電磁場(chǎng)理論電子教案中科大1第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一主要內(nèi)容：時(shí)變電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程勢(shì)函數(shù)與推遲勢(shì)時(shí)變電磁場(chǎng)的時(shí)諧展開(kāi)定態(tài)電磁場(chǎng)與平面電磁波平面電磁波的極化概念第五章時(shí)變電磁場(chǎng)第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.1時(shí)變電磁場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)

1時(shí)變電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)稱(chēng)為時(shí)變電磁場(chǎng)。時(shí)變電磁場(chǎng)比靜態(tài)電磁場(chǎng)要復(fù)雜得多，主要表現(xiàn)在：

時(shí)變電磁場(chǎng)之間相互激勵(lì)而具有的波動(dòng)特性，波動(dòng)使時(shí)變電磁場(chǎng)的疊不僅要考慮矢量的方向，同時(shí)還要考慮波相位對(duì)疊加的影響；電磁場(chǎng)的大小和方向隨時(shí)間而變化，將導(dǎo)致介質(zhì)的極化和磁化特性隨時(shí)而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特性等。

3第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2波動(dòng)方程兩邊求旋度兩邊求旋度波動(dòng)方程第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3時(shí)變電磁場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)靜態(tài)電磁場(chǎng)可通過(guò)位（勢(shì)）函數(shù)滿足的方程進(jìn)行求解，并且可以得到簡(jiǎn)化。時(shí)變電磁場(chǎng)能否引入勢(shì)函數(shù)，通過(guò)勢(shì)函數(shù)滿足的方程來(lái)求解，達(dá)到求解時(shí)變電磁場(chǎng)的目的。是一無(wú)散矢量場(chǎng)引入勢(shì)函數(shù)將上式代入電磁感應(yīng)定律，得到5第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一是一無(wú)旋矢量場(chǎng)，可以引入標(biāo)量

函數(shù)的梯度表示，即和分別為電磁場(chǎng)的磁矢勢(shì)和電標(biāo)勢(shì)。

必須指出的是，盡管磁感應(yīng)強(qiáng)度在形式上只與磁矢勢(shì)有關(guān)，不能據(jù)此認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度由磁矢勢(shì)決定而與電標(biāo)勢(shì)無(wú)關(guān)。因?yàn)樵跁r(shí)變情形下，電磁場(chǎng)相互激發(fā)，而時(shí)變電場(chǎng)由磁矢勢(shì)和電標(biāo)勢(shì)共同描述，使得時(shí)變磁場(chǎng)本質(zhì)上與磁矢勢(shì)和電標(biāo)勢(shì)都有聯(lián)系。

6第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3勢(shì)函數(shù)的規(guī)范根據(jù)矢量場(chǎng)的Helmholtz定理，確定區(qū)域上的矢量函數(shù)只有在該矢量函數(shù)的散度和旋度及其邊界條件是確定的才能唯一確定。根據(jù)磁矢勢(shì)引入的定義，由關(guān)系式是不能唯一確定磁矢勢(shì)。例如：7第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一勢(shì)函數(shù)的非唯一性源于其磁矢勢(shì)散度的任意性。因此，要使電磁場(chǎng)與勢(shì)函數(shù)之間為唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，須給勢(shì)函數(shù)以明確的約束規(guī)定，稱(chēng)這種約束規(guī)定為勢(shì)函數(shù)的規(guī)范。

Coulomb規(guī)范：對(duì)于磁矢勢(shì)，輔以勢(shì)函數(shù)方程：8第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Lorentz規(guī)范對(duì)勢(shì)函數(shù)輔以約束條件得到勢(shì)函數(shù)滿足的方程為：這是一組標(biāo)準(zhǔn)的D’Alembert方程。上式形式上磁矢勢(shì)僅與電流有關(guān)，電標(biāo)勢(shì)僅與電荷分布有關(guān)，但它們通過(guò)Lorentz規(guī)范聯(lián)系9第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一規(guī)范變換的不變性

每一種規(guī)范建立了勢(shì)函數(shù)與時(shí)變電磁場(chǎng)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此同一電磁場(chǎng)可以有多種規(guī)范條件下的勢(shì)函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，如：由于電磁場(chǎng)的解是唯一的，不同規(guī)范下勢(shì)函數(shù)能夠描述同一電磁場(chǎng)，這意味著不同規(guī)范下的勢(shì)函數(shù)之間必然存在某種聯(lián)系，可以進(jìn)行相互變換。規(guī)范一規(guī)范二10第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如Coulomb與Lorentz規(guī)范之間11第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由此可見(jiàn)，盡管電磁場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)有多種規(guī)范，不同規(guī)范有不同的勢(shì)函數(shù)，但不同規(guī)范下的勢(shì)函數(shù)可以通過(guò)變換關(guān)系實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)換，稱(chēng)為規(guī)范變換。不同規(guī)范下的勢(shì)函數(shù)描述同一電磁場(chǎng)。勢(shì)函數(shù)作規(guī)范變換時(shí)，其所描述的物理量及其遵循的物理規(guī)律應(yīng)保持不變，稱(chēng)為規(guī)范變換的不變性12第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一1D’Alembert方程的定解問(wèn)題時(shí)變電磁場(chǎng)可歸納為不同初始條件和邊界下D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困難的。僅就無(wú)界空間的特例的解及其意義進(jìn)行討論。5.2推遲勢(shì)13第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一14第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一r15第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.3時(shí)變電磁場(chǎng)的能量1Poynting定理時(shí)變電磁場(chǎng)具有能量已被大量的事實(shí)所證明。時(shí)變電磁場(chǎng)可以脫離電荷或電流而在空間存在，且隨時(shí)間的變化在空間以波動(dòng)形式傳播。那么時(shí)變電磁場(chǎng)的能量又以何種形式存在于空間，它是否隨電磁波的傳播而在空間傳播？首先來(lái)討論時(shí)變電磁場(chǎng)能量的守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系。16第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一設(shè)有一閉合介質(zhì)空間區(qū)域V，其內(nèi)存在時(shí)變的電荷、電流和電磁場(chǎng)。

JρV場(chǎng)的能量密度設(shè)為：能量流密度矢量：由于時(shí)變電磁場(chǎng)的波動(dòng)特點(diǎn)，閉合空間內(nèi)部的電磁場(chǎng)有可能傳播到外部，外部空間的電磁場(chǎng)也有可能傳播到空間內(nèi)部，閉合空間的內(nèi)外有可能存在電磁場(chǎng)能量的交流。

根據(jù)能量守恒定律：表示場(chǎng)對(duì)荷電系統(tǒng)作用力密度

v為荷電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度

表示通過(guò)界面在單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入V內(nèi)電磁場(chǎng)的能量表示單位時(shí)間內(nèi)空間區(qū)域電磁場(chǎng)能量的增量

區(qū)域內(nèi)場(chǎng)對(duì)荷電系統(tǒng)所作的功率17第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一表示閉合空間區(qū)域V內(nèi)電磁場(chǎng)能量守恒和轉(zhuǎn)化的關(guān)系式，稱(chēng)為Poynting定理，其中

稱(chēng)為Poynting矢量

18第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一對(duì)于線性均勻各向同性介質(zhì)，2電磁場(chǎng)能量的傳播Poynting定理給出了時(shí)變電磁場(chǎng)能量傳播的一個(gè)新圖像，電磁場(chǎng)能量通過(guò)電磁場(chǎng)傳播。這對(duì)于廣播電視、無(wú)線通信和雷達(dá)等應(yīng)用領(lǐng)域是不難理解的。19第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一恒定電流或低頻交流電的情況下，場(chǎng)量往往是通過(guò)電流、電壓及負(fù)載的阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面上給人造成能量是通過(guò)電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)募傧?。I如能量真是通過(guò)電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸，常溫下導(dǎo)體中的電荷運(yùn)動(dòng)速度約10-5m/s，電荷由電源端到負(fù)載端所需時(shí)間約是場(chǎng)傳播時(shí)間（L/c）的億萬(wàn)倍負(fù)載只需經(jīng)過(guò)極短（t=L/c，其中c為光速）的時(shí)間就能得到能量的供應(yīng)。20第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一21第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.4時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理

1時(shí)變電磁場(chǎng)的唯一性定理，表述如下：如果在閉合區(qū)域V內(nèi)，①時(shí)刻的電磁場(chǎng)已知（初始條件）；②的任何時(shí)刻,電場(chǎng)或磁場(chǎng)在區(qū)域邊界上的切向分量已知，或部分邊界上電場(chǎng)而其余邊界上的磁場(chǎng)切向分量已知；則在任何時(shí)刻區(qū)域V內(nèi)存在唯一電磁場(chǎng)。22第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一唯一性定理的證明

仍用反證方法，假設(shè)有兩組解

在閉合區(qū)域V內(nèi)滿足條件①和②，但在后兩者在區(qū)域V內(nèi)不相等。應(yīng)用Poynting定理：>0<023第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.5時(shí)諧電磁場(chǎng)1時(shí)變電磁場(chǎng)的問(wèn)題

根據(jù)唯一性定理，只要區(qū)域上電磁場(chǎng)的初始狀態(tài)和邊界上電（或磁）場(chǎng)的切向分量已知，場(chǎng)的求解問(wèn)題即得到解決。實(shí)際上問(wèn)題并沒(méi)有解決。

1)初始條件：時(shí)變電磁場(chǎng)的初始狀態(tài)一般不容易準(zhǔn)確得到或根本無(wú)法得到。初始狀態(tài)無(wú)法確知24第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

2）介質(zhì)的頻率特性場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程或勢(shì)函數(shù)方程都是介質(zhì)的電磁特性參數(shù)是時(shí)不變情形下得到的。這種假設(shè)只對(duì)靜態(tài)電磁場(chǎng)或隨時(shí)間變化緩慢準(zhǔn)靜態(tài)電磁場(chǎng)才成立。一般情況下，介質(zhì)的電磁特性參數(shù)不僅是空間的函數(shù)，同時(shí)還是時(shí)間的函數(shù)。場(chǎng)和勢(shì)函數(shù)滿足方程非常復(fù)雜。25第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一

3)對(duì)于確定波動(dòng)頻率的電磁場(chǎng)，理論和實(shí)驗(yàn)都證明介質(zhì)的特性參數(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的確定常數(shù)，場(chǎng)或勢(shì)函數(shù)的波動(dòng)方程仍然成立。不同的頻率不同。26第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一諧變電磁場(chǎng)1)

諧變電磁場(chǎng)及其復(fù)數(shù)表示

隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化的電磁場(chǎng)稱(chēng)為諧變電磁場(chǎng)。其一般形式(以電場(chǎng)為例）是：

圓頻率為電場(chǎng)強(qiáng)度的初相位，應(yīng)用復(fù)數(shù)表示

27第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2）諧變電磁場(chǎng)中的介質(zhì)特性

實(shí)驗(yàn)和理論都證明，對(duì)于諧變電磁場(chǎng)，線性均勻各向同性介質(zhì)的極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度和傳導(dǎo)電流密度也是諧變量，即：28第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3)諧變電磁場(chǎng)的Maxwell方程

考慮到諧變量的如下運(yùn)算關(guān)系:

將時(shí)變電磁場(chǎng)的Maxwell方程組中的各物理量換為諧電磁場(chǎng)量29第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4）諧變電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程在諧變電磁場(chǎng)中，介質(zhì)的特性參數(shù)為常數(shù)，場(chǎng)量或勢(shì)函數(shù)滿足的波動(dòng)方程為L(zhǎng)orentz規(guī)范條件

30第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一由于介質(zhì)特性參數(shù)是頻率的函數(shù)，不同頻率的諧變電磁場(chǎng)在介質(zhì)中傳播速度v不同，波長(zhǎng)也不相同。這一現(xiàn)象稱(chēng)為介質(zhì)的色散，具有色散特性的介質(zhì)稱(chēng)為色散介質(zhì)。

tE信號(hào)頻率分布f光纖傳輸傳輸后變型的信號(hào)被傳輸?shù)男盘?hào)E31第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一諧變電磁場(chǎng)問(wèn)題最終為求非齊次Helmholtz方程在相應(yīng)邊界條件下的解，不再需要初始條件。這是不難理解的，因?yàn)橹C變電磁場(chǎng)意味著自無(wú)窮遠(yuǎn)的過(guò)去到無(wú)窮遠(yuǎn)的未來(lái)隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化，不存在場(chǎng)的初始狀態(tài)。因?yàn)閳?chǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律已由諧變（時(shí)諧或正弦）所描述，因此只需要求場(chǎng)關(guān)于空間的分布。32第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3任意時(shí)變電磁場(chǎng)的時(shí)諧展開(kāi)對(duì)于線性均勻各向同性介質(zhì)，諧變電磁場(chǎng)的方程簡(jiǎn)單而又不需要初始條件。這一事實(shí)，使得我們可以從新考慮一般時(shí)變電磁場(chǎng)的求解方法。按照

Fourier變換的觀點(diǎn)，任何時(shí)變電磁場(chǎng)信號(hào)，都可以表示為不同頻率、不同振幅和不同初始相位的諧變電磁場(chǎng)信號(hào)的疊加，即：頻率為ω的諧變電磁場(chǎng)33第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一因此時(shí)變電磁場(chǎng)可以通過(guò)先求，再通過(guò)求逆Fourier變換獲得一般問(wèn)題的解。從而避免時(shí)變電磁場(chǎng)初始條件確定的困難。諧變電磁場(chǎng)又稱(chēng)為正弦電磁場(chǎng)或稱(chēng)為定態(tài)電磁場(chǎng)。因此今后在沒(méi)有特別說(shuō)明的情形下，主要討論諧變電磁場(chǎng)問(wèn)題。34第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一關(guān)于初始條件對(duì)電磁場(chǎng)影響的處理時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題通過(guò)Fourier變換轉(zhuǎn)變?yōu)橹C變電磁場(chǎng)問(wèn)題來(lái)求解。避免了初始條件確定的困難。但是無(wú)線電系統(tǒng)工作的初始狀態(tài)（條件）并不因?yàn)椴捎貌煌奶幚矸椒ǘ?，必然要?duì)系統(tǒng)的工作產(chǎn)生影響。這種影響通過(guò)噪聲表現(xiàn)出來(lái)。35第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.6均勻平面電磁波1.電磁波的激發(fā)當(dāng)天線饋以隨時(shí)間諧變的電流，諧變電流將在其周?chē)ぐl(fā)出隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的磁場(chǎng)，諧變的磁場(chǎng)又將激發(fā)出諧變的電場(chǎng)。導(dǎo)線外部空間諧變電磁場(chǎng)相互激發(fā)并向外延伸傳播，形成電磁波。源區(qū)36第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.平面電磁波方程無(wú)源的介質(zhì)空間中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)通過(guò)如下關(guān)系相聯(lián)系，只需求解電場(chǎng)或磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)的解即可得到。比如電場(chǎng)滿足的方程是：考慮到在無(wú)源空間中。電磁場(chǎng)的三個(gè)分量不是完全獨(dú)立的。所以在無(wú)源空間區(qū)域上電磁場(chǎng)只有兩個(gè)獨(dú)立的變量。37第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.均勻平面電磁波特性

作為諧變電磁場(chǎng)方程解的特例，設(shè)電場(chǎng)僅為直角坐標(biāo)變量z的函數(shù)，其方程為

方程的通解是第一項(xiàng)代表沿Z軸正向傳播的電磁波第二項(xiàng)代表沿Z軸負(fù)向傳播的電磁波38第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一只考慮沿Z的正向傳播的波，其相位等于常數(shù)的各點(diǎn)在空間描繪的曲面（稱(chēng)這曲面為等相位面）為平面，其方程為：

因此稱(chēng)為平面電磁波。又由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振幅在傳播過(guò)程中為常數(shù)，故稱(chēng)為均勻平面電磁波。39第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一①均勻平面電磁波是橫電磁波（TEM波）均勻平面電磁波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)、傳播方向相互垂直。波在傳播方向上沒(méi)有電磁場(chǎng)分量，稱(chēng)為橫電磁波傳播方向z電場(chǎng)E磁場(chǎng)H40第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一均勻平面電磁波的波阻抗為常數(shù)均勻平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)振幅之比為介質(zhì)電磁特性參數(shù)決定的常數(shù)，其值為

這是一個(gè)很重要的物理量，它具有阻抗量綱，稱(chēng)為波阻抗。

ZinR41第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一③平面電磁波的能流密度矢量，其方向?yàn)椴▊鞑サ姆较?，其大小為平面電磁波能量密度與波傳播速度的積

42第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4平面電磁波的極化

平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)與波傳播方向垂直。在z軸的某一固定點(diǎn)上，電（或磁）場(chǎng)矢量的大小和方向一般隨時(shí)間而變。電（或磁）場(chǎng)矢量末端軌跡隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的方式稱(chēng)為電（或磁）場(chǎng)的極化。xyt1t2t3電場(chǎng)矢量