第19頁/共19頁第二學期3月月考高二數學試題試卷分數：150分考試時間：120分鐘一?單項選擇題（本題共8小題，每小題滿分5分，共40分）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合復數的除法運算即可.【詳解】∵，∴.故選：A．2.二項式的展開式的常數項為60，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再求出常數項，由常數項為60，列方程可求出的值【詳解】，令，所以.令，解得，故選：C.3.已知函數，則（）A.0 B.1 C.e D.2【答案】D【解析】【分析】對求導后，將代入即可求解.【詳解】因為，所以，所以，故選：D4.已知為等比數列,,,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可得的值，進而由和可得解.【詳解】或.由等比數列性質可知或故選D.【點睛】本題主要考查了等比數列的下標的性質，屬于中檔題.5.“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.非充分非必要條件【答案】C【解析】【分析】利用“”“”，即可判斷出結論.【詳解】解：“”“”，“”是“”的充要條件.故選：C.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、不等式的解法，屬于基礎題.6.已知三條直線，，不能構成三角形，則實數的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得到直線與直線和直線分別平行時或直線過直線和直線的交點時，三條直線不能構成三角形，再分別計算相應的值即可.【詳解】由題知：①當直線與直線平行時，三條直線不能構成三角形.即.②當直線與直線平行時，三條直線不能構成三角形.即.③當直線過直線與直線交點時，三條直線不能構成三角形.所以，解得將代入，解得.所以實數的取值集合為.故選：D【點睛】本題主要考查直線間的位置關系，屬于簡單題.7.已知多項選擇題的四個選項、、、中至少有兩個選項正確，規(guī)定：如果選擇了錯誤選項就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機選了兩個選項，則其得分的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解.【詳解】由題得從4個選項里選兩個選項，共有種方法，從3個正確選項里選擇兩個選項，共有種方法.由古典概型的概率公式得所求的概率為.故選：A【點睛】方法點睛：利用古典概型的概率公式求解，先要求出基本事件的總數，再求出事件A的基本事件的數量，再利用古典概型的概率公式求解.8.若一個三棱錐的底面是斜邊長為的等腰直角三角形，三條側棱長均為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據側棱相等的三棱錐的頂點在底面的投影為底面三角形的外心，而球心在過底面三角形外心且與底面垂直的直線上，構造三角形借助勾股定理可解.【詳解】三條側棱棱長相等，∴P在底面的射影D是的外心，又∵是斜邊為BC的等腰直角三角形，∴D是BC中點，易知直線PD上的點到A、B、C的距離相等，故三棱錐外接球的球心O在直線PD上，記球的半徑為R，則直角三角形BOD中有，，故外接球表面積為.故選：D二?多項選擇題（本題共4小題，共20分.每題的四個選項中，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.已知數列的前n項和為，，則（）A.是等差數列B.不是等差數列C.若是遞增數列，則a的取值范圍是D.若是遞增數列，則a的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】利用等差數列的前n項和為一元二次函數且沒有常數項，可判斷不是等差數列;利用是遞增數列對于恒成立，可解出的取值范圍.【詳解】對于AB:等差數列的前n項和為對應的函數為為一元二次函數且沒有常數項,因為，有常數項.所以不是等差數列.故B正確.對于CD:因為，所以.若是遞增數列，則則.故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查等差數列前n項和公式性質與遞增數列的性質.屬于基礎題.10.點在圓上，點在圓上，則（）A.的最小值為3 B.的最大值為7C.兩個圓心所在的直線斜率為 D.兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標，以及半徑和，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關系是外離，又為圓上的點，為圓上的點，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標，半徑圓，即的圓心坐標，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯誤.故答案：ABC11.設函數，已知在上有且僅有1個極大值點，則下列四個結論中正確的有（）A.在內有5個零點 B.在有2個極小值點C.在上單調遞增 D.可以取【答案】BD【解析】【分析】根據函數求出函數的周期為，再結合在上有且僅有1個極大值點畫出函數圖象，由圖象可判斷ABC，求得的值及相關性質可判斷D.【詳解】因為函數的最小正周期，又因為在上有且僅有1個極大值點，所以函數的圖象如圖所示.所以在內有4個零點，在有2個極小值點，在上單調遞減，由解得，.所以BD正確，AC錯誤.故選：BD.【點睛】本題考查三角函數的圖象和性質的綜合應用，關鍵點是畫出函數的圖象，考查了學生分析問題、解決問題的能力.12.，若，則下列結論正確的有（）A. B.C.二項式系數的和為 D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二項式定理求出的值，可判斷A選項；利用賦值法可判斷BD選項；利用二項式系數和可判斷C選項.【詳解】對于A選項，，可得，A對，對于B選項，因為，所以，，B錯；對于C選項，二項式系數的和為，C對；對于D選項，，D對.故選：ACD.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.計算：________.【答案】【解析】【分析】直接根據組合數和排列數公式計算可得；【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查組合數、排列數的計算，屬于基礎題.14.曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】求導，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點睛】求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數在該點處的導數值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理.15.設A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】【分析】分焦點在軸上兩種情況進行討論,再根據臨界條件點在橢圓的短軸端點上,進而求解的臨界值,進而求得取值范圍即可.【詳解】假設橢圓的焦點在x軸上,則0＜m＜3時,假設M位于短軸的端點時,∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：0＜m≤1；當橢圓的焦點在y軸上時,m＞3,假設M位于短軸的端點時,∠AMB取最大值,要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,∴m的取值范圍是（0,1]∪[9,+∞）故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓中的范圍問題,主要是臨界條件的分析方法,屬于中檔題.16.若直角坐標平面內兩點滿足點都在函數的圖像上，且點關于原點對稱，則稱是函數一個“姊妹點對”（與可看作同一“姊妹點對”）.已知則的“姊妹點對”有_______個.【答案】2.【解析】【分析】根據題意可知，只需作出函數y=x2+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數交點個數即可．【詳解】根據題意可知，“友好點對”滿足兩點：都在函數圖象上，且關于坐標原點對稱.可作出函數的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數交點個數即可.如圖所示：當時，觀察圖象可得：它們有2個交點.故答案為：2.【點睛】本題考查函數的新定義問題，根據已知條件將問題轉化為零點個數問題，利用數形結合畫出圖像即可求解，屬于中等題.四?解答題（本大題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在公差為2的等差數列中，，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據等差數列的公差為,得到,,再根據,,成等比數列,由等比中項公式得出首項,代入通項公式即可得通項.（2）由（1）得,數列,是等差加等比的形式,所以數列求和用分組求和即可..【詳解】解：（1）∵的公差為,∴,.∵,,成等比數列,∴,解得,從而.（2）由（1）得,.【點睛】本題考查等差數列的通項公式和分組求和,是數列中最基本的運算,屬于基礎題.18.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點：正余弦定理解三角形.19.在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作輔助線，證明，，即證明平面PAC，根據線面垂直的性質及可證明結論；（2）取CD中點為點F，連接AF，PF,證明平面PAF，從而說明是二面角的平面角．解直角三角形APF,即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接AC交于BD點O,因為底面ABCD是菱形，所以．又因為平面ABCD，平面ABCD，，又因為，所以平面PAC，平面PAC，所以．【小問2詳解】取CD中點為點F，連接AF，PF,因為底面ABCD是菱形，，所以是等邊三角形，所以．因平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以平面PAF，平面PAF，所以，所以是二面角的平面角．因為，則,因為，所以，所以,所以二面角的正弦值為．20.2020年某地蘋果出現滯銷現象，為了幫助當地果農度過銷售難關，當地政府與全國一些企業(yè)采用團購的方式帶動銷售鏈，使得當地果農積壓的許多蘋果有了銷路．為了解果農們蘋果的銷售量情況，當地農業(yè)局隨機對100名果農的蘋果銷售量進行統計，將數據按照，，，分成4組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試估計這100名果農蘋果銷售量的平均數；（2）根據題中的頻率分布直方圖，估計銷售量樣本數據的80%分位數（結果精確到0.1）；（3）假設這100名果農在未打開銷路之前都積壓了2萬千克的蘋果，通過團購的方式果農每千克蘋果的純利潤為1.3元，而積壓仍未售出的蘋果每千克將損失2元的成本費，試估計這100名果農積壓的蘋果通過此次團購活動獲得的總利潤．【答案】（1）平均數為1.4萬千克；（2）156.7；（3）62萬元.【解析】【分析】（1）平均數為長方形面積與各組中點的乘積再求和；（2）前三個長方形面積之和為0.7，小于0.8，那么在第四個長方形中取面積為0.1的長方形即可，且80%分位數為；（3）算出每組每位果農獲得的利潤，然后求出總利潤.【詳解】解：（1）設這100名果農蘋果銷售量的平均數為百千克，則，故這100名果農蘋果銷售量的平均數為1.4萬千克．（2）因為，，所以80%分位數在第4組內，且80%分位數為．（3）銷售量在的每位果農的利潤為萬元；銷售量在的每位果農的利潤為萬元；銷售量在的每位果農的利潤為萬元；銷售量在的每位果農的利潤為萬元．因為，，，這4組的人數分別為5，20，45，30，所以這100名果農積壓的蘋果通過此次團購活動獲得的總利潤約為萬元．21.已知橢圓的離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在實數m，使直線與橢圓交于A，B兩點，且線段AB的中點在圓上？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據題意得出關系，求出即可得出橢圓方程；（2）聯立直線與橢圓方程，利用判別式得出，得出中點關系，根據中點在圓上求出即可判斷.【詳解】解：（1）由題意得，解得故橢圓的方程為．（2）設，，線段AB的中點為．聯立直線與橢圓的方程得即，所以，即，且，，即，又因為M點在圓上，所以，解得，與矛盾，故實數m不存在．【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設交點為，；（2）聯立直線與曲線方程，得到關于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達定理；（4）將所求問題或題中關系轉化為形式；（5）代入韋達定理求解.22.已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直.（1）求的值及的極值；（2）是否存在區(qū)間，使函數在此區(qū)間上存在極值和零點？若存在，求實數的取值范圍，若不存在，請說明理由；（3）若不等式對任意恒成立，求整數的最大值.【答案】（1），在處取得極大值1，無極小值；（2）存在符合條件的區(qū)間，實數的取值范圍為；（3）整數的最大值為3．【解析】【分析】（1）求出函數的導數，計算的值，求出的值，從而求出的解析式，求出函數的單調區(qū)間，得到函數的極值即可；（2）畫出函數的圖象，結合圖象求出的范圍即可；（3）問題可化為，令，，根據函數的單調性求出的最大值即可．【詳解】（1）由，得．因為在點，（e）處的切線與直線垂直，所以，解得，所以，令，得．因為當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故在處