.1集合的概念第1課時集合的含義學習目標核心素養(yǎng)1.通過實例了解集合的含義.(難點)2.掌握集合中元素的三個特性.(重點)3.體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號并會應用.(重點、易混點)1.通過集合概念的學習，逐步形成數(shù)學抽象素養(yǎng).2.借助集合中元素的互異性的應用，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1.元素與集合的相關(guān)概念(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示.(2)集合：一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.(3)集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的.(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性.思考：(1)某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個集合？提示：(1)某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合，因為“帥哥”沒有明確的標準.(2)某班身高高于175厘米的男生能構(gòu)成一個集合，因為標準確定.2.元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.3.常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR1.下列給出的對象中，能構(gòu)成集合的是()A.一切很大的數(shù)B.好心人C.漂亮的小女孩D.清華大學2019年入學的全體學生D[“很大”“好”“漂亮”等詞沒有嚴格的標準，故選項A、B、C中的元素均不能構(gòu)成集合，故選D.]2.用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4C[由集合中元素的互異性可知，該集合中共有“b”“o”“k”三個元素.]3.用“∈”或“?”填空：eq\f(1,2)________N；－3________Z；eq\r(2)________Q；0________N*；eq\r(5)________R.[答案]?∈??∈4.已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數(shù)a＝________.3[由題意可知a＋1＝4，即a＝3.]集合的基本概念【例1】考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是()①中國各地最美的鄉(xiāng)村；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的自然數(shù)；④2018年第23屆冬季奧運會金牌獲得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④B[①中“最美”標準不明確，不符合確定性，②③④中的元素標準明確，均可構(gòu)成集合，故選B.]判斷一組對象能否組成集合的標準判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.1.判斷下列說法是否正確，并說明理由.(1)大于3小于5的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合；(2)直角坐標平面內(nèi)第一象限的一些點組成一個集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解組成的集合有3個元素.[解](1)正確，(1)中的元素是確定的，互異的，可以構(gòu)成一個集合.(2)不正確，“一些點”標準不明確，不能構(gòu)成一個集合.(3)不正確，方程的解只有1和－2，集合中有2個元素.元素與集合的關(guān)系【例2】(1)下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()①π∈R；②eq\r(2)?Q；③0∈N*；④|－5|?N*.A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A含有三個元素2,4,6，且當a∈A，有6－a∈A，那么a為()A.2B.2或4C.4D.0(1)B(2)B[(1)①π是實數(shù)，所以π∈R正確；②eq\r(2)是無理數(shù)，所以eq\r(2)?Q正確；③0不是正整數(shù)，所以0∈N*錯誤；④|－5|＝5為正整數(shù)，所以|－5|?N*錯誤.故選B.(2)集合A含有三個元素2,4,6，且當a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，綜上所述，a＝2或4.故選B.]判斷元素與集合關(guān)系的2種方法1直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.2推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.2.集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________.0,1,2[∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素為0,1,2.]集合中元素的特性及應用[探究問題]1.若集合A中含有兩個元素a，b，則a，b滿足什么關(guān)系？提示：a≠b.2.若1∈A，則元素1與集合A中的元素a，b存在怎樣的關(guān)系？提示：a＝1或b＝1.【例3】已知集合A含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數(shù)a的值.[思路點撥]eq\x(A中含有元素：1和a2)eq\o(→,\s\up15(a∈A))eq\x(a＝1或a2＝a)eq\o(→,\s\up15(求a的值))eq\x(檢驗集合中元素的互異性)[解]由題意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)，又當a＝0時，A中含有元素1和0，滿足集合中元素的互異性，符合題意.綜上可知，實數(shù)a的值為0.1.(變條件)本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的取值范圍.[解]由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1.2.(變條件)已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，求實數(shù)a的值.[解]若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.當a＝1時，集合A有重復元素，所以a≠1；當a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合集合中元素的互異性，所以a＝－1.1.解決含有字母的問題，常用到分類討論的思想，在進行分類討論時，務必明確分類標準.2.本題在解方程求得a的值后，常因忘記驗證集合中元素的互異性，而造成過程性失分.提醒：解答此類問題易忽視互異性而產(chǎn)生增根的情形.1.判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合的依據(jù)是元素的確定性，若考查的對象是確定的，就能組成集合，否則不能組成集合.2.集合中的元素具有三個特性，求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)值(范圍)時，需借助集合中元素的互異性來檢驗所求參數(shù)是否符合要求.3.解答含有字母的元素與集合之間關(guān)系的問題時，要有分類討論的意識.1.思考辨析(1)接近于0的數(shù)可以組成集合.()(2)分別由元素0,1,2和2,0,1組成的兩個集合是相等的.()(3)一個集合中可以找到兩個相同的元素.()[答案](1)×(2)√(3)×2.已知集合A由x<1的數(shù)構(gòu)成，則有()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.－1?AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3.下列各組對象不能構(gòu)成一個集合的是()A.不超過20的非負實數(shù)B.方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解C.eq\r(3)的近似值的全體D.某校身高超過170厘米的同學的全體C[A項，不超過20的非負實數(shù)，元素具有確定性、互異性、無序性，能構(gòu)成一個集合.B項，方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解，元素具有確定性、互異性、無序性，能構(gòu)成一個集合.C項，eq\r(3)的近似值的全體，元素不具有確定性，不能構(gòu)成一個集合.D項，某校身高超過170厘米的同學，同學身高具有確定性、互異性、無序性，能構(gòu)成一個集合.故選C.]4.已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，試求實數(shù)a的值.[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，則a＝0，此時集合A中含有兩個元素－3，－1，符合題意；若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合A中含有兩個元素－4，－3，符合題意.綜上所述，a＝0或a＝－1.第2課時集合的表示學習目標核心素養(yǎng)1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語言的意義和作用.(重點)2.會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合.(重點、難點)1.通過學習描述法表示集合的方法，培養(yǎng)數(shù)學抽象的素養(yǎng).2.借助描述法轉(zhuǎn)化為列舉法時的運算，培養(yǎng)數(shù)學運算的素養(yǎng).1.列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.2.描述法一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法.思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？提示：(1)元素的共同特征為x∈R，且x<5.(2){x|x<5，x∈R}.1.方程x2＝4的解集用列舉法表示為()A.{(－2,2)}B.{－2,2}C.{－2}D.{2}B[由x2＝4得x＝±2，故用列舉法可表示為{－2,2}.]2.用描述法表示函數(shù)y＝3x＋1圖象上的所有點的是()A.{x|y＝3x＋1}B.{y|y＝3x＋1}C.{(x，y)|y＝3x＋1}D.{y＝3x＋1}C[該集合是點集，故可表示為{(x，y)|y＝3x＋1}，選C.]3.用描述法表示不等式4x－5<7的解集為________.{x|x<3}[用描述法可表示為{x|x<3}.]用列舉法表示集合【例1】用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的實數(shù)根組成的集合C；(4)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.[解](1)不大于10的非負偶數(shù)有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}.(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}.(3)方程2x2－x－3＝0的實數(shù)根為－1，eq\f(3,2)，所以C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝－2x＋6，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點為(1,4)，所以D＝{(1,4)}.用列舉法表示集合的3個步驟1求出集合的元素；2把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；3用花括號括起來.提醒：二元方程組的解集，函數(shù)圖象上的點構(gòu)成的集合都是點的集合，一定要寫成實數(shù)對的形式，元素與元素之間用“，”隔開.如{2，3，5，－1}.1.用列舉法表示下列集合：(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x－y＝1))的解組成的集合B；(4)15的正約數(shù)組成的集合N.[解](1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}.(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解為x＝2或x＝3，∴M＝{2,3}.(3)解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x－y＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))∴B＝{(3,2)}.(4)15的正約數(shù)有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}.用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的實數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標系中第二象限內(nèi)的點組成的集合；(3)被3除余數(shù)等于1的正整數(shù)組成的集合.[解](1){x∈R|1<x<10}.(2)集合的代表元素是點，用描述法可表示為{(x，y)|x<0，且y>0}.(3){x|x＝3n＋1，n∈N}.描述法表示集合的2個步驟2.用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；(2)不等式2x－3<5的解組成的集合；(3)如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合.[解](1)函數(shù)y＝－2x2＋x的圖象上的所有點組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}.(2)不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}.(3)圖中陰影部分的點(含邊界)的集合可表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(3,2)，0≤y≤1)))).(4)3和4的最小公倍數(shù)是12，因此3和4的所有正的公倍數(shù)構(gòu)成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}.集合表示方法的綜合應用[探究問題]下面三個集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}.(1)它們各自的含義是什么？(2)它們是不是相同的集合？提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，滿足條件y＝x2＋1中的x∈R，所以實質(zhì)上{x|y＝x2＋1}＝R；集合②的代表元素是y，滿足條件y＝x2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以實質(zhì)上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以認為是滿足y＝x2＋1的數(shù)對(x，y)的集合，也可以認為是坐標平面內(nèi)的點(x，y)構(gòu)成的集合，且這些點的坐標滿足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是拋物線y＝x2＋1上的點}.(2)由(1)中三個集合各自的含義知，它們是不同的集合.【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數(shù)k的值組成的集合.[思路點撥]eq\x(A中只有一個元素)eq\o(→,\s\up15(等價轉(zhuǎn)化))eq\x(方程kx2－8x＋16＝0只有一解)eq\o(→,\s\up15(分類討論))eq\x(求實數(shù)k的值)[解](1)當k＝0時，方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；(2)當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個元素，則方程kx2－8x＋16＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意.綜上所述，k＝0或k＝1，故實數(shù)k的值組成的集合為{0,1}.1.(變條件)本例若將條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，其他條件不變，求實數(shù)k的值組成的集合.[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0有兩個不等實根，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝64－64k>0，))即k<1且k≠0.所以實數(shù)k組成的集合為{k|k<1且k≠0}.2.(變條件)本例若將條件“只有一個元素”改為“至少有一個元素”，其他條件不變，求實數(shù)k的取值集合.[解]由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數(shù)根.①當k＝0時，由－8x＋16＝0得x＝2，符合題意；②當k≠0時，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數(shù)根，則Δ＝64－64k≥0，即k≤1.綜合①②可知，實數(shù)k的取值集合為{k|k≤1}.1.若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3中集合A中