線性方程組理論是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基礎(chǔ)理論，是線性代數(shù)研究的重點(diǎn)?？茖W(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題，經(jīng)常可以歸結(jié)為求解一個(gè)線性方程組。本章主要討論線性方程組的求解方法、線性方程組有解的充要條件、向量間的線性關(guān)系和性質(zhì)、線性方程組的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。第二章線性方程組第二章線性方程組第一節(jié)線性方程組一、線性方程組的概念二、克拉默法則三、高斯消元法四、線性方程組有解的判定定理§1線性方程組一、線性方程組的概念運(yùn)費(fèi)的總費(fèi)用為例二元線性方程組解的討論.有實(shí)數(shù)解的充要條件是：兩條直線均過平面上的點(diǎn).解平面上兩條直線間有三種情況：相交、平行和重合，因此二元線性方程組的解也有三種形式：唯一解、無解和無窮多解，或者說方程組的解集中分別含有一個(gè)、零個(gè)和無窮多個(gè)元素.例線性方程組的圖像與解x1x2x1x2x1x2唯一解無解無窮多解方程組圖像解線性方程組的概念一般表達(dá)式矩陣表達(dá)式非齊次線性方程組齊次線性方程組系數(shù)矩陣未知量矩陣常數(shù)項(xiàng)矩陣

線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣.二、克拉默(Cramer)法則對于二元線性方程組當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，二元線性方程組有唯一解.上式給出了二元線性方程組的求解公式．取1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，給出了行列式的定義和展開法則，以及著名的克拉默法則。例解線性方程組

解1

用克拉默法則，線性方程組的系數(shù)行列式為因此線性方程組有唯一解，又所以線性方程組的解為解2

用矩陣的初等變換求解，由于方程組的解為

如果將克拉默法則運(yùn)用的n元齊次線性方程組上,則有下面定理.例已知齊次線性方程組有非零解

說明：克拉默法則給出了線性方程組的解與系數(shù)的關(guān)系，具有一定的理論意義，但它僅適用于行列式不為零的n元線性方程組，且計(jì)算量大，對于一般的線性方程組的求解主要采用下述高斯消元法.三、高斯(Gauss)消元法例求解線性方程組

消元過程第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的2倍第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程第二個(gè)方程與第三個(gè)方程互換第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程的4倍解①②③線性方程組的解為回代過程將第三個(gè)方程兩邊乘以第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3倍第二個(gè)方程加上第三個(gè)方程第一個(gè)方程加上第二個(gè)方程第一個(gè)方程兩邊乘以④⑤⑥⑦線性方程組同解變換增廣矩陣的初等變換初等變換

對線性方程組所作的同解變換過程，相當(dāng)于對其增廣矩陣作對應(yīng)的初等行變換過程.由分塊矩陣的乘法，得

高斯是德國數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。例解線性方程組例解線性方程組即例解線性方程組行階梯形矩陣對應(yīng)的方程組為即對行階梯形矩陣?yán)^續(xù)實(shí)施初等行變換從而有四、線性方程組有解的判定定理行階梯形矩陣對應(yīng)的方程組原方程組同解，即有解，有解時(shí)求出其解.解將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，有得原方程組的同解方程組即有非零解