ch不定積分的換元法演示文稿2008年12月5日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1目前一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)2008年12月5日南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2優(yōu)選ch不定積分的換元法目前二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)第3節(jié)兩種基本積分法3.1換元積分法3.2分部積分法3.3初等函數(shù)的積分法目前三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)換元法則(II）換元法則(I)基本思路

設(shè)可導(dǎo),則有3.1換元積分法目前四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)1.換元法則(I)----第一類(lèi)換元法定理3.1則有換元公式(也稱(chēng)配元法即,

湊微分法)說(shuō)明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為目前五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求目前六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1

求解:

令則故原式

=注

當(dāng)時(shí)目前七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)解∴原式

=目前八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2

求解:令則想到公式目前九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)解目前十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3

求想到解:(直接配元)目前十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)以下是最基本且經(jīng)常會(huì)遇到的結(jié)果:目前十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例4

求解（一）解（二）解（三）觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.目前十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例5求解類(lèi)似目前十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)常用的幾種配元形式:

萬(wàn)能湊冪法目前十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例6.

求解:

原式=目前十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=目前十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例8.

求解法1解法2

兩法結(jié)果一樣目前十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例9

求解法1解法2

同樣可證(P196例3.4)目前十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)原式提示:目前二十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)2.換元法則(II)----第二類(lèi)換元法第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類(lèi)換元積分法.難求，目前二十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)定理3.2設(shè)

是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則則有換元公式目前二十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例10

求解:

令則∴原式目前二十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例11

求解:

令則∴原式目前二十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例12.

求解:令則∴原式目前二十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)令于是目前二十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)說(shuō)明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令目前二十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)說(shuō)明(2)被積函數(shù)含有時(shí),除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.或或三角代換外,還可利用公式目前二十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)說(shuō)明(3)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例13

求令解目前二十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例14

求解令（分母的階較高）目前三十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前三十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)說(shuō)明(4)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例15

求解令目前三十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)兩類(lèi)積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換小結(jié):目前三十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)

說(shuō)明：1.第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令或令或令或(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

目前三十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)（8）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能代換公式）

使用范圍：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)．一般記為如，目前三十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例16

求積分解由萬(wàn)能代換公式目前三十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前三十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)2.常用基本積分公式的補(bǔ)充目前三十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前三十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?目前四十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)2.練習(xí)目前四十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)1.解:

令則原式目前四十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)2.解原式=前式令;后式配元目前四十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)3.2分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.問(wèn)題目前四十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1

求下列不定積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令解（再次使用分部積分法）降冪法目前四十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)注意：降冪法適合應(yīng)用于如下積分類(lèi)型為一n次多項(xiàng)式目前四十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2

求下列不定積分解令目前四十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)解升冪法注意：升冪法適合應(yīng)用于如下積分類(lèi)型為一n次多項(xiàng)式目前四十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3

求下列不定積分解循環(huán)法目前四十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)解目前五十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)EX

求下列不定積分目前五十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前五十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)注意：循環(huán)法適合應(yīng)用于如下積分類(lèi)型目前五十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例4

求下列不定積分解遞推法目前五十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前五十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得目前五十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗(yàn):“反對(duì)冪指三”,前u

后3.題目類(lèi)型:分部化簡(jiǎn);循環(huán)法;遞推法降冪法;升冪法;目前五十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)第3節(jié)兩種基本積分法(續(xù)）3.1(續(xù)）定積分換元積分法3.2（續(xù)）

定積分分部積分法不定積分換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法目前五十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)定理3.3

設(shè)函數(shù)作代換滿(mǎn)足:3)則1)3.1（續(xù)）定積分換元積分法目前五十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)證明目前六十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）(3)換元公式也可反過(guò)來(lái)使用,即或配元配元不換限目前六十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1

計(jì)算解換元要換限湊元不換限目前六十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2

計(jì)算解令則∴原式=且目前六十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3

計(jì)算解

令則∴原式=且目前六十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)證目前六十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前六十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)證（1）設(shè)目前六十七頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)（2）設(shè)目前六十八頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前六十九頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例6

若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的a有由此得，目前七十頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)3.2(續(xù))定積分的分部積分法定理

則證明目前七十一頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1

計(jì)算解原式=目前七十二頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2

證明

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)證目前七十三頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.目前七十四頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3

設(shè)求解目前七十五頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前七十六頁(yè)\總數(shù)八十頁(yè)\編于十一點(diǎn)1、計(jì)算定積分2、設(shè)求Ex.