概率為【答案】BD【解析】設(shè)事件A，B，C，D，E分別表示M，N，P，Q，L元件出現(xiàn)故障，則，，，，所以元件M，N均正常工作的概率為，A錯(cuò)誤，系統(tǒng)正常工作的概率為，B正確；系統(tǒng)正常工作的概率為，C錯(cuò)誤；系統(tǒng)，均正常工作的概率為，D正確.故選：BD.三、填空題13．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）樹(shù)人中學(xué)進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)則為：每人投籃三次，先在A處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)得0分，然后在B處投兩次兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)得0分，測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試．甲同學(xué)為了通過(guò)測(cè)試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每輪在A處和B處各投10次，根據(jù)統(tǒng)計(jì)該同學(xué)各輪三分球和兩分球的投進(jìn)次數(shù)如下圖表：若以五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測(cè)試時(shí)每次投籃命中的概率，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率是___________．【答案】【解析】依題意甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為：，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為：，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，甲同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為．故答案為：14．（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）事件A的優(yōu)勢(shì)比定義為，如果，則事件A的優(yōu)勢(shì)比是_____________．【答案】2【解析】因?yàn)椋?，所以事件A的優(yōu)勢(shì)比是，故答案為：215．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某項(xiàng)比賽規(guī)則是3局2勝，甲乙兩人進(jìn)行比賽，假設(shè)甲每局獲勝的概率為，則由此估計(jì)甲獲勝的概率為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)榧撰@勝的方式有和兩種，所以甲獲勝的概率為.故答案為：.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我國(guó)其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒(méi)有特效治療方法，防控難度很大，武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者?疑似的新冠肺炎患者?無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶?不漏一人，在排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核酸”檢測(cè)，若出現(xiàn)陽(yáng)性，則該家庭為“感染高危戶”，設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，則___________.【答案】【解析】