2023年江蘇省蘇州市高考模擬數(shù)學(xué)試題（二）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z與（z+2）?+8i都是純虛數(shù)，則Z的共輒復(fù)數(shù)為（）

A.2B.-2C.2iD.-2i

2.已知集合4=卜卜一1|>2},集合8="限+1<0},若=則加的取值范圍

是（）

A.B.」C.[0,1]D,,0）U（01]

3.已知&=（sina,l-4cos2c）,加=（l,3sine-2）,ae（0,g）,若切區(qū)，則tan（a-?卜

（）

4.2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)

在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪

花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是

“雪花曲線'’的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊

的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中

正三角形的邊長為3,則圖③中的.麗的值為（）

5.沙漏是古代的一種計(jì)時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道

組成，開始時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時

間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均

為8cm,細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的;（細(xì)管長度忽略不計(jì)）.假設(shè)該沙漏每

秒鐘漏下0.02cn?的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）（萬=3.14）

A.1895秒B.1896秒C.1985秒D.2528秒

6.在A,8,C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)

這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5:7:8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人患流感

的概率為（）

A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.0485

7.已知/（xh-V-cosx,若a=fe4,b=,=/（一；），則小b,c的

大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

8.在圓幕定理中有一個切割線定理：如圖1所示，QR為圓。的切線，R為切點(diǎn)，QCD

為割線，則|QRf=|。葉|紗|.如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)A（-LO），

點(diǎn)尸是圓0：/+丁=4上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)8（1,0）作直線87垂直AP于點(diǎn)T,則

D.272

二、多選題

9.2022年6月18日，很多商場都在搞促銷活動.重慶市物價局派人對5個商場某商品

同一天的銷售量及其價格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價工元和銷售量y件之間的一組數(shù)

據(jù)如下表所示：

X9095100105110

試卷第2頁，共6頁

y1110865

用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線是y=-0.32x+a，相關(guān)系數(shù)，=-0.9923,則

下列說法正確的有()A.變量x與y負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)

B.3=40

C.當(dāng)x=85時，>的估計(jì)值為13

D.相應(yīng)于點(diǎn)(105,6)的殘差為-0.4

22

10.已知橢圓C:￡+方=1(〃>6>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，用，長軸長為4,點(diǎn)P(⑸)

在橢圓C外，點(diǎn)。在橢圓C上，則()

A.橢圓C的離心率的取值范圍是［孝,1)

B.當(dāng)橢圓C的離心率為當(dāng)時，|Q4|的取值范圍是［2-6,2+6］

C.存在點(diǎn)。使得評「函=0

D-向卡贏的最小值為2

11.在正方體48a)-A￡C1。中，AB=1,點(diǎn)P滿足。戶=4而+其中

九〃?()』，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)B7//平面兒8。時，BE不可能垂直C。

B.若8f與平面CCQQ所成角為:，則點(diǎn)尸的軌跡長度為5

C.當(dāng)4=1時，正方體經(jīng)過點(diǎn)A、RC的截面面積的取值范圍為［邁，V2J

4

D.當(dāng)a=〃時，|而|+|即|的最小值為匹正

12.已知函數(shù)〃x)=e*-x,g(x)=x-Inx,則下列說法正確的是()

A.g(e*)在(0,+8)上是增函數(shù)

B.Vx>l,不等式f(or)*/(lnx2)恒成立，則正實(shí)數(shù)。的最小值為一

C.若〃x)=f有兩個零點(diǎn).馬，則.+%>0

D.若/(xj=g(x2)=r(f>2),且則的最大值為,

e

三、填空題

13.已知的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中有理項(xiàng)

的個數(shù)為.

14.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子'’的稱號，用其

名字命名的“高斯函數(shù)''為：設(shè)xeR,用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則>=［可稱為高

斯函數(shù).例如：3,［3.1］=3,若函數(shù)=則函數(shù)y=［〃x)］的值域?yàn)?/p>

⑸數(shù)列｛叫滿足4=2,第U(〃eN，),則…—:----------

16.已知拋物線M：x2=4y,圓C：f+(y_3)2=4,在拋物線M上任取一點(diǎn)P,向

圓C作兩條切線附和PB,切點(diǎn)分別為A,B,則瓦.畫的取值范圍是.

四、解答題

17.已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列g(shù),,｝的前”項(xiàng)和為S“，若4S“=d+2%+l.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=——，且數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：|<7；,<1.

anan+l3

18.為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生

體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：

鍛煉

性別

不經(jīng)常經(jīng)常

女生4060

男生2080

(1)依據(jù)c=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；

(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題

試卷第4頁，共6頁

活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳

出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第"次傳球后

球在甲手中的概率.

(a+/7)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

19.如圖所示，正方形ABCC所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，AN//BM,

AN=AB=BC=2,BM=4,CN=2>/3.

⑴證明：平面ABC。；

(2)在線段CM(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-8N-M的余弦值為立.

3

若存在，求出的C照E值；若不存在，請說明理由.

EM

20.在中，PA=PB,點(diǎn)C,。分別在PB,叢邊上.

TT

(1)若=CD=\,求APCD面積的最大值；

(2)設(shè)四邊形ABCD的外接圓半徑為R,若NAPBe且A*BCCDD4的最大

值為1,求R的值.

21.已知動圓M與圓A:(x+石『+/=4及圓g：(x-石『+>2=4中的一個外切，另一

個內(nèi)切.

(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；

(2)若直線/與軌跡C相交于尸、Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過軌跡C與x軸正半軸

的交點(diǎn)。，證明直線/經(jīng)過一個不在軌跡C上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/(x)=x-J-alnx.

⑴若不等式〃x）WO在（1,田）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

1

⑵證明：E;>

2

i=2iIni2〃(〃+1)

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【分析】先仔細(xì)審題，抓住題目中的關(guān)鍵信息之后再動手，純虛數(shù)的特征就是實(shí)部為0,虛

部不為0的虛數(shù)，可用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式解.

【詳解】設(shè)z=阮bX0,則(z+2/+8i=Si+2尸+8i=4+4M+附+8i

4-h2=0

=4—從+(你+8》為純虛數(shù)，則有：解得：b=2,

46+8工0

故z=2i,則1=-23

故選：D.

2.B

【分析】將集合A化簡，根據(jù)條件可得5=然后分機(jī)=0,“<0,加>0討論，化簡集

合B,列出不等式求解，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?一1|>2=》-1>2或％-1<一2,解得x>3或x<-I

即A=1x|x>3s3cv<—1},

因?yàn)锳u8=A,所以8

當(dāng)〃?=0時，B=0,滿足要求.

當(dāng)/”>0時，則加r+l<0nx<--,由

tn

可得―<-1=>m<1,B|J0<m<1

tn

當(dāng)機(jī)<0時，則如+1<0=>X>---,由

m

可得-->3=>/n>,B|J--<m<0

m33

綜上所述，me-1,1

故選:B.

3.B

【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示可知1-4cos2a=sina(3sina-2),再根據(jù)余弦

二倍角公式化簡、解方程可得sina==3,進(jìn)而可得tana==3,再根據(jù)兩角差的正切公式即可

求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹M區(qū)，

答案第1頁，共21頁

所以1-4cos2a=sina(3sina-2),

1-4(1-2sin2a)=3sin2a-2sina,

5sin%+2sina-3=0,

.3、

所以sina=y或sina=-1,

3

又ae嗚,所以sina=《,

3

所以tana=：,

4

3,1

所以tan(a-?tana-1_4_1

1+tancr]+37

4

故選：B.

4.C

【分析】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得

兩；麗的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

|加|=2,OM=(2cosy,2siny)=(l,V3),

|M?|=p即M戶=(g,0),

網(wǎng)=g,由分形知PN〃OM,所以麗=’,烏

所以麗=W+M戶+PM=W，呼），

所以。M，OM=lx3+gx￡l=6.

26

故選：C.

答案第2頁，共21頁

A

X

【分析】由圓錐的體積公式計(jì)算細(xì)沙體積和沙堆體積，根據(jù)細(xì)沙體積不變即可求解.

【詳解】沙漏中的細(xì)沙對應(yīng)的圓錐底面半徑為|'4二|,高為與，

所以細(xì)沙體積為，乂3=1°24乃(cm]

3⑶381'J

1024

所以該沙漏的一個沙時為《F”~秒，

----------?1vOJ

0.02

故選：C

6.D

【分析】考慮患流感的這個人可能來至于哪個地區(qū)，結(jié)合互斥事件的概率計(jì)算可得答案.

【詳解】由題意得，從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人可能來至于三個地區(qū)中患流感

的人當(dāng)中，

故這個人患流感的概率為尸=；O

6%x*1+5%x+4%x---=0.0485,

5+7+85+7+85+7+8

故選：D

【分析】首先證明此函數(shù)為偶函數(shù)，再利用其導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，利用其是偶函數(shù)得到

b=通過指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得e4>eT=：>；,再根據(jù)幕函數(shù)性質(zhì)證明

出e*>；,同取對數(shù)得到->ln-,則有e4>2>in],再利用/(%)單調(diào)性即可得到大小關(guān)

系.

答案第3頁，共21頁

【詳解】因?yàn)?(x)=-V一cosx,xeR,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

f(-x)=-(-x)2-cos(-x)=-x2-cosx=/(x),

所以/(x)為R上的偶函數(shù)，

當(dāng)xNO時,f'(x)=-2x+sinx,,設(shè)g(x)=-2x+sinx,

貝！Jg'(x)=-2+cosx,v-l<cosx<l,，g'(x)<0,

所以g(x)即f'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以r(x)<八0)=0,

所以f(x)在［0,位)上單調(diào)遞減,又因?yàn)閒M為偶函數(shù)，

所以fM在上單調(diào)遞增，

-2ill

又因?yàn)橐?>已7=上>上，

e4

11(1Y(5、?5

因?yàn)橐?lne，e4=e,-?2.4<e,所以e，〉工

4IJUJ4

1515

所以lne4>ln］，即:>ln：,

444

_N15

所以e4>->In-,

44

所以小小3

即a<c<b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題首先證明函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，對于其單調(diào)性的求解需要二次

求導(dǎo)，其次就是利用函數(shù)的奇偶性對“，Ac進(jìn)行一定的變形得6=c=然后

就是比較m2的大小關(guān)系，需要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及幕函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行合理

44

放縮，對于這種較為接近的數(shù)字比較大小問題，通常需要利用函數(shù)的單調(diào)性以及尋找合適的

中間量放縮.

8.A

答案第4頁，共21頁

【分析】先利用為=g（麗+麗）和余弦定理得到|PQ|=；,2（附「+1）TAB「=2,可

33

得1PAi2+|冏2=10,即可求3乙4尸8=兩丁阿，進(jìn)而求得|PT|=網(wǎng)，再利用基本不等式

即可得到答案

【詳解】連接尸。,

在鉆中，因?yàn)?。是AB的中點(diǎn)，

所以的=；（而+麗），平方得|而『=：（|百彳+|麗『+2]固?〔麗|cos/AP8）,

將cos/A映照2看篙目代入可得|「。|=乂2（|哂+閥＞函=2,

因?yàn)閨圈=2,所以|承「+歸到2=]0,

3

所以C°S4P公師網(wǎng)，

3

在RIAPBT,歸71=歸38$乙428=兩，

Q.__

所以21PAi+3|PT|=2|PA|+網(wǎng)22a=6&,

當(dāng)且僅當(dāng)21P川=向即1pAi=半時，取等號,

故選：A

9.ABD

【分析】根據(jù)相關(guān)性、相關(guān)系數(shù)判斷A,利用樣本中心點(diǎn)判斷B,將x=85代入回歸直線方

程判斷C,求得x=105時）'的估計(jì)值，進(jìn)而求得對應(yīng)的殘差，從而判斷D.

【詳解】對A,由回歸直線可得變量x,V線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)"=0.9923可知相關(guān)

性強(qiáng)，故A正確；

_1-1

對B,由題可得x=g（90+95+100+105+110）=100,y=-（11+10+8+6+5）=8,

故回歸直線恒過點(diǎn)（100.8）,故8=-O.32xlOO+a，即「40,故B正確；

答案第5頁，共21頁

對C,當(dāng)x=85時，y=-0.32x85+40=12.8，故C錯誤；

對D,相應(yīng)于點(diǎn);（105,6）的殘差工=6-（-0.32、105+40）=-0.4,故D正確.

故選：ABD.

10.ABC

【分析】根據(jù)點(diǎn)P（3，l）在橢圓C外，即可求出匕的取值范圍，即可求出離心率的取值范圍，

從而判斷A；

根據(jù)離心率求出c,則制e[a-c,a+c],即可判斷B；

設(shè)上頂點(diǎn)A,得到斯?再＜0,即可判斷C；

根據(jù)|Q用+|Q閭=4利用基本不等式判斷D.

【詳解】由題意得。=2,又點(diǎn)網(wǎng)夜」）在橢圓C外，則＞￡＞1,解得

所以橢圓C的離心率6=?=與乙＞,，即橢圓C的離心率的取值范圍是（孝,1）,故A

正確；

當(dāng)e時，c=也,b=,Ja2-c2=1＞所以|。用的取值范圍是[a-c,a+c],即

[2-6,2+司，故B正確;

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A（0,匕），￡（-c，0）,E（GO）,由于福?通'=/—。2=乃2一°2＜。，

所以存在點(diǎn)。使得西?麗=0,故C正確；

（|Q用+|Q周=2+22+2=4,

Wil"21rMiQF4的研

當(dāng)且僅當(dāng)I。甲=|Q聞=2時，等號成立，

又|Q片1+1。周=4,

所以向+血認(rèn)故D不正確.

故選：ABC

11.BD

【分析】對A,作出如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,由向量法結(jié)合向量垂直判斷即可；

答案第6頁，共21頁

對B,由幾何關(guān)系得出gP與平面CCQQ所成線面角NB/G，可得GP=1,則點(diǎn)P的軌

跡是以G為圓心，以1為半徑的!個圓；

對c,由4=1得點(diǎn)P在。。上，利用幾何關(guān)系可得△必。的面積最值在端點(diǎn)及中點(diǎn)位置;

對D,將平面CDD,與平面ABC。沿CR展成平面圖形，線段AQ即為|而|+1*I的最小值,

利用余弦定理即可求.

【詳解】對A,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z,

則4(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),A(0,0,1),C,(1,1,1),D,(0,1,1),

所以西=,BIP=BIC+CP=BlC+A.CD+4G=(一九1,〃一1),

則B4；=(-l,0,l),=(-1,1,0),設(shè)平面AB。的一個法向量為”=(x,y,z),

所以二，令X=l,則y=z=i,即平面48。的一個法向量為"=(1,1,1),若

BDn=-x+y=0

與尸〃平面ABO,則加=0,即4=〃，

由耶?西=/I+〃—1=0,則2=〃=；，即尸為C。中點(diǎn)時，有用尸〃平面A8。，且8/，CR,

A錯；

對B,因?yàn)锽G_L平面CG。。，連接C/,則即為8尸與平面CG。。所成角，

答案第7頁，共21頁

若用產(chǎn)與平面CGRO所成角為:，則tanNBfG=q^=l,所以G尸=4G=1，

即點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，以1為半徑的!個圓，于是點(diǎn)P的軌跡長度為B對；

42

對c,因?yàn)?=1,所以點(diǎn)P一定在鼻。上，又因?yàn)楫?dāng)〃=0或1時，△PAC的面積取最大值,

此時截面面積為近，

設(shè)R。的中點(diǎn)為H，由圖形的變化可得當(dāng)點(diǎn)尸在。”和RH運(yùn)動時，所得截面對稱相同，

于是當(dāng)〃=!時，△P4C的面積取最小值名，此時截面面積為必，c錯；

242

對D,如圖，將平面CD"與平面A8CR沿CQ展成平面圖形，

線段A。即為I厲1+1卒I的最小值，

3元r~

利用余弦定理可知4尸=A々-2AO,-DD,cos—=2+V2,

所以AQ=q2+四,D對.

故選：BD

【點(diǎn)睛】(1)容易建系的幾何體一般可通過建系快速解決長度、角度等問題.本題A中，通

過線面平行得線與該面的法向量垂直，即可得參數(shù)間的關(guān)系，即可進(jìn)一步討論線線垂直的問

題；

(2)B中軌跡問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的線面垂直性質(zhì)得出線面角，即可得出所求軌跡為圓

弧；

(3)C中截面問題，關(guān)鍵結(jié)合正方體的對稱性，轉(zhuǎn)化為三角形面積的和，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成

討論高的范圍問題；

(4)D中求不同表面線段和問題，一般展開成平面討論.

12.ABD

答案第8頁，共21頁

【分析】A選項(xiàng)中，令/=6、>1,利用導(dǎo)數(shù)可求得g。)單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本

原則可知A正確；B選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由此可將恒成立

的不等式化為。2圓吧，令/?(》)=出(》>1),利用導(dǎo)數(shù)可求得/?(x)四，由aN/i(x)a可

XX

知B正確；C選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的單調(diào)性，由此確定玉<0<￡,若玉+%>0,

可等價轉(zhuǎn)化為了(XJ>〃F),令歹(x)=/(x)-〃-x)(x<0),利用導(dǎo)數(shù)可求得尸(x)單調(diào)

性，從而得到尸(x)<0,知f(xj可得C錯誤；D選項(xiàng)中，采用同構(gòu)法將已知等

式化為/a)=/(lnw)=(>2),從而可確定多>%>1,結(jié)合〃x)單調(diào)性得到%=In%,

由此化簡得到一半一=學(xué)，令夕⑺=也。>2),利用導(dǎo)數(shù)可求得e(。最大值，知D正確.

工2—再，t

【詳解】對于A,當(dāng)x>0時，eA>1,令t=e',則f>l,g(r)=f-lnf,

?rg'⑺=1-；=9,.??當(dāng)r>l時，恒成立，，g⑺在(1,行)上單調(diào)遞增；

f=e"在(0,+8)上單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：g(e,)在(0,+8)上為增函數(shù)，A正確；

對于B,當(dāng)x>l時，lnx2>lnl=0，又“為正實(shí)數(shù)，二雙〉?！怠?，

?.?/'(x)=e*—1,.?.當(dāng)x>0時，，4戈)>0恒成立，\/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則由/(ar)N/(In/)得：狽21nx即“之手，

令力(》)=受(》>1),則=

當(dāng)尤w(l,e)時，”(x)>0；當(dāng)xw(e,+oo)時，”(x)v0；

.?/(X)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，.?/(x)max=Me)=：,

22

則正實(shí)數(shù)〃的最小值為上，B正確；

ee

對于C,1."'(x)=e*-l,.,.當(dāng)x<0時，當(dāng)x>0時，/?x)>0；

\f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+e)上單調(diào)遞增；”(%)m="0)=1,則/>1；

不妨設(shè)芭<*2，則必有王<。<七,

答案第9頁，共21頁

若％+X2>0,則々>-%>0,等價于/(七)>/(一不)，

又〃/)=〃％)，則等價于〃石)>，(一百)；

令尸(x)=/(x)-/(-x)(x<0),貝|JF(x)=e'+1一2,

Qx<0,ex>\,.-.e^+e^>2>/ex-e-'=2>即k'(x)>0,

???E(x)在(y,0)上單調(diào)遞增，..打工人尸⑼二。，即〃x)<f(-x),

可知玉+七>0不成立，C錯誤；

對于D,由/(xj=g(x2)=f(r>2),&>弓>0得：e'1-A,=AJ-In^=elnV2-Inj^=r(/>2),

即/(X1)=/(lnx2)=r(r>2),

由C知：〃X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(o,+8)上單調(diào)遞增；

/(l)=e-l<2,%,>1,則Inx2>0,

InrInrInfInf

"=1眸，即"3，...====即=?。?/p>

令夕(。=罟。>2),則<()=.!F',

,當(dāng)re(2,e)時，。'⑺>0；當(dāng)re(e,+<?)時，^(?)<0；

“⑺在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，,⑺,1ms=Q(e)=g,

即也一的最大值為！，D正確.

馬一再e

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)考查了導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題；處理極值點(diǎn)偏移中的類

似于玉+々>。(〃與)=〃々))的問題的基本步驟如下：

①求導(dǎo)確定“X)的單調(diào)性，得到與工的范圍；

②構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-"a-X),求導(dǎo)后可得尸(x)恒正或恒負(fù)；

③得到了(%)與"af)的大小關(guān)系后，將"與)置換為〃々)；

④根據(jù)々與“-為所處的范圍，結(jié)合/(x)的單調(diào)性，可得到演與。一七的大小關(guān)系，由此證

得結(jié)論.

答案第10頁，共21頁

13.2

【分析】先算出”，再寫出通項(xiàng)公式，確定x的次數(shù)為整數(shù)即可

【詳解】的展開式有〃+1項(xiàng)，因?yàn)閮H有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以”=8

/?(XYs_i6

—?一2爐=C”-2)”[6

\J\7

當(dāng)r=2時一駕=-1,當(dāng)r=8時,。一號=4,符合題意

6666

所以展開式中有理項(xiàng)的個數(shù)為2

故答案為：2

14.｛1,2,3,4)

【分析】分離常數(shù)，求出函數(shù)/(燈=*會4.|S的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義即可得出答案.

、41

【詳解】解：f(x)=——-=1+------,??2>0,/.1+2、>1,0<-------<1,

')2、+12X+12*+1

則1<1+用<5,Bpi</(x)<5,

當(dāng)1</(尤)<2時,[〃切=1；

當(dāng)24/(x)<3時，卜(切=2；

當(dāng)34〃x)<4時，卜(切=3；

當(dāng)44f(x)<5時，卜(切=4,

綜上,函數(shù)尸[〃明的值域?yàn)椋?23,4｝.

故答案為：｛123,4｝.

,,2023

*5-衲

【分析】由已知整理得乎=八〃)，先利用累乘法求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)，再利用錯位相減法求

其前2021項(xiàng)的和，從而得到結(jié)果.

【詳解】由“用=亞土9%(〃€1<)得：也=亞察，

a…x&x生xq=2"-'^—x--.x—x—x2>1=(/?+1)-2"-1.

??-1*出qI?n-\32JV'

答案第H頁，共21頁

設(shè)5“=q+/+…+?！ǎ?/p>

jaiJS“=2x2'>+3x2i+4x22+...+〃.2"2+(〃+i).2"T,

23,|,,

.?.2S?=2x2'+3x2+4x2+---+?-2'-+(n+l)-2)

,2(1-2"叫

.?.-S,=2+1+22+…+2"T_(”+1).2"=2+-^------+

1—2

=2+2〃-2-(〃+1>2"=-分2",

an

S〃=〃?2",即q+^---^n-'2",

20212021

S^,=202lx2,a2O12=2023x2,

.4O22_2023X220212023

4++,?,+氏02]2021x2~°J2021

故答案為：翳.

16.(-4,0]

【分析】設(shè)點(diǎn)八），由己知關(guān)系，可用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出|尸。.在RtAPAC,有

COS2/PC4=￡*,進(jìn)而可推出瓦?無=；~~13-4,根據(jù)光的范圍，即可得到結(jié)果.

\PC\（%-1）+8

由已知，C（0,3）,r=2.

如圖，設(shè)點(diǎn)。(毛，為)，則靖=4%,

|PC|2=年+(%-3)2=%2_2%+9=(%-1)2+8,

在RtZ\R4c中，有

答案第12頁，共21頁

4

謁"胃(為7『+8

-8

易知ZACB=2ZPCA,則cos4cB=2cos-ZPCA-1=-----^―-T,

(%-1)+8

則瓦而=|可函cosZACB=4----久----1

11------7----4

"[(%-1)一+8(%-1)+8

因?yàn)?，為?,所以當(dāng)％=1時，瓦.麗取得最大值干-4=。,

O

又7中二7>°，所以，CACB>~4-

（%一1）+8

所以，瓦.麗的取值范圍是（T,。].

故答案為：（T,0].

17.(l)a?=2?-1

(2)證明見解析

【分析】（1）利用公式4=E，“22時，4,=S“-S“T，代入化簡得到數(shù)列｛%｝的遞推公式,

即可求解通項(xiàng)公式；

（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.

2

【詳解】（1）當(dāng)〃=1時，4at=a,+2at+1,解得q=l；

當(dāng)”22時，由4s“=。；+2?！?1,得4s,一=a,\+2%+1,

兩式相減可得4%=a；-0式|+2%-2a?_,,a：-產(chǎn)2（a?+4_J,又%>0,

=2,即｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，

因此，｛《,｝的通項(xiàng)公式為凡=2〃-1；

,、,211

⑵證明：由⑴可知勺=2〃7,所以"=⑵口）（2“+1）=罰一五7T，

T77,.11111.1

T=b.+4H---卜b,,=1---1------1---1------------=1-------,

"1-"3352/7-12n+l2n+\

因?yàn)椴欢?gt;0恒成立，所以

2〃+1

答案第13頁，共21頁

2o

又因?yàn)樾=%=（2〃+I）（2〃+3）>°'所以｛1｝單調(diào)遞增，所以<24=4=屋

2

綜上可得§47；<1.

18.（1）可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析

【分析】（1）計(jì)算卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；

（2）利用事件，利用條件概率求出答案；

（3）設(shè)〃次傳球后球在甲手中的概率為P“，〃=1,2,3…，得到pm=-gp“+；,利用構(gòu)造

法得到億以一；），即數(shù)歹是以-g為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從

而求出通項(xiàng)公式，得到答案.

【詳解】⑴2=200x（40x80-60x20）^9524>66357

100x100x60x140

故依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；

（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A,選到的學(xué)生為男生

為事件B,

則〃（4?）=80,〃（A）=140

/.、n（AB）804

則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率==140=7；

（3）設(shè)〃次傳球后球在甲手中的概率為P"，”=1,2,3…,

則有Pi=0，P?+i=^（l-P?）+0-p?=--/??+1,

Ii3

=Pn

設(shè)P“+i+%=_2（〃“+兄），則Pn+\~2~~2^'

所以-?=；,解得：

1IfD廿411

所以p”+l_]=_/[p“一§J,其中Pl

答案第14頁，共21頁

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列,

〃一I

所以小T

2

〃一

,,11111

故P“=］一§x1

242

故第〃次傳球后球在甲手中的概率為§1-

19.（1）見解析

十+CE1

⑵存在‘說二5

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得再得出即可證明；

（2）設(shè)屋=2西，求出平面8EN和平面5MN的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出2即

可得出.

【詳解】（1）證明：正方形ABCD中，BCLAB,

???平面平面ABA/N,平面A5coe平面=BCu平面ABC。，

.,.3C_L平面又平面A8VW,

BC1BM,S.BC±BN,又BC=2,CN=2G,

BN=>JCN2-BC2=2A/2-y.-.'AB=AN=2,BN2=AB2+AN2,

:.AN1AB,又?：ANUBM,:.BM±AB,

又8CnBA=氏BA,8Cu平面ABCD,

???平面ABC。；

（2）解：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,0,2）,。（2,0,2）,N（2,2,0）,“（0,4,0）,

設(shè)點(diǎn)E（a,b,c）,CE^ACM（0<A<l）,.-.（a,b,c-2）=A（0,4,-2）,

a=0

:.-b=4A,.-.E（0,4Z,2-2/l）,

c=2—22

:.BN=（2,2,O）,BE=（O,4A,2-2A）,

答案第15頁，共21頁

設(shè)平面B￡N的法向量為%=（x,y,z）,

BN?麗=2x+2y=Q

BE?麗=4/ly+(2-24)z=0

.22—(22

令x=1,y=-1,z=-—11,-L

1^1

顯然，平面BMN的法向量為前=（0,0,2）,

|21_8_1

即"(l-l)+4萬373，即12屬卜,6/12-42+2,

即3萬+2；1-1=0,解得2=（或一1（舍）,

所以存在一點(diǎn)E,且

EM2

【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得PC?尸。的最大值為1,再利用面積公式即可

求解；

（2）由四邊形488存在外接圓，知四邊形A8C。為等腰梯形，連接AC,設(shè)NCR4=6,

ZC4B=x,

利用正弦定理，表示AB,BC,CD,進(jìn)而利用基本不等式求解.

【詳解】（1）由已知NOPC=NAP8=。，

答案第16頁，共21頁

在#CD中，利用余弦定理知1=8?=PC1+PD2-2PCPDcosNPDC，

TT

結(jié)合基本不等式有后2PCPD-2PCPDcos^=PCPD,

當(dāng)且僅當(dāng)PC=PD=1時，等號成立，即PCPD的最大值為1,

S=-PCPDsm-=—PCPD<—

力p8cn2344

所以APCD面積的最大值為3

4

(2)四邊形ABCD存在外接圓，.?.ND43+N￡)C8=;r

又PA=PB,：.ZDAB^ZCBA,:.NCBA+NDCB=兀,

ABIICD,所以四邊形ABC。為等腰梯形，

連接4C,設(shè)NC8A=6,ZCAB=x,

在ABAC中，由正弦定理得，—AB-=2R,

sin(4一工一，)smx

.?.BC=2Rsinx,AB=2Rsin(〃一x-6)=2Rsin(6+x)

同理，在△AC。中，由正弦定理得，CD=2Rsin(^-x),

所以AB?5。?COQ=16R2sin?xsin(6>-x)sin(6>+x)

=16R2sin2x(sin2^cos2x-cos20sin2x)

16R2sin2x^sin260-sin2x)-cos20sin2x]

=16Ksin2x(sin2^-sin2x)

???/APBe,-.0<x<(9<y,.-.o<sin2x<sin26>

-c/cc、、sin2x+(sin20-sin2x\

.J6R2sin2x(sin26>-sin2x)<16R2--------------------L2sin40,

當(dāng)且僅當(dāng)sin?x=sin?6-sin晨，即sir?x=gsii?6

???ee(o,g,.?.sinZev],當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立,

即4R3但)，，即R=:

⑷99

答案第17頁，共21頁

p.

A匕----------------B

2

21.（1）^1-/=1；

4

（2）證明見解析，（號,。）.

【分析】（1）分別討論與圓A外切圓B內(nèi)切、與圓A內(nèi)切圓8外切，結(jié)合雙曲線的定義即可

求得方程；

（2）分別討論直線/的斜率存在不存在的情況，其中斜率存在時，設(shè)直線/的方程為丫=辰+機(jī),

由而.而=0,結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及韋達(dá)定理，即可化簡得出，"與k的關(guān)系，即可進(jìn)一

步討論定點(diǎn)

【詳解】⑴依題意，4（-75,0）,B（百0）,

當(dāng)動圓〃與圓A外切且與圓B內(nèi)切時，有|M4|-2=|MB|+2,即口例-|用網(wǎng)=4,

當(dāng)動圓M與圓A內(nèi)切且與圓B外切時，有|M4|+2=|歷同一2,Bp|MA|-|MB|=-4,

即||M4|-|MB||=4（＜2石=|AB|）,

動圓的圓心〃的軌跡C是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線，其中a=2,c=右，.?力=1,

???軌跡C的方程為二-丁=1；

4

（2）證明：當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為、=丘+“，P（x，y）,Q（2，%），

由『得（1-4J12）X2-Skfn