關(guān)于主成分分析完整版第1頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析的基本思想主成分的計算主成分分析的應(yīng)用第2頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析的基本思想

主成分分析就是把原有的多個指標(biāo)轉(zhuǎn)化成少數(shù)幾個代表性較好的綜合指標(biāo)，這少數(shù)幾個指標(biāo)能夠反映原來指標(biāo)大部分的信息（85%以上），并且各個指標(biāo)之間保持獨立，避免出現(xiàn)重疊信息。主成分分析主要起著降維和簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的作用。§1基本思想第3頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

主成分分析是把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡化分析的方法。

在社會經(jīng)濟(jì)的研究中，為了全面系統(tǒng)的分析和研究問題，必須考慮許多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，這些指標(biāo)能從不同的側(cè)面反映我們所研究的對象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，具有一定的相關(guān)性。

主成分分析試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對這種多變量的截面數(shù)據(jù)表進(jìn)行最佳綜合簡化，也就是說，對高維變量空間進(jìn)行降維處理。

很顯然，識辨系統(tǒng)在一個低維空間要比在一個高維空間容易得多。第4頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月基于相關(guān)系數(shù)矩陣/協(xié)方差矩陣做主成分分析？選擇幾個主成分？如何解釋主成分所包含的實際意義？

在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對高維的變量空間降維，即研究指標(biāo)體系的少數(shù)幾個線性組合，并且這幾個線性組合所構(gòu)成的綜合指標(biāo)將盡可能多地保留原來指標(biāo)變異方面的信息。這些綜合指標(biāo)就稱為主成分。要討論的問題是：第5頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月§2數(shù)學(xué)模型與幾何解釋

假設(shè)我們所討論的實際問題中，有p個指標(biāo)，我們把這p個指標(biāo)看作p個隨機(jī)變量，記為X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把這p個指標(biāo)的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻搈個新的指標(biāo)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m(m<p），按照保留主要信息量的原則充分反映原指標(biāo)的信息，并且相互獨立。其中第6頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月

這種由討論多個指標(biāo)降為少數(shù)幾個綜合指標(biāo)的過程在數(shù)學(xué)上就叫做降維。主成分分析通常的做法是，尋求原指標(biāo)的線性組合Fi。滿足如下的條件：主成分之間相互獨立，即無重疊的信息。即主成分的方差依次遞減，重要性依次遞減，即每個主成分的系數(shù)平方和為1。即第7頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月?????????????????????????????????????主成分分析的幾何解釋旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使得n個樣本點在F1軸方向上的離散程度最大，即F1的方差最大，變量F1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某經(jīng)濟(jì)問題時，即使不考慮變量F2也損失不多的信息。F1與F2除起了濃縮作用外，還具有不相關(guān)性。F1稱為第一主成分，F(xiàn)2稱為第二主成分。第8頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分的計算先討論二維情形求第一主成分F1和F2。

我們已經(jīng)把主成分F1和F2的坐標(biāo)原點放在平均值所在處，從而使得F1和F2成為中心化的變量，即F1和F2的樣本均值都為零。第9頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月因此F1可以表示為關(guān)鍵是，尋找合適的單位向量，使F1的方差最大。問題的答案是：X的協(xié)方差矩陣S的最大特征根所對應(yīng)的單位特征向量即為。并且就是F1的方差。第10頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，F(xiàn)2可以表示為尋找合適的單位向量，使F2與F1獨立，且使F2的方差（除F1之外）最大。問題的答案是：X的協(xié)方差矩陣S的第二大特征根所對應(yīng)的單位特征向量即為。并且就是F2的方差。第11頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月其中，aij稱為因子載荷量因子載荷量：主成分與變量間的相關(guān)系數(shù)，即：因子載荷量的大小和它前面的正負(fù)號直接反映了主成分與相應(yīng)變量之間關(guān)系的密切程度和方向。從而可以說明各主成分的意義第12頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月求解主成分的步驟：1.求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣S;2.求S的特征根求解特征方程，其中I是單位矩陣，解得2個特征根3.求特征根所對應(yīng)的單位特征向量4.寫出主成分的表達(dá)式第13頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月身高x1(cm)胸圍x2(cm)體重x3(kg)149.5162.5162.7162.2156.5156.1172.0173.2159.5157.769.577.078.587.574.574.576.581.574.579.038.555.550.865.549.045.551.059.543.553.5例1下表是10位學(xué)生的身高、胸圍、體重的數(shù)據(jù)。對此進(jìn)行主成分分析。第14頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1.求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣

2.求解協(xié)方差矩陣的特征方程

3.解得三個特征值

和對應(yīng)的單位特征向量：第15頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4.由此我們可以寫出三個主成分的表達(dá)式：

5.主成分的含義F1表示學(xué)生身材大小。F2反映學(xué)生的體形特征第16頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月三個主成分的方差貢獻(xiàn)率分別為：前兩個主成分的累積方差貢獻(xiàn)率為：

第17頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月在一般情況下，設(shè)有n個樣品，每個樣品觀測p個指標(biāo)，將原始數(shù)據(jù)排成如下矩陣：

多指標(biāo)求解主成分的步驟：第18頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月求樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣S;2.求解特征方程=0,其中I是單位矩陣,解得p個特征根3.求所對應(yīng)的單位特征向量

解得4.寫出主成分的表達(dá)式

第19頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)累積貢獻(xiàn)率的大小取前面m個(m<p)主成分選取原則：

且主成分個數(shù)的選取原則第20頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)的協(xié)方差矩陣為作主成分分析。解：如果從出發(fā)作主成分分析，易求得其特征值和相應(yīng)的正交單位化特征向量為的兩個主成分分別為第一主成分的貢獻(xiàn)率為第21頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月R型分析為消除量綱影響，在計算之前先將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化變量的S=R，所以用標(biāo)準(zhǔn)化變量進(jìn)行主成分分析相當(dāng)于從原變量的相關(guān)矩陣R

出發(fā)進(jìn)行主成分分析。統(tǒng)計學(xué)上稱這種分析法為R型分析，由協(xié)方差矩陣出發(fā)的主成分分析為S型分析。

S型分析和R型分析的結(jié)果是不同的。在一般情況下，若各變量的量綱不同，通常采用R型分析。R型分析的概念第22頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月這里我們需要進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)的是，從相關(guān)陣求得的主成分與協(xié)差陣求得的主成分一般情況是不相同的。實際表明，這種差異有時很大。我們認(rèn)為，如果各指標(biāo)之間的數(shù)量級相差懸殊，特別是各指標(biāo)有不同的物理量綱的話，較為合理的做法是使用R代替∑。對于研究經(jīng)濟(jì)問題所涉及的變量單位大都不統(tǒng)一，采用R代替∑后，可以看作是用標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)做分析，這樣使得主成分有現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)意義，不僅便于剖析實際問題，又可以避免突出數(shù)值大的變量。第23頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析的步驟

1.將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；2.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變量求出協(xié)方差矩陣（標(biāo)準(zhǔn)化后協(xié)方差矩陣與相關(guān)矩陣完全一樣）；3.求出相關(guān)矩陣的特征值，計算累計貢獻(xiàn)率，及其對應(yīng)的特征向量；4.確定主成分，進(jìn)一步分析。對于X=(X1,X2,…,Xp),設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)化變量為第24頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益分析某市對下屬10個企業(yè)作經(jīng)濟(jì)效益分析，根據(jù)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計原理，用取得的生產(chǎn)成果與各項成本的消耗作對比，來衡量每個企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，也就是用下述五個指標(biāo)來對每個企業(yè)進(jìn)行分析。

Z1：固定資產(chǎn)的產(chǎn)值率Z2：凈產(chǎn)值勞動生產(chǎn)率

Z3：萬元產(chǎn)值的流動資金占用率

Z4：萬元產(chǎn)值利潤率

Z5：萬元資金的利潤率第25頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月1、數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化2、

求相關(guān)矩陣R3、

計算R的特征值及累積貢獻(xiàn)率，并計算相應(yīng)的特征向量經(jīng)過計算取2個主成分，信息的可靠程度超過85%第26頁，課件共28頁，創(chuàng)作于2023年2月4、分析意義第j個企業(yè)的第一主成分值為各企業(yè)的第一主成分值如下表0.77-1.8-1.160.105-0.84-1.2053.830.960.33-0.99311.第一主成分F1的意義在F1的表達(dá)式