關(guān)于推土機(jī)生產(chǎn)計(jì)劃的模型一、摘要在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的今天，我們很多企業(yè)必須根據(jù)市場(chǎng)的供求關(guān)系來確定一個(gè)季度或一個(gè)月的生產(chǎn)計(jì)劃以確保企業(yè)既不出現(xiàn)庫(kù)空也不出現(xiàn)堆積，從而實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。為了實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化而計(jì)算每月的生產(chǎn)額時(shí)必須考慮三個(gè)主要因素：生產(chǎn)成本、銷售費(fèi)用以及貯存費(fèi)用。成產(chǎn)成本包括固定成本和可變成本?？勺兂杀九c生產(chǎn)臺(tái)數(shù)和建材價(jià)格上漲幅度有關(guān)，利用它們的關(guān)系寫出表達(dá)式。銷售費(fèi)用與當(dāng)月的銷售額成正比，得出銷售費(fèi)用。而貯存費(fèi)用和每月的銷售額、生產(chǎn)額以及上月庫(kù)存有關(guān)，進(jìn)而得出貯存費(fèi)用表達(dá)式。由于數(shù)據(jù)不全，我們將利潤(rùn)最大化轉(zhuǎn)化為成本和費(fèi)用最小。綜合以上的分析利用非線性規(guī)劃建立起動(dòng)態(tài)模型，利用逆推解法和順推解法進(jìn)行求解。值得注意的是我們將生產(chǎn)能力分為有限和無限兩類情況。當(dāng)生產(chǎn)能力有限時(shí)：成本和費(fèi)用之和為：3492.65（萬）生產(chǎn)計(jì)劃：一月生產(chǎn)33臺(tái)，二月生產(chǎn)34臺(tái)，三月生產(chǎn)31臺(tái)，四月生產(chǎn)31臺(tái)，五月生產(chǎn)29臺(tái)，六月生產(chǎn)29臺(tái)

當(dāng)生產(chǎn)能力有限時(shí)（工廠每月生產(chǎn)量的上限為33臺(tái)推土機(jī)）時(shí)：成本和費(fèi)用之和：3595.75（萬）生產(chǎn)計(jì)劃：一月生產(chǎn)22臺(tái)，二月生產(chǎn)33臺(tái)，三月生產(chǎn)33臺(tái)，四月生產(chǎn)34臺(tái)，五月生產(chǎn)33臺(tái)，六月生產(chǎn)33臺(tái)；或者一月生產(chǎn)33臺(tái)，二月生產(chǎn)22臺(tái)，三月生產(chǎn)33臺(tái)，四月生產(chǎn)33臺(tái)，五月生產(chǎn)33臺(tái)，六月生產(chǎn)33臺(tái)。關(guān)鍵詞：生產(chǎn)額

成本

費(fèi)用

非線性規(guī)劃

動(dòng)態(tài)規(guī)劃二、問題重述廈門市某重型機(jī)械廠通過對(duì)歷史資料進(jìn)行回歸分析（即數(shù)據(jù)擬合），并給合今年上半年可能出現(xiàn)的影響推土機(jī)銷售的因素，預(yù)測(cè)該廠2011年上半年的銷售情況如下表所示：月份123456銷售量（臺(tái)）423241672529

該廠的推土機(jī)2010年12月的銷售均價(jià)為48萬元/臺(tái)，今年上半年的售價(jià)保持不變。2010年12月末尚有49臺(tái)未售出。推土機(jī)從計(jì)劃生產(chǎn)到售出會(huì)發(fā)生下列費(fèi)用：（1）生產(chǎn)成本，包括固定成本（主要是指廠房、機(jī)器設(shè)備的折舊）和可變成本（鋼材、其他材料和人工成本等，其中人工成本在可變成本中占到大約40%），按照2010年12月份的建材價(jià)格計(jì)算，可變成本（萬元）與推土機(jī)生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的平方成正比，比例系數(shù)為0.5。且可變成本與建材價(jià)格上漲幅度有關(guān)，例如建材價(jià)格上漲10%，則可變成本是按前面方法計(jì)算結(jié)果的1.1倍。（2）銷售費(fèi)用，與當(dāng)月的銷售金額成正比。（3）貯存費(fèi)，生產(chǎn)出的推土機(jī)未售出的必須貯存，即該廠生產(chǎn)的推土機(jī)平均每臺(tái)每月的貯存費(fèi)為0.1萬元。2010年以來，央行和發(fā)改委出臺(tái)了一系列措施平抑建材價(jià)格，但由于對(duì)建材需求結(jié)構(gòu)而言，總體上求大于供的市場(chǎng)狀況沒有得到根本改善，預(yù)計(jì)今年上半年建材的價(jià)格仍會(huì)有一定的增長(zhǎng)。預(yù)計(jì)的增長(zhǎng)速度（以2010年12月的價(jià)格為基準(zhǔn)）見下表：月份123456增長(zhǎng)速度10%10%20%20%30%30%

該廠希望在上半年就把生產(chǎn)的推土機(jī)全部銷售完，為使利潤(rùn)最大化，需要制定出從2011年1月到6月每月的生產(chǎn)計(jì)劃（即每月完成多少臺(tái)）。（1）如果該廠的月生產(chǎn)能力沒有限制，并且允許期貨（即尚未下線的推土機(jī)）銷售，但在6月底前要全部完成交貨，如何制定月生產(chǎn)計(jì)劃？（2）如果該廠每月的生產(chǎn)能力限于33臺(tái)，并且允許期貨（即尚未下線的推土機(jī)）銷售，但在6月底前要全部完成交貨，又該如何制定月生產(chǎn)計(jì)劃？三、問題分析在一段時(shí)間內(nèi)，工廠生產(chǎn)產(chǎn)品，就是為了把產(chǎn)品銷售出去，然后得到盈利或者虧本，而盈利和虧本的或多或少，由很多因素決定，每個(gè)工廠都想在這段時(shí)間內(nèi)獲得最大經(jīng)濟(jì)效益而不想虧本，即使工廠在這段時(shí)間內(nèi)是虧本的，也想虧的最少。所以在推土機(jī)的生產(chǎn)和銷售過程中為了獲得最大的利潤(rùn)，我們就對(duì)推土機(jī)的生產(chǎn)和銷售給出以下的分析，同時(shí)給出了生產(chǎn)和銷售的方案。問題1：目的是在實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大的同時(shí)給出生產(chǎn)計(jì)劃。公司上半年生產(chǎn)的推土機(jī)都要售完，其中銷售收入是固定的，和月進(jìn)度計(jì)劃是無關(guān)的，可以直接計(jì)算。銷售費(fèi)用與當(dāng)月的銷售金額成正比，而與生產(chǎn)計(jì)劃無關(guān)。固定費(fèi)用是固定的支出，可以設(shè)為一個(gè)定值。而生產(chǎn)成本中的人工成本也是固定的。唯一可變的是推土機(jī)的貯存費(fèi)用和收生產(chǎn)材料影響的可變成本。所以最大利潤(rùn)就等于銷售總金額-(成產(chǎn)成本+銷售費(fèi)用+貯存費(fèi)用)。問題2：由于多了一個(gè)約束條件該廠每月的生產(chǎn)能力限于33臺(tái)，模型的建立與問題1的一樣。在問題1求解基礎(chǔ)上，因?yàn)樯厦娴慕Y(jié)果已使得盈利最大，現(xiàn)在只需要將大于生產(chǎn)能力的月份的工作分給別的月份去做，使分的時(shí)候盈虧達(dá)到最小，從而盈利可以得到最大。四、基本假設(shè)（1）時(shí)間分為6個(gè)月，每個(gè)月有30天；（2）在六個(gè)月內(nèi)推土機(jī)性能都不會(huì)發(fā)生變化；（3）在月尾也就是在每月的30號(hào)完成該月的銷售和交貨；（4）生產(chǎn)中的固定成本一定；（5）每月的銷售量一定為預(yù)測(cè)的銷售量，所以6個(gè)月的銷售總量一定，建材的上漲比例也一定正確；（6）推土機(jī)要求在6月份全部銷售完；（7）只要當(dāng)月有推土機(jī)未出售，就算貯存費(fèi)用。（8）所有的生產(chǎn)線在工作時(shí)不產(chǎn)生重大事故影響正常生產(chǎn)。五、符號(hào)說明：表示每個(gè)月的生產(chǎn)量，單位為臺(tái)；：表示每個(gè)月的銷售量，單位為臺(tái)；：表示第月底還剩的機(jī)器臺(tái)數(shù)；=0…6;：表示2010年12月末尚有臺(tái)未售出。：每臺(tái)的銷售價(jià)格；：可變成本（萬元）與推土機(jī)生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的平方成正比的比例系數(shù)；：該廠生產(chǎn)的推土機(jī)平均每臺(tái)每月的貯存費(fèi)為0.1萬元；：銷售費(fèi)用與銷售金額的比例系數(shù)；M：該廠生產(chǎn)推土機(jī)所用到的固定成本；：第月生產(chǎn)出的推土機(jī)所需的可變成本；：第月未售出的推土機(jī)量所需貯存的費(fèi)用；：第月由于建材價(jià)格上漲，使可變成本多增加的倍數(shù);Z:表示最大利潤(rùn)；六、模型的建立與求解6.1模型1的建立該廠希望在上半年就把生產(chǎn)的推土機(jī)全部銷售完，為使利潤(rùn)最大化，必須使生產(chǎn)和銷售相符，而且使成產(chǎn)成本和銷售費(fèi)用以及貯存費(fèi)用最小。因?yàn)椋轰N售額=每臺(tái)機(jī)器的銷售價(jià)格×所銷機(jī)器的臺(tái)數(shù)；生產(chǎn)成本=固定成本+可變成本；銷售費(fèi)用=當(dāng)月銷售金額×；貯存費(fèi)=需要貯存的臺(tái)數(shù)×每臺(tái)每月的貯存費(fèi)；所以：max

z=模型中約束條件的說明：因?yàn)榈谠律a(chǎn)的推土機(jī)加上上個(gè)月底售不出的推土機(jī)就是為這個(gè)月總的推土機(jī)（臺(tái)）（即為第個(gè)月總共的推土機(jī)），由于在這個(gè)月售出的推土機(jī)為，所以到了這個(gè)月底還有的推土機(jī)為：

其中表示第一個(gè)月初就有推土機(jī)（即為2010年12月底沒售出的推土機(jī)），=0是因?yàn)樵诘?個(gè)月底就要把所有的推土機(jī)都售出，即沒有剩下的推土機(jī)，所以第7個(gè)月初就沒有推土機(jī).運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)式分析對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢(shì)提供了量化的度量，非常適合動(dòng)態(tài)歷程分析，這時(shí)本題就轉(zhuǎn)換為求解下列非線性規(guī)劃模型：決策變量：用表示第個(gè)月推土機(jī)計(jì)劃生產(chǎn)的機(jī)數(shù)（i=1,2,3,4,5,6）顯然它們應(yīng)當(dāng)是非負(fù)整數(shù)。約束條件：為了滿足該廠實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大的要求，,,,;6.2模型1的運(yùn)用與求解在計(jì)算利潤(rùn)最大可以轉(zhuǎn)化成求總的花費(fèi)最小，又因?yàn)殇N售費(fèi)用和生產(chǎn)量無關(guān)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將銷售費(fèi)用也設(shè)為定值。所以上述模型可轉(zhuǎn)化成求如下動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型：利用貝爾曼方程的最優(yōu)化原理與嵌入原理，以下就是分別利用逆向遞推和順向遞推的方法解出方程(1)逆向遞推求解貝爾曼基礎(chǔ)方程(1)

將代入（1）得：(2)令得：代入（2）式得到（3）令得：代入（3）式得：（4）令代入（4）式（5）令代入（5）式得：（2）順向遞推求解和\‘即得出可變成本和貯存費(fèi)用之和最小，從而實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。

建造月進(jìn)度計(jì)劃見下表：月份123456銷售量（臺(tái)）423241672529生產(chǎn)量（臺(tái)）333431312929

6.3模型2的建立由于多了一個(gè)約束條件該廠每月的生產(chǎn)能力限于33臺(tái)，模型的建立與問題1的一樣。模型的約束條件的說明：

因?yàn)榈趥€(gè)月生產(chǎn)的推土機(jī)，加上上個(gè)月底售不出的推土機(jī)（即為第個(gè)月初的推土機(jī)）就是為這個(gè)月總的推土機(jī)臺(tái)數(shù)（臺(tái)），由于在這個(gè)月售出的推土機(jī)為，所以到了這個(gè)月底還有的推土機(jī)為：;

其中表示第一個(gè)月初就有推土機(jī)（即為2010年12月底售不出的推土機(jī)），=0是因?yàn)樵诘?個(gè)月底就要把所有的推土機(jī)都售出，即沒有剩下的推土機(jī)，所以第7個(gè)月初就沒有推土機(jī).因?yàn)槊總€(gè)月生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)都是整數(shù)的，同時(shí)公司的月生產(chǎn)能力也有所限制，不超過33臺(tái)，所以在模型的約束條件中多了所以：max

z=約束條件：，,,,;因?yàn)樵趩栴}1中我們已經(jīng)計(jì)算出最大利潤(rùn)，而現(xiàn)在對(duì)機(jī)器的生產(chǎn)能力進(jìn)行了限制，規(guī)定每月最多只能限制33臺(tái)，所以我們只需對(duì)生產(chǎn)量超過33的月份進(jìn)行調(diào)整，使虧損最小就可以得出解。6.4模型二的運(yùn)用與求解根據(jù)第一問的結(jié)果我們先將每月的成本分別計(jì)算出來。（這里沒有考慮固定成本和銷售費(fèi)用）。月123456成本計(jì)算成本602.95640579.8576.6546.65546.65

費(fèi)用越小分給的工作量就越大，但也有個(gè)范圍，而不是無限制的分，即要滿足生產(chǎn)能力的33臺(tái)才可以分。通過計(jì)算分得的結(jié)果為以下兩種情況,如下表月份123456情況一臺(tái)數(shù)223333333333情況二臺(tái)數(shù)332233333333

七、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)：建立相關(guān)多元線性模型，對(duì)推土機(jī)生產(chǎn)計(jì)劃做了明確的指導(dǎo)，預(yù)測(cè)模型誤差較小，適用于各方面類似的預(yù)測(cè)問題，具有很好地普便使用性。此模型層次替推，之間的邏輯清晰，便于理解。運(yùn)用此模型可以十分準(zhǔn)確地推測(cè)不同的生產(chǎn)計(jì)劃對(duì)銷售推土機(jī)最終的獲利情況影響的比重。缺點(diǎn)：由于材料所給數(shù)據(jù)不全，所以建立的模型不能更深入的計(jì)算出具體獲利情況;因?yàn)楹芏鄶?shù)據(jù)還都是預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上,而我們是假設(shè)這些數(shù)據(jù)如未來預(yù)測(cè)的一樣,所以與實(shí)際情況可能有差入。并且我們?cè)诜治鰡栴}將固定資本和銷售費(fèi)用看做一個(gè)常量，在一定量上簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，但卻使最大利潤(rùn)產(chǎn)生偏差。改進(jìn)：鑒于以上問題我們可以做一下幾方面的改進(jìn)，首先，在固定資產(chǎn)的折舊方面可以將需要計(jì)算的工廠的歷年數(shù)據(jù)用回歸分析法進(jìn)行折舊處理，從而計(jì)算固定資產(chǎn)的折舊費(fèi)用。再次，銷售費(fèi)用也可根據(jù)市場(chǎng)的調(diào)查數(shù)據(jù)報(bào)告采用層次分析法具體分析，比較準(zhǔn)確的計(jì)算銷售費(fèi)用。八、模型的推廣通常人們可以通過事物外界的一些特征來了解其內(nèi)部的進(jìn)行機(jī)