2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選淺談數(shù)學(xué)思想在解初中統(tǒng)計題中的應(yīng)用摘要：“雙減”政策下要減負(fù)提質(zhì)，關(guān)鍵要提高課堂教學(xué)質(zhì)量。將數(shù)學(xué)思想運用到課堂教學(xué)中，有利于減負(fù)提質(zhì)，達成課程目標(biāo)。本文以統(tǒng)計題教學(xué)為例，淺談一下數(shù)學(xué)思想在解初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想，初中數(shù)學(xué)，統(tǒng)計題

引言：2021年7月24日，中共中央辦公廳國務(wù)院辦公廳在“雙減”文件中指出：“大力提升教育教學(xué)質(zhì)量，確保學(xué)生在校內(nèi)學(xué)足學(xué)好”，減負(fù)提質(zhì)的時代要求擺在我們面前。2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：實施促進學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動，促進學(xué)生了解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，體會和運用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗[1]。初中數(shù)學(xué)蘊含的數(shù)學(xué)思想很多，如方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等，把這些思想運用到課堂教學(xué)中，有利于減負(fù)提質(zhì)，達成課程目標(biāo)。中考是檢驗教學(xué)質(zhì)量的重要手段，統(tǒng)計題是中考必考題型之一，在初中統(tǒng)計教學(xué)中，有效運用數(shù)學(xué)思想解題，有利于減負(fù)提質(zhì)，達成課程目標(biāo)。本文以統(tǒng)計題教學(xué)為例，淺談一下數(shù)學(xué)思想在解初中教學(xué)中的應(yīng)用。一、方程思想2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：課程目標(biāo)的確立，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展。模型觀念是核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義[2]。方程思想是指通過適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組從而解決問題的思維方法。例1.（2022年浙江湖州中考第20題，8分）為落實“雙減”政策，切實減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，豐富學(xué)生課余生活，某校積極開展“五育并舉”課外興趣小組活動，計劃成立“愛心傳遞”、“音樂舞蹈”、“體育運動”、“美工制作”和“勞動體驗”五個興趣小組，要求每位學(xué)生都只選其中一個小組，為此，隨機抽查了本校各年級部分學(xué)生選擇興趣小組的意向，并將抽查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）。12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題:

（1）求本次被抽查學(xué)生的總?cè)藬?shù)和扇形統(tǒng)計圖中表示“美工制作”的扇形的圓心角度數(shù);

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整;（溫馨提示：請畫在答題卷相對應(yīng)的圖上）

（3）該校共有1600名學(xué)生，根據(jù)抽查結(jié)果試估計全校選擇“愛心傳遞”興趣小組的學(xué)生人數(shù)[3]。 【解析】

解題思路：先閱讀題目，從統(tǒng)計圖中找出數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)設(shè)未知數(shù)建立方程解決問題。 （1）由扇形統(tǒng)計圖中可知：被抽查學(xué)生中選擇體育運動興趣小組的人數(shù)占被抽查總?cè)藬?shù)的30％；由條線統(tǒng)計圖中可知：選擇體育運動興趣小組的人數(shù)為60人，所以可設(shè)本次被抽查學(xué)生的總?cè)藬?shù)x人，根據(jù)題意得：30％x=60，解得x=200.從條線統(tǒng)計圖中可知：被抽查學(xué)生中選擇“美工制作”的人數(shù)為20人，由上可得本次被抽查學(xué)生的總?cè)藬?shù)為200人，所以可設(shè)選擇“美工制作”的人數(shù)占被抽查總?cè)藬?shù)的y％,由題意得：200·y％=20，解得y=10，因此，“美工制作”的扇形的圓心角度數(shù)為：360°×10％=36°；（2）設(shè)被抽查學(xué)生中選擇音樂舞蹈興趣小組的人數(shù)為z人，根據(jù)題意得：50+z+60+20+40=200，解得z=30；（3）設(shè)全校選擇“愛心傳遞”興趣小組的學(xué)生人數(shù)為a人,由條線統(tǒng)計圖中可22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選知，被抽查學(xué)生中選擇“愛心傳遞”興趣小組的人數(shù)為50人，由題意得：a=50×1600=400（人）。200可見，方程是解決實際問題的有效手段，方程思想的應(yīng)用有利于減負(fù)提質(zhì)，有利于達成“會用方程等描述現(xiàn)實問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成合適的運算思路解決問題”[4]的課程目標(biāo)。二、整體思想 整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問題時，著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，把一些彼此獨立而又相互緊密聯(lián)系的量進行整體處理的思想方法[5]。例2（2022年湖北武漢中考第19題，8分）為慶祝中國共青團成立100周年，某校開展四項活動:A項參觀學(xué)習(xí)，B項團史宣講，C項經(jīng)典誦讀，D項文學(xué)創(chuàng)作,要求每名學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)必須且只能參加其中一項活動。該校從全體學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，調(diào)查他們參加活動的意向，將收集的數(shù)據(jù)整理后，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖。（1）本次調(diào)查的樣本容量是_______，B項活動所在扇形的圓心角的大小是_______，條形統(tǒng)計圖中C項活動的人數(shù)是_______;（2）若該校約有2000名學(xué)生，請估計其中意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動的人數(shù).【解析】

解題思路：先閱讀題目，從統(tǒng)計圖中找出數(shù)量關(guān)系，整體把握題意解決問題。（1）由條形統(tǒng)計圖可知，被抽取的學(xué)生中各項活動意向參加人為：A項32人，B32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選項12人，D項16人；由扇形統(tǒng)計圖可知，被抽取的學(xué)生中D項活動意向參加人的百分比為：20％；

從整體上把兩幅統(tǒng)計圖從整體上可知，本次調(diào)查的樣本容量是：16÷20％=80（人）；B項活動所在扇形的圓心角的大小是：360°×12=54°；條形80統(tǒng)計圖中C項活動的人數(shù)是：80-32-12-16=20；（2）意向參加“參觀學(xué)習(xí)”活動的人數(shù)為：2000×32=800（人）。80 可見，整體思想要求能從整體上把握，將相關(guān)的知識點綜合運用，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，提升較高層次的分析能力和創(chuàng)新意識。 三、分類討論思想

當(dāng)問題所給的對象不能夠進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按照某個標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對每一例分別剖析，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類所得的結(jié)果得到整個問題的解答，所以分類討論就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的過程[6]。例3張老師想對培訓(xùn)學(xué)員的打字能力進行測試，她將全部學(xué)員分成4個小組，經(jīng)統(tǒng)計知，這4個小組學(xué)員平均每分鐘打字的個數(shù)為：100、80、X、100。已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，那么X的值為_____。 【解析】

要確定中位數(shù)，就要先把這4個數(shù)進行排序，而我們不知道x處于什么位置，因此要利用分類討論思想予以解決。 （1）當(dāng)x≥100時，這組數(shù)據(jù)為80，100，100，x，中位數(shù)是100，根據(jù)眾數(shù)與平均數(shù)相等，得80+100+100+x=100，解得x=120。4 （2）當(dāng)80≤x<100時，這組數(shù)據(jù)為80，x，100，100，根據(jù)眾數(shù)與平均數(shù)相等，得42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選80+x+100+100=x+100，解得x=80。42（3）當(dāng)x<80時，這組數(shù)據(jù)為x，80，100，100，根據(jù)眾數(shù)與平均數(shù)相等，得x+80+100+100=80+10042，解得x=80，不合題意。綜上所述，x的值為120或80. 四、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)知識的形成依賴于直觀，知識的確立依賴于推理。抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使他們看得見，摸得著[7]。 數(shù)形結(jié)合思想就是數(shù)量關(guān)系和幾何直觀相結(jié)合，使復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。 例4（2020年安徽中考第21題）某單位食堂為全體960名職工提供了A，B，C，D四種套餐，為了解職工對這四種套餐的喜好情況，單位隨機抽取240名職工進行“你最喜歡哪一種套餐括(必選且只選一種)”問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜歡A套餐的人數(shù)為＿＿＿，扇形統(tǒng)計圖中“C”對應(yīng)扇形的圓心角的大小為＿＿＿0；（2）依據(jù)本次調(diào)查的結(jié)果，估計960名職工中最喜歡B套餐的人數(shù)[8]。【解析】

解題思路：先閱讀題目，把題目敘述和統(tǒng)計圖形結(jié)合起來，找出數(shù)量關(guān)系解決問題。52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選（1）從語言敘述中可知：單位隨機抽取240名職工進行問卷調(diào)查；從扇形統(tǒng)計圖中可知：最喜歡A套餐的人數(shù)占被抽取總?cè)藬?shù)的25％，所以最喜歡A套餐的人數(shù)為：25%×240=60（人）；由條形統(tǒng)計圖可知：最喜歡B套餐的人數(shù)為84人，最喜歡D套餐的人數(shù)為24人，因此，最喜歡C套餐的人數(shù)為:240-60-84-24=72（人）,扇形統(tǒng)計圖“C”對應(yīng)扇形的圓心角為：3600×72=1080240（2）從語言敘述中可知：單位隨機抽取240名職工進行問卷調(diào)查；從條形統(tǒng)計圖中可知：最喜歡B套餐的人數(shù)為84人，所以估計全體960名職工中最喜歡B套餐的人數(shù)為：960×84=336（人）。240五、綜合應(yīng)用堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向。以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)。適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設(shè)置要注重創(chuàng)設(shè)真實情境，提出有意義的問題，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查[10]。 對于以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，數(shù)學(xué)思想的運用不是孤立的，而是相互聯(lián)系相互滲透的，對于一個題目的解答可能不只運用到一種數(shù)學(xué)思想。例5（2022年安徽中考第21題，12分）第24屆冬奧會于2022年2月20日在北京勝利閉幕。某校七、八年級各有500名學(xué)生，為了解這兩個年級學(xué)生對本次冬奧會的關(guān)注程度，現(xiàn)從這兩個年級各隨機抽取n名學(xué)生進行冬奧會知識測試,將測試成績按以下六組進行整理（得分x用來表示）：

A:70≤x＜75B:75≤x＜80C:80≤x＜85

D:85≤x＜90E:90≤x＜95F:95≤x＜10062022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選已知八年級測試成績D組的全部數(shù)據(jù)如下:

86，85，87，86，85，89，88. 請根據(jù)以上信息，完成下列問題:

（1）n=_______,a=________;

（2）八年級測試成績的中位數(shù)是_______;

（3）若測試成績不低于90分，則認(rèn)定該學(xué)生對冬奧會關(guān)注程度高。請估計該校七、八兩個年級對冬奧會關(guān)注程度高的學(xué)生一共有多少人，并說明理由[11]. 【解析】

解題思路：先閱讀題目，把題目語言敘述和統(tǒng)計圖形結(jié)合起來，找出數(shù)量關(guān)系解決問題。（1）由語言敘述可知，八年級抽取n名學(xué)生，測試成績D組有7人，由八年級測試成績扇形統(tǒng)計圖可知，D組占被抽查總數(shù)的35％，所以有：35％n=7，解得n=20。----這里同時運用了方程思想和數(shù)形結(jié)合思想。由兩個年級各隨機抽取n名學(xué)生可知，七年級也抽取20人，結(jié)合七年級測試成績直方圖可知：2+a+6+a+3+1=20，解得a=4。----這里同時運用了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和整體思想。（2）由（1）知八年級抽取20名學(xué)生，由八年級測試成績扇形統(tǒng)計圖可知，A、B、C組分別占八年級被抽取總?cè)藬?shù)的5％、5％、20％，所以A、B、C各組的人數(shù)分別為:A組:5％×20=1(人）,B組:5％×20=1(人）,C組:20％×20=4(人），所以A、B、C組共6人，由題意可知A、B、C、D、E、F是由小到大的順序排列的，已知八年級測試成績D組的全部數(shù)據(jù)如下:86，85，87，86，85，89，88，由小到大排列為85,85，86,86,87,88,89，所以把八年級測試成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為86，87，故中位數(shù)為8687=86.5----這里同時運用了數(shù)形結(jié)合思想和整體思想。272022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選（3）由七年級測試成績頻數(shù)直方圖可知，被抽查的20名學(xué)生中有4人不低于90分，七年級對冬奧會關(guān)注程度高的學(xué)生有：4×500=100（人）；由八年級測試成績扇形統(tǒng)20計圖可知，被抽查的20名學(xué)生中不低于90分百分比為：1-5%-5%-20%-35%=35%，所以八年級對冬奧會關(guān)注程度高的學(xué)生有：35%×500=175（人），因此，該校七、八兩個年級對冬奧會關(guān)注程度高的學(xué)生一共有：100+175=275（人）----這同時體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和整體思想。葉圣陶說，教師之為教，不在全盤授予，而在相機誘導(dǎo)。在“雙減”背景下要減負(fù)提質(zhì)，教師要集中更多的精力去設(shè)計課堂教學(xué)，促進學(xué)生在課堂內(nèi)完成知識的建構(gòu)和內(nèi)化，逐步提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和合作探究的精神，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。課堂上的知識內(nèi)化過程，其精華在于課堂上教師用信息激發(fā)學(xué)生思想，促進教師與學(xué)生之間、學(xué)