.z.集合的基本關(guān)系及運算編稿：丁會敏審稿：王靜偉【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．在具體情境中，了解空集和全集的含義．2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．【要點梳理】要點一、集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當(dāng)集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：要點詮釋：（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）當(dāng)不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．真子集：若集合，存在元素*B且，則稱集合A是集合B的真子集(propersubset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作．要點二、集合的運算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={*|*A，或*B}Venn圖表示：要點詮釋：（1）“*A，或*B”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={*|*A，且*B}；交集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，則就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(plementaryset)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）理解補集概念時，應(yīng)注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同．（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)*圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當(dāng)問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集．（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中“U”也必須換成相應(yīng)的集合（即）．4.集合基本運算的一些結(jié)論若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若*(A∩B)，則*A且*B若*(A∪B)，則*A，或*B求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一、集合間的關(guān)系例1.集合，集合，則間的關(guān)系是（）.A.B.C.=D.以上都不對【答案】B【解析】先用列舉法表示集合、，再判斷它們之間的關(guān)系.由題意可知，集合是非負(fù)偶數(shù)集，即.集合中的元素.而（為正奇數(shù)時）表示0或正偶數(shù)，但不是表示所有的正偶數(shù)，即.由依次得0,2,6,12，，即.綜上知，，應(yīng)選.【總結(jié)升華】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）.舉一反三：【變式1】若集合，則（）.A.B.C.=D.【答案】C例2.寫出集合{a，b，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a}，，{c}，含有2個元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3個元素的子集為{a，b，c}，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當(dāng)元素個數(shù)相同時，應(yīng)依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有個.【答案】7個【變式2】同時滿足：①；②，則的非空集合有（）A.16個B.15個C.7個D.6個【答案】C【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.例3．集合A={*|y=*2+1}，B={y|y=*2+1}，C={(*,y)|y=*2+1}，D={y=*2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四個集合都不相同【解析】集合A={*|y=*2+1}的代表元素為*，故集合A表示的是函數(shù)y=*2+1中自變量*的取值*圍，即函數(shù)的定義域A=；集合B={y|y=*2+1}的代表元素為y，故集合B表示的是函數(shù)y=*2+1中函數(shù)值y的取值*圍，即函數(shù)的值域B=；集合C={(*,y)|y=*2+1}的代表元素為點（*，y），故集合C表示的是拋物線y=*2+1上的所有點組成的集合；集合D={y=*2+1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=*2+1．【總結(jié)升華】認(rèn)清集合的屬性，是突破此類題的關(guān)鍵.首先應(yīng)當(dāng)弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對于用描述法表示的集合一定要認(rèn)準(zhǔn)代表元素，準(zhǔn)確理解對代表元素的限制條件．舉一反三：【變式1】設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是點集，因此只能是點集，而選項A表示二元數(shù)集合，選項B表示二元等式集合，選項C表示區(qū)間（無窮數(shù)集合）或單獨的一個點的坐標(biāo)（不是集合），因此可以判斷選D．【變式2】設(shè)集合，，則與的關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】集合M表示函數(shù)的定義域，有；集合N表示函數(shù)的值域，有，故選A.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例2】【變式3】設(shè)M={*|*=a2+1，aN+}，N={*|*=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=【答案】B【解析】當(dāng)aN+時，元素*=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，而當(dāng)bN+時，元素*=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素*=1不在M中，即MN，故選B.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例3】例4．已知若M=N，則=．A．－200B．200C．－100D．0【思路點撥】解答本題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，本題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|*|，y}可知若*=0，則*y=0，即*與*y是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以*≠0.若*·y=0，則*=0或y=0，其中*=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故*y≠0若，則*=y，M，N可寫為M={*，*2，0}，N={0，|*|，*}由M=N可知必有*2=|*|，即|*|2=|*|∴|*|=0或|*|=1若|*|=0即*=0，以上討論知不成立若|*|=1即*=±1當(dāng)*=1時，M中元素|*|與*相同，破壞了M中元素互異性，故*≠1當(dāng)*=-1時，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合題意，綜上可知，*=y=-1=-2+2-2+2+…+2=0【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解決*些集合問題的切入點．舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：∴當(dāng)b=1時，a=-1，當(dāng)時，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴綜上：a=-1，b=1，∴b-a=2.類型二、集合的運算例5.設(shè)集合，，，求.【答案】,【解析】先將集合、、、轉(zhuǎn)化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構(gòu)成，再求其交集即可.集合表示3的倍數(shù)所組成的集合；集合表示除以3余1的整數(shù)所組成的集合；集合表示除以3余2的整數(shù)所組成的集合；集合表示除以6余1的整數(shù)所組成的集合；,.【總結(jié)升華】求兩個集合的交集或并集，關(guān)鍵在于弄清兩個集合由哪些元素所構(gòu)成的，因而有時需要對集合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或具體化、形象化.如本例中轉(zhuǎn)化為用自然語言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構(gòu)成.類似地，若一個集合元素的特征由不等式給出時，利用數(shù)軸就能使問題直觀形象起來.舉一反三：【變式1】已知集合M={y|y=*2-4*+3，*R}，N={y|y=-*2-2*+8，*R}，則M∩N等于()A.B.RC.{-1，9}D.[-1，9]【答案】D【解析】集合M、N均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值*圍，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，選D.例6.設(shè)集合M={3，a}，N={*|*2-2*<0，*Z}，M∩N={1}，則M∪N為()A.{1，3，a}B.{1，2，3，a}C.{1，2，3}D.{1，3}【思路點撥】先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題．【答案】D【解析】由N={*|*2-2*<0，*Z}可得：N={*|0<*<2，*Z}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故選D.舉一反三：【變式1】（1）已知：M={*|*≥2}，P={*|*2-*-2=0}，求M∪P和M∩P；（2）已知：A={y|y=3*2}，B={y|y=-*2+4}，求：A∩B，A∪B；（3）已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.【答案】（1）{*|*≥2或*=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={*|*≥2或*=-1}，M∩P={2}.（2）∵A={y|y≥0}，B={y|y≤4}，A∩B={y|0≤y≤4}，A∪B=R.（3）∵A∩B={-3}，-3B，則有：①a-3=-3a=0，A={-3，0，1}，B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，與已知不符，∴a≠0；②2a-1=-3a=-1，∴A={-3，1，0}，B={-4，2，-3}，符合題設(shè)條件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.【總結(jié)升華】此例題既練習(xí)集合的運算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯點為求并集時，是否意識到要補上孤立點-1；而（2）中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；（3）中根據(jù)集合元素的互異性，需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)求出a的一個值時，又要檢驗是否符合題設(shè)條件.【高清課堂：集合的運算377474例5】【變式2】設(shè)集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當(dāng)a=3時，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝當(dāng)a=-1時，A={2，3，6}，B={2，2，-9}這既不滿足條件A∩B={2，3}，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應(yīng)舍去.綜上A∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集，求CuA.【思路點撥】CuA隱含了，對于，注意不要忘記的情形.【答案】當(dāng)時，CuA=；當(dāng)時，CuA=；當(dāng)時，CuA=.【解析】當(dāng)時，方程無實數(shù)解.此時.CuA=當(dāng)時，二次方程的兩個根，必須屬于.因為，所以只可能有下述情形：當(dāng)時，，此時CuA=；當(dāng)時，，此時CuA=.綜上所述，當(dāng)時，CuA=；當(dāng)時，CuA=；當(dāng)時，CuA=.【總結(jié)升華】求集合的補集，只需在全集中剔除集合的元素后組成一個集合即可.由于本題中集合的元素不確定，因此必須分類討論才行.舉一反三：【變式1】設(shè)全集U={*N+|*≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在A∩B中.由集合的圖示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.類型三、集合運算綜合應(yīng)用例8．已知全集A={*|-2≤*≤4}，B={*|*>a}.（1）若A∩B≠，**數(shù)a的取值*圍；（2）若A∩B≠A，**數(shù)a的取值*圍；（3）若A∩B≠且A∩B≠A，**數(shù)a的取值*圍．【思路點撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點.【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．【解析】(1)∵A={*|-2≤*≤4}，B={*|*>a}，又A∩B≠，如圖，a<4；(2)畫數(shù)軸同理可得：a≥-2；(3)畫數(shù)軸同理可得：如圖，-2≤a<4.【總結(jié)升華】此問題從題面上看是集合的運算，但其本質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題.思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題.舉一反三：【變式1】已知集合P=｛*︱*2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值*圍是（） A．(-∞,-1] B．[1,+∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）【答案】C【解析】｛︱｝又，∴，∴故選C．例9.設(shè)集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路點撥】明確、的含義，根據(jù)問題的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式和，是解決本題的關(guān)鍵.同時，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.【答案】（1）或；（1）2．【解析】首先化簡集合，得.（1）由，則有，可知集合為，或為、，或為.①若時，，解得.②若,代入得.當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，也符合題意.③若，代入得，解得或.當(dāng)時，已討論，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意.由①②③，得或.（2）.又，而至多只有兩個根，因此應(yīng)有，由（1）知.【總結(jié)升華】兩個等價轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應(yīng)用.另外，在解決有條件的集合問題時，不要忽視的情況.舉一反三：【變式1】已知集合，若,**數(shù)的取值*圍.【答案】或【解析】,.①當(dāng)時，此時方程無解，由，解得或.②當(dāng)時，此時方程有且僅有一個實數(shù)解-2，，且，解得.綜上，實數(shù)的取值*圍是或.【變式2】設(shè)全集，集合，若CuA，**數(shù)的取值*圍.【答案】【解析】CuA=，.CuA，，即.實數(shù)的取值*圍是.【鞏固練習(xí)】1．設(shè)，，，則（）A．B．C．D．2．已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（Venn）圖是（）3．若集合，，且，則的值為()A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或04．已知集合滿足,則下列各式中一定成立的是（）A．ABB．BAC．D．5．若全集，則集合的真子集共有()A．3個B．5個C．7個D．8個6．設(shè)集合，，則()A．B．C．D．