專題02一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法）（3個知識點7種題型2個易錯點中考4種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：直接配平方法（重點）知識點2：配方法（重點）知識點3：配方法的應(yīng)用（難點）【方法二】實例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程題型2：用配方法解一元二次方程題型3：用配方法求字母的值題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲殿}型5：直接開平方法在實際生活中的應(yīng)用題型6：用配方法判斷三角形的形狀題型7：利用換元法解方程【方法三】差異對比法易錯點1混淆方程配方與代數(shù)式配方易錯點2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：換元法解一元二次方程考法4：配方法的應(yīng)用【方法五】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：直接配平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．例1.（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根據(jù)直接開平方解方程即可．【解答】解：直接開平方得：x＝±2，∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，特別注意：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．知識點2：配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．例2．用配方法解一元二次方程.解：移常數(shù)項兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式轉(zhuǎn)化為的形式解得求解所以原方程的根是．例3.如何用配方法解方程解：移常數(shù)項方程兩邊同除以二次項系數(shù)兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開平方解得求解所以原方程的根是.知識點3：配方法的應(yīng)用1．用于比較大小：在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．【方法二】實例探索法題型1：用直接開平方法解一元二次方程例4.解方程(x-3)2=49．【答案與解析】把x-3看作一個整體，直接開平方，得x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．

【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個方程如果可以變形為這個形式，就可用直接開平方法求出這個方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)．例5．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先將方程整理為x2＝，再利用平方根的意義直接開方求解即可；（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．例6.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：即方程兩根為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如方程兩根即為．例7.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：，即方程兩根為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如方程兩根即為．例8.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即得，直接開平方法解方程，得：，得或，即方程兩根為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將當(dāng)作一個整體，可得或．例9.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】直接開平方法解方程，即得，得或，即得方程兩根為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個整體，可得或．例10.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得，得或，解得方程兩根分為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個整體，可得或．例11.解關(guān)于的方程：．【答案】，．【解析】整理方程，即為，直接開平方法解方程，即得，得：或，解得方程兩根分為，．【總結(jié)】直接開平方法解形如的方程，將兩邊表示底數(shù)的式子當(dāng)作一個整體，可得．題型2：用配方法解一元二次方程例12.用配方法解方程：．【答案與解析】解：∵，∴∴，∴∴．【總結(jié)升華】原方程的二次項系數(shù)不為1，必須先化成1，才能配方．配方時，方程左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成的形式，然后用直接開平方法求解即可．例13.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即，所以原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例14.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即，所以，所以或者，所以原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例15.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即，所以，所以原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例16.用配方法解方程：．【答案】，．【解析】由，得，即，配方，得：，即，解得：，所以原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項系數(shù)化為1，然后再配方．例17.用配方法解方程：．【答案】．【解析】由，得，即，所以，所以原方程的解為：．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先將二次項系數(shù)化為1，然后再配方．例18.用配方法解關(guān)于x的方程：．【答案】．【解析】由，得，即，解得：，所以原方程的解為：．【總結(jié)】本題主要考查用配方法求解一元二次方程的根．題型3：用配方法求字母的值例19.若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則．【答案】5．【解析】因為，所以，所以．【總結(jié)】用配方法把代數(shù)式變成需要的形式，然后求出m和k的值．例20.已知，求的值．【思路點撥】采用配方法求出的值，代入計算即可得到答案．【答案與解析】解：由題意可得：∴，∴將代入得：【總結(jié)升華】本題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握配方法的步驟和幾個非負(fù)數(shù)的和為0，每個非負(fù)數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．題型4：用用配方法求代數(shù)式的最大（最?。┲道?1.用配方法說明：代數(shù)式x2+8x+17的值總大于0.【答案與解析】x2+8x+17＝x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故無論x取何實數(shù)，代數(shù)式x2+8x+17的值總大于0.【總結(jié)升華】利用配方法將代數(shù)式配成完全平方式后，再分析代數(shù)式值得符號.例22求代數(shù)式x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴當(dāng)（x+4）2＝0時，代數(shù)式x2+8x+17的最小值是1.題型5：直接開平方法在實際生活中的應(yīng)用例23.某工廠今年月份產(chǎn)品數(shù)是萬件，要求月份達(dá)到萬件，求這個工廠月份和月份的月平均增長率．【答案】20％．【解析】設(shè)2月份和3月份的月平均增長率是，則根據(jù)題意可得：，解：（負(fù)值舍去）答：這兩個月平均每月增長的百分率是20％．【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程解決增長率的問題．題型6：用配方法判斷三角形的形狀例24.已知△ABC的一邊長為4，另外兩邊長是關(guān)于x的方程的兩根，當(dāng)k為何值時，△ABC是等腰三角形？【答案】．【解析】由，得，所以或者．當(dāng)時，和，滿足三角形三邊關(guān)系，當(dāng)時，和，不滿足三角形三邊關(guān)系．所以時，△ABC是等腰三角形【總結(jié)】先配方然后用分類討論的方法解決問題．題型7：利用換元法解方程例25.用配方法解方程：（要求用整體法的思想求解）．【答案】．【解析】由，得，即，所以原方程的解為：．【總結(jié)】本題考查整體思想的運(yùn)用，把看成一個整體進(jìn)行配方．【方法三】差異對比法易錯點1混淆方程配方與代數(shù)式配方若把代數(shù)式化為的形式，其中m、k為常數(shù)，則．【答案】5．【解析】因為，所以，所以．【總結(jié)】用配方法把代數(shù)式變成需要的形式，然后求出m和k的值．易錯點2配方時，沒有進(jìn)行恒等式變形而導(dǎo)致錯誤如何用配方法解方程解：移常數(shù)項方程兩邊同除以二次項系數(shù)兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方轉(zhuǎn)化為的形式開平方解得求解所以原方程的根是.【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．解一元二次方程-直接開平方法1．（2020?揚(yáng)州）方程（x+1）2＝9的根是x1＝2，x2＝﹣4．【分析】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計算即可．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案為：x1＝2，x2＝﹣4．【點評】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移到等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解，本題直接開方求解即可．考法2：解一元二次方程-配方法2．（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，變形后的結(jié)果正確的是（）A．（x+4）2＝﹣7B．（x+4）2＝﹣9C．（x+4）2＝7D．（x+4）2＝25【分析】方程移項后，利用完全平方公式配方即可得到結(jié)果．【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故選：C．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．考法3：換元法解一元二次方程3．（2002?南京）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果設(shè)x2﹣x＝y(tǒng)，那么原方程變?yōu)閥2﹣5y+6＝0．【分析】把原方程中的（x2﹣x）代換成y，即可得到關(guān)于y的方程．【解答】解：根據(jù)題意x2﹣x＝y(tǒng)，把原方程中的x2﹣x換成y，所以原方程變化為：y2﹣5y+6＝0【點評】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進(jìn)輔助元素，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過程中，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代表它，實行等量替換．這樣做，常能使問題化繁為簡，化難為易，形象直觀．考法4：配方法的應(yīng)用4．（2018?泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，則實數(shù)a的值為3．【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于x、y的方程組，然后求得x、y的值，結(jié)合已知條件x≤y來求a的取值．【解答】解：依題意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【點評】考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【方法五】成功評定法一．解一元二次方程-直接開平方法（共4小題）1．（2022秋?江都區(qū)校級期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根據(jù)直接開平方解方程即可．【解答】解：直接開平方得：x＝±2，∴方程的解為：x1＝2，x2＝﹣2，故選：C．【點評】本題考查了用直接開平方法解一元二次方程，特別注意：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．2．（2023春?東莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．【分析】直接利用開平方法即可求出答案．【解答】解：x﹣1＝±8，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得：x1＝9或x2＝﹣7．【點評】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點選擇不同的解法是解題關(guān)鍵．3．（2022秋?江都區(qū)期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先將方程整理為x2＝，再利用平方根的意義直接開方求解即可；（2）首先將方程整理為（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意義直接開方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．4．（2022?鹽城開學(xué)）解方程（x﹣1）2＝225．【分析】利用直接開平方法求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝225，∴x﹣1＝±15，解得x1＝16，x2＝﹣14．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．二．解一元二次方程-配方法（共8小題）5．（2022秋?儀征市期中）某數(shù)學(xué)興趣小組四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負(fù)責(zé)完成一個步驟．如圖所示，老師看后，發(fā)現(xiàn)有一位同學(xué)所負(fù)責(zé)的步驟是錯誤的，則這位同學(xué)是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計算即可解答；【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，2x2+4x＝1，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，所以，這位同學(xué)是乙，故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法：當(dāng)二次項系數(shù)化為1時，常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?花都區(qū)期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0時，此方程可變形為（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5【分析】方程移項，配方變形后得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣1＝0，移項得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，變形得：（x+2）2＝5．故選：C．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?邳州市期中）將方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是（x﹣3）2＝9．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：x2﹣6x＝0，x2﹣6x+9＝9，（x﹣3）2＝9，故答案為：（x﹣3）2＝9．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?高郵市期中）若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0時，則可以將該方程變形為（x﹣2）2＝7．【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，故答案為：（x﹣2）2＝7．【點評】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．9．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則a+b的值是17．【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，則x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，則a+b＝﹣4+21＝17，故答案為：17．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．10．（2022春?東臺市期中）將一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b為常數(shù)）的形式，則a+b的值為7．【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，繼而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x+5＝0，∴x2﹣8x＝﹣5，則x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，則a+b＝﹣4+11＝7，故答案為：7．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．11．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）對方程x2x＝0進(jìn)行配方，得+m＝+m，其中m＝．【分析】方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，依此可求m．【解答】解：由題意得：m＝（÷2）2＝．故答案為：．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．12．（2022秋?秦淮區(qū)期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．【解答】解：由原方程移項，得x2﹣6x＝﹣4，等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，得x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x＝±+3，∴x1＝+3，x2＝﹣+3．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．三．配方法的應(yīng)用（共9小題）13．（2023春?梁溪區(qū)校級期中）在求解代數(shù)式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）時，老師給出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵無論a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代數(shù)式2（a﹣3）2+4≥4，即當(dāng)a＝3時，代數(shù)式2a2﹣12a+22有最小值為4．仿照上述思路，則代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8的最值為（）A．最大值﹣5B．最小值﹣8C．最大值﹣11D．最小值﹣5【分析】根據(jù)題意把代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非負(fù)性即可得出最值．【解答】解：由題意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵無論a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代數(shù)式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即當(dāng)a＝1時，代數(shù)式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故選：A．【點評】本題主要是考查了配方法的應(yīng)用以及偶次方的非負(fù)性，解題關(guān)鍵是把代數(shù)式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．14．（2023春?工業(yè)園區(qū)校級期中）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為5＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．【解決問題】（1）數(shù)53是“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，則x+y＝1；（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說明理由；【拓展結(jié)論】（4）已知實數(shù)x、y滿足，求x﹣2y的最大值．【分析】（1）把59分為兩個整數(shù)的平方即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出x+y的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可；拓展結(jié)論：（4）由已知等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：53＝22+72．故答案為：是．（2）已知等式變形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，則：x+y＝2﹣1＝1．故答案為：1．（3）當(dāng)k＝36時，S為“完美數(shù)”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美數(shù)，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．（4）∵﹣x2+x+y﹣3＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣3，即﹣2y＝﹣2x2+7x﹣6，∴x﹣2y＝x﹣2x2+7x﹣6＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x2﹣4x+4）+2＝﹣2（x﹣2）2+2，當(dāng)x＝2時，x﹣2y最大，最大值為2．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（2023春?吳江區(qū)期中）我們可以將一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多項式變形為a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我們把這樣的變形叫做多項式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知關(guān)于a，b的代數(shù)式滿足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，請你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式變形后，利用完全平方公式化簡，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出即可．【解答】解：已知等式變形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，則a+b＝﹣1+2＝1．【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16．（2023春?吳中區(qū)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求邊c的值．【分析】（1）根據(jù)x2+4xy+5y2+6y+9＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y計算即可；（2）根據(jù)a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，應(yīng)用因式分解的方法，判斷出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b的值，然后根據(jù)三角形的三條邊的關(guān)系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，∴x+2y＝0，y+3＝0，∴x＝6，y＝﹣3，∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1，∵2﹣1＜c＜2+1，∴1＜c＜3，∵c為正整數(shù)，∴c＝2．【點評】本題考查配方法的應(yīng)用，以及三角形三條邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確配方法、會用配方法解答問題．17．（2023春?南京期中）閱讀下列材料：若x2﹣9＝0，則（x+3）（x﹣3）＝0，得x＝3或x＝﹣3；若x3+2x2y+xy2＝0，則x（x+y）2＝0，得x＝0或x＝﹣y；若2x2﹣2xy+y2﹣2x+1＝0，則（x﹣y）2+（x﹣1）2＝0，得x＝y(tǒng)＝1；……下列問題：（1）（a+b）2﹣4ab＝0，求證a＝b；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，求證a＝b＝c．【分析】（1）運(yùn)用完全平方公式將（a+b）2﹣4ab＝0變形為（a﹣b）2＝0，即可證明a＝b；（2）先將已知等式利用配方法變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明．【解答】證明：（1）∵（a+b）2﹣4ab＝0，∴a2+2ab+b2﹣4ab＝0，∴a2﹣2ab+b2＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b；（2）∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c．【點評】此題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式．解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題．18．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因為m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．問題：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三邊長，且a，b滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周長．【分析】（1）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，然后利用偶次方的非負(fù)性，進(jìn)行計算即可解答；（2）仿照例題的思路，配成兩個完全平方式，再利用偶次方的非負(fù)性，先求出a，b的值，然后分兩種情況，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值為﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因為△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分兩種情況：當(dāng)c＝5時，△ABC的周長為5+5+4＝14，當(dāng)c＝4，△ABC的周長為5+4+4＝13，所以△ABC的周長為13或14．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?東臺市月考）【項目學(xué)習(xí)】“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：求當(dāng)a取何值，代數(shù)式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因為（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，當(dāng)a＝﹣3時，代數(shù)式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1））當(dāng)x＝，1時，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值為﹣2．（2）當(dāng)x取何值時，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）當(dāng)x，y何值時，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值為多少？（4）如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S1與S2的大小，并說明理由．【分析】（1）仿照例題的解題思路，將代數(shù)式配方為（x﹣1）2﹣2，可得出答案；（2）仿照例題的解題思路，將代數(shù)式配方為2（x+2）2+4，可得出答案；（3）仿照例題的解題思路，將代數(shù)式配方為（2x﹣y）2+（x+3）2+16，可得出答案；（4）計算S1﹣S2可得a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，即可得出答案．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因為（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，當(dāng)x＝1時，代數(shù)式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案為：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因為（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，當(dāng)x＝﹣2時，代數(shù)式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因為（2x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，當(dāng)x＝﹣3，y＝﹣6時，代數(shù)式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．20．（2022春?廣陵區(qū)校級期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，