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文檔簡介
課題:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)
教學(xué)目的:
1.理解,善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,認(rèn)識規(guī)律,掌握規(guī)律,利用規(guī)律.
教學(xué)重點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的概念與應(yīng)用
教學(xué)難點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入與理解
授課類型:新授課
課時安排:1課時
教具:多媒體、實物投影儀
內(nèi)容分析:
復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的重點,也是導(dǎo)數(shù)的難點.要弄清每一步的求導(dǎo)是哪個變
量對哪個變量的求導(dǎo).求導(dǎo)時對哪個變量求導(dǎo)要寫明,可以通過具體的例子,讓學(xué)生
對求導(dǎo)法則有一個直觀的了解
教學(xué)過程:
一、復(fù)習(xí)引入:
1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
C'0;(xn)'nxn1;(sinx)'cosx;(cosx)'sinx
2.法則1[u(x)v(x)]'u'(x)v'(x).
法則2[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x),[Cu(x)]Cu'(x)
u'u'vuv'
法則3(v0)
vv2
二、講解新課:
1.復(fù)合函數(shù):由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),叫復(fù)合函數(shù).由函數(shù)yf(u)與
u(x)復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是yf[(x)],其中u稱為中間變量.
2.求函數(shù)y(3x2)2的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路:
方法一:y[(3x2)2](9x212x4)18x12;
x
方法二:將函數(shù)y(3x2)2看作是函數(shù)yu2和函數(shù)u3x2復(fù)合函數(shù),并分
1/7
別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下:
y(u2)2u,u(3x2)3
ux
兩個導(dǎo)數(shù)相乘,得
yu2u32(x32)3x18,
ux
從而有y'y'u'
xux
對于一般的復(fù)合函數(shù),結(jié)論也成立,以后我們求y時,就可以轉(zhuǎn)化為求y′和u′
′xux
的乘積,關(guān)鍵是找中間變量,隨著中間變量的不同,難易程度不同.
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)u=x),函數(shù)y=f(u)在點
′x′(
x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)y=fu),則復(fù)合函數(shù)y=f((x))在點x處也有導(dǎo)數(shù),且
′u′(
y'y'u'或f′((x))=f′(u)′(x).
xuxx
證明:(教師參考不需要給學(xué)生講)
設(shè)x有增量Δx,則對應(yīng)的u,y分別有增量Δu,Δy,因為u=φ(x)在點x可導(dǎo),
所以u=(x)在點x處連續(xù).因此當(dāng)Δx→0時,Δu→0.
yyuyy
當(dāng)Δu≠0時,由.且limlim.
xuxx0uu0x
yyuyuyu
∴l(xiāng)imlimlimlimlimlim
x0xx0uxx0ux0xu0ux0x
即y'y'u'(當(dāng)Δu=0時,也成立)
xux
4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對
自變量的導(dǎo)數(shù)
5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代.
三、講解范例:
例1試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的?
⑴y(2x2)3;⑵ysinx2;
⑶ycos(x);⑷ylnsin(3x1).
4
2/7
解:⑴函數(shù)y(2x2)3由函數(shù)yu3和u2x2復(fù)合而成;
⑵函數(shù)ysinx2由函數(shù)ysinu和ux2復(fù)合而成;
⑶函數(shù)ycos(x)由函數(shù)ycosu和ux復(fù)合而成;
44
⑷函數(shù)ylnsin(3x1)由函數(shù)ylnu、usinv和v3x1復(fù)合而成.
說明:討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時,“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù),
如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.
例2寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù):
⑴ycosu,u1x2;⑵ylnu,ulnx.
解:⑴ycos(1x2);⑵yln(lnx).
例3求y(2x1)5的導(dǎo)數(shù).
解:設(shè)yu5,u2x1,則
y'y'u'(u5)'(2x1)'
xuxx
5u425(2x1)3210(2x1)4.
注意:在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).
有時復(fù)合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成,所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,先要弄
清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,特別要注意將哪一部分看作一個整
體,然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).
例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).
解:令y=f(x)=sinu;u=x2
∴y'y'u'=(sinu)′·(x2)′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2
xuxux
∴f′(x)=2xcosx2
例5求y=sin2(2x+)的導(dǎo)數(shù).
3
分析:設(shè)u=sin(2x+)時,求u′,但此時u仍是復(fù)合函數(shù),所以可再設(shè)v=2x+.
3x3
3/7
解:令y=u2,u=sin(2x+),再令u=sinv,v=2x+
33
∴y'y'u'=y′(u′·v′)
xuxuvx
∴y′=y′·u′·v′=(u2)′·(sinv)′·(2x+)′
xuvxuv3x
=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2
33
2
=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)
333
2
即y′=2sin(4x+)
x3
例6求y3ax2bxc的導(dǎo)數(shù).
解:令y=3u,u=ax2+bx+c
2
1
∴y'y'u'=(3u)′·(ax2+bx+c)′=u3·(2ax+b)
xuxux3
2
12axb
=(ax2+bx+c)3(2ax+b)=
333(ax2bxc)2
2axb
即y=
′x
33(ax2bxc)2
1x
例7求y=的導(dǎo)數(shù).
5x
1x
解:令y5u,u
x
1x
∴y'y'u'=(5u)′·()′
xuxuxx
44
1(1x)x(1x)x11xx(1x)
u5()5
5x25xx2
4/7
1111
2
1xx55(1x)4x65x5(xx2)4
5()4
5x
1
即y=-
′x
5x5(xx2)4
1
例8求y=sin2x的導(dǎo)數(shù).
11
解:令y=u2,u=sinx,再令u=sinv,v=x
1
∴y'y'u'·v′=(u2)′·(sinv)′·()′
xuxxuvxx
0111112
-
=2u·cosv·=2sinx·cosx·=x2·sinx
x2x2
12
∴y=-sin
′xx2x
例9求函數(shù)y=(2x2-3)1x2的導(dǎo)數(shù).
分析:y可看成兩個函數(shù)的乘積,2x2-3可求導(dǎo),1x2是復(fù)合函數(shù),可以先
算出1x2對x的導(dǎo)數(shù).
解:令y=uv,u=2x2-3,v=1x2,令v=,ω=1+x2
vv=()(1+x2)′
xxx
1
12xx
=2(2x)
221x21x2
∴y=(uv=uv+uv
′x)′x′x′x
x
=(2x2-·1x2+(2x2-3)·
3)′x
1x2
2x33x6x3x
=4x1x2
1x21x2
5/7
6x3x
即y=
′x
1x2
四、課堂練習(xí):
1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo)).
(1)y=(5x-3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2-x2)3(4)y=(2x3+x)2
解:(1)令y=u4,u=5x-3
∴y'y'u'=(u4)′·(5x-3)′=4u3·5=4(5x-3)3·5=20(5x-3)3
xuxux
(2)令y=u5,u=2+3x
∴y'y'u'=(u5)′·(2+3x)′=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4
xuxux
(3)令y=u3,u=2-x2
∴y'y'u'=(u3)′·(2-x2)′
xuxux
=3u2·(-2x)=3(2-x2)2(-2x)=-6x(2-x2)2
(4)令y=u2,u=2x3+x
∴y'y'u'=(u2)′·(2x3+x)′
xuxux
=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x
2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo))(n∈N*)
(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx
解:(1)令y=sinu,u=nx
y'y'u'=(sinu)′·(nx)′=cosu·n=ncosnx
xuxux
(2)令y=cosu,u=nx
y'y'u'=(cosu)′·(nx)′=-sinu·n=-nsin
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