關(guān)于試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法第一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三2①例如：為了提高產(chǎn)量，提高某有效成分的收率，改善產(chǎn)品的質(zhì)量而進(jìn)行的改變原料配比和工程條件試驗(yàn)；②在試驗(yàn)農(nóng)場，為了掌握作物取得最高產(chǎn)量和提高產(chǎn)品質(zhì)量所需要的栽培條件而進(jìn)行的品種對比試驗(yàn)，施肥對比試驗(yàn)、農(nóng)藥效果對比試驗(yàn)……等。這些試驗(yàn)的目的是一樣的，都要弄清楚試驗(yàn)過程中自變量對于因變量的影響的大小和趨勢，有時(shí)還要尋找其最佳條件。第二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三35.1概述

在工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究的實(shí)踐中，所需要考察的因素往往很多，而且因素的水平數(shù)也常常多于2個(gè)，若對每個(gè)因素的每個(gè)水平都相互搭配進(jìn)行全面實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)是驚人的，如：對于3因素4水平的試驗(yàn)，若在每個(gè)因素的每個(gè)水平搭配上只作一次試驗(yàn)，就要做

次試驗(yàn)。第三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三4對于4因素4水平的試驗(yàn)，全面實(shí)驗(yàn)次數(shù)至少為次，對于5因素4水平的全面實(shí)驗(yàn)次數(shù)至少為次?？梢?，因素的增加，試驗(yàn)次數(shù)增加很快。用正交試驗(yàn)，可以大大減少，而且統(tǒng)計(jì)分析的計(jì)算也將變得簡單。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)簡稱正交設(shè)計(jì)，它是利用正交表科學(xué)地安排與分析多因素試驗(yàn)的方法，是最常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法之一。第四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三51、試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法常用的術(shù)語：試驗(yàn)指標(biāo)：作為試驗(yàn)研究過程的因變量，常為試驗(yàn)結(jié)果特征的量（如收率、純度等），見下圖。因素：作為試驗(yàn)研究過程的自變量，常常是造成試驗(yàn)指標(biāo)按某種規(guī)律發(fā)生變化的那些原因。如圖所列的成分、溫度等。常用C，T等符號表示。第五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三6水平：試驗(yàn)中因素所處的具體狀態(tài)或情況，又稱為等級。舉例

第六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三75.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法簡介正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)：用正交表安排多因素試驗(yàn)的方法，稱為正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。我國60年代開始使用，70年代得到推行。第七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三8此方法的特點(diǎn)：完成試驗(yàn)要求所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)少。數(shù)據(jù)上的分布很均勻；可用相應(yīng)的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，引出許多有價(jià)值的結(jié)論。第八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三9例5-1

某化工廠想提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，對工藝中三個(gè)主要因素各按三個(gè)水平進(jìn)行試驗(yàn)（見表5-1）。試驗(yàn)的目的是為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，尋求最適宜的操作條件。對此實(shí)例該如何進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)呢？第九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三10很容易想到的是全面搭配法方案：第十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三11很容易想到的是全面搭配法方案：第十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三12此方案數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的均勻性極好，因素和水平的搭配十分全面，唯一的缺點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)次數(shù)多達(dá)

次（指數(shù)3代表3個(gè)因素，底數(shù)3代表每因素有3個(gè)水平）。因素、水平數(shù)愈多，則實(shí)驗(yàn)次數(shù)就愈多，例如，做一個(gè)6因素3水平的試驗(yàn)，就需

次實(shí)驗(yàn)，顯然難以做到。因此需要尋找一種合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。第十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三13常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)法、單純形優(yōu)化法、雙水平單純形優(yōu)化法、回歸正交設(shè)計(jì)法、序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)法等。可供選擇的試驗(yàn)方法很多，各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法都有其一定的特點(diǎn)。所面對的任務(wù)與要解決的問題不同，選擇的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法也應(yīng)有所不同。第十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三145．3正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)用正交表安排多因素試驗(yàn)的方法，稱為正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。其特點(diǎn)為：①完成試驗(yàn)要求所需的實(shí)驗(yàn)次數(shù)少。②數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布很均勻。③可用相應(yīng)的極差分析方法、方差分析方法、回歸分析方法等對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，引出許多有價(jià)值的結(jié)論。第十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三15從例1可看出，采用全面搭配法方案，需做27次實(shí)驗(yàn)。那么采用簡單比較法方案又如何呢？先固定T1和p1，只改變m，觀察因素m不同水平的影響，做了三次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)m＝m2時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果最好，合格產(chǎn)品的產(chǎn)量最高，因此認(rèn)為在后面的實(shí)驗(yàn)中因素m應(yīng)取m2水平。固定T1和m2，改變p的三次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)p＝p３時(shí)的實(shí)驗(yàn)效果最好，因此認(rèn)為因素p應(yīng)取p３水平。

固定p３和m2，改變T

的三次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)因素T宜取T2水平。第十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三16因此可以引出結(jié)論：為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，最適宜的操作條件為T2p３m2。與全面搭配法方案相比，簡單比較法方案的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)的次數(shù)少，只需做9次實(shí)驗(yàn)。但必須指出，簡單比較法方案的試驗(yàn)結(jié)果是不可靠的。運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，不僅兼有上述兩個(gè)方案的優(yōu)點(diǎn)，而且實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布均勻，結(jié)論的可靠性較好。第十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三17正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是用正交表來安排試驗(yàn)的。對于例1適用的正交表是L9（34），其試驗(yàn)安排見表5-2。第十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三18第十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三19所有的正交表與L9（34）正交表一樣，都具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）在每一列中，各個(gè)不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相同。在表L9（34）中，每一列有三個(gè)水平，水平1、2、3都是各出現(xiàn)3次。

第十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三20（2）表中任意兩列并列在一起形成若干個(gè)數(shù)字對，不同數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)也都相同。在表L9（34）中，任意兩列并列在一起形成的數(shù)字對共有9個(gè)：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一個(gè)數(shù)字對各出現(xiàn)一次。第二十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三21這兩個(gè)特點(diǎn)稱為正交性。正是由于正交表具有上述特點(diǎn)，就保證了用正交表安排的試驗(yàn)方案中因素水平是均衡搭配的，數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布是均勻的。因素、水平數(shù)愈多，運(yùn)用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，愈發(fā)能顯示出它的優(yōu)越性，如上述提到的6因素3水平試驗(yàn)，用全面搭配方案需729次，若用正交表L27（313）來安排，則只需做27次試驗(yàn)。第二十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三22在化工生產(chǎn)中，因素之間常有交互作用。如果上述的因素T的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素p變化的規(guī)律也發(fā)生變化，或反過來，因素p的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素T變化的規(guī)律也發(fā)生變化。這種情況稱為因素T、p間有交互作用，記為T×P。第二十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三235.4正交表使用正交設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)，就必須用到正交表.5.4.1各列水平數(shù)均相同的正交表各列水平數(shù)均相同的正交表，也稱單一水平正交表。這類正交表名稱的寫法舉例如下：第二十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三24什么是正交表？正交表本身只是數(shù)學(xué)的含義【整齊可比性】：每一列中所有數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的。【均衡分散性】：任意兩列間橫向組合的數(shù)字對搭配次數(shù)也是相等的。正交表是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的一種規(guī)格化的表格。第二十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三25關(guān)于正交的直觀印象數(shù)據(jù)點(diǎn)分布是均勻的；每一個(gè)面都有3個(gè)點(diǎn)；每一條線都有1個(gè)點(diǎn)；第二十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三26正交表的記號及含義正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計(jì)的基本工具。我們只介紹它的記號、特點(diǎn)和使用方法。第二十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三27

記號及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個(gè)數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗(yàn)次數(shù)）各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）q正交表的代號第二十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三28如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗(yàn)，最多考慮7個(gè)因素（含交互作用）的正交表。第二十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三29

正交表的特點(diǎn)1、正交表中任意一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等；表示：在試驗(yàn)安排中，所挑選出來的水平組合是均勻分布的（每個(gè)因素的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同）

——整齊可比性2、正交表中任意兩列，把同行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對時(shí)，所有可能的數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同。表示：任意兩因素的各種水平的搭配在所選試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)相等

——均衡分散性這是設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)表的基本準(zhǔn)則

第二十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三30

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本步驟

確定目標(biāo)、選定因素（包括交互作用）、確定水平；2.選用合適的正交表；3.按選定的正交表設(shè)計(jì)表頭，確定試驗(yàn)方案；4.組織實(shí)施試驗(yàn)；5.試驗(yàn)結(jié)果分析。第三十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三31一個(gè)例子某化工廠想提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，對工藝中三個(gè)主要因素各按三個(gè)水平進(jìn)行試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是為提高合格產(chǎn)品的產(chǎn)量，尋求最適宜的操作條件水平因素溫度℃壓力MPa加堿量kg符號Tpm123T1(80)T2(100)T3(120)P1(5.0)P2(6.0)P3(7.0)M1(2.0)M2(2.5)M3(3.0)第三十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三32如何安排試驗(yàn)？全組合方法T1T2T3P1P2P3m1m1m127組第三十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三33如何安排試驗(yàn)？正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)－用正交表L9（34）序號列號1234ABC123456789111222333123123123123231312123312231第三十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三34正交表本身只是數(shù)學(xué)的含義【整齊可比性】：每一列中所有數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的【均衡分散性】：任意兩列間橫向組合的數(shù)字對搭配次數(shù)也是相等的正交表是運(yùn)用組合數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的一種規(guī)格化的表格第三十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三35三因素三水平，選用正交表L9（34）T1T2T3P1P2P3m1m1m1？？第三十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三36用正交表安排試驗(yàn)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)－用正交表L9（34）試驗(yàn)號列號1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319組第三十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三37列號

試驗(yàn)號123試驗(yàn)指標(biāo)yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4K1j

K2j

nK1=K1j/

nK2=K2j/

n

極差Y1+Y2Y3+Y42K1/nK1/nmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42K2/nK2/nmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32K3/nK3/nmax{}-min{}第三十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三38各列水平均為2的常用正交表有：L4（23），L8（27），L12（211），L16（215），L20（219），L32（231）。各列水平數(shù)均為3的常用正交表有：L9（34），L27（313）。各列水平數(shù)均為4的常用正交表有：L16（45）各列水平數(shù)均為5的常用正交表有：L25（56）第三十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三395.5混合水平正交表各列水平數(shù)不相同的正交表，叫混合水平正交表，下面就是一個(gè)混合水平正交表名稱的寫法：

L8（41×24）常簡寫為L8（4×24）。此混合水平正交表含有1個(gè)4水平列，4個(gè)2水平列，共有1＋4＝5列。第三十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三405.6選擇正交表的基本原則一般都是先確定試驗(yàn)的因素、水平和交互作用，后選擇適用的L表。在確定因素的水平數(shù)時(shí)，主要因素宜多安排幾個(gè)水平，次要因素可少安排幾個(gè)水平。

（1）先看水平數(shù)。若各因素全是2水平，就選用L(2＊)表；若各因素全是3水平，就選L(3＊)表。若各因素的水平數(shù)不相同，就選擇適用的混合水平表。第四十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三41

（2）每一個(gè)交互作用在正交表中應(yīng)占一列或二列。要看所選的正交表是否足夠大，能否容納得下所考慮的因素和交互作用。為了對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析或回歸分析，還必須至少留一個(gè)空白列，作為“誤差”列，在極差分析中要作為“其他因素”列處理。

（3）要看試驗(yàn)精度的要求。若要求高，則宜取實(shí)驗(yàn)次數(shù)多的L表。第四十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三42

（4）若試驗(yàn)費(fèi)用很昂貴，或試驗(yàn)的經(jīng)費(fèi)很有限，或人力和時(shí)間都比較緊張，則不宜選實(shí)驗(yàn)次數(shù)太多的L表。

（5）按原來考慮的因素、水平和交互作用去選擇正交表，若無正好適用的正交表可選，簡便且可行的辦法是適當(dāng)修改原定的水平數(shù)。第四十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三43（6）對某因素或某交互作用的影響是否確實(shí)存在沒有把握的情況下，選擇L表時(shí)常為該選大表還是選小表而猶豫。若條件許可，應(yīng)盡量選用大表，讓影響存在的可能性較大的因素和交互作用各占適當(dāng)?shù)牧?。某因素或某交互作用的影響是否真的存在，留到方差分析進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)時(shí)再做結(jié)論。這樣既可以減少試驗(yàn)的工作量，又不致于漏掉重要的信息。第四十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三445．7正交試驗(yàn)的操作方法（1）分區(qū)組。對于一批試驗(yàn)，如果要使用幾臺(tái)不同的機(jī)器，或要使用幾種原料來進(jìn)行，為了防止機(jī)器或原料的不同而帶來誤差，從而干擾試驗(yàn)的分析，可在開始做實(shí)驗(yàn)之前，用L表中未排因素和交互作用的一個(gè)空白列來安排機(jī)器或原料。與此類似，若試驗(yàn)指標(biāo)的檢驗(yàn)需要幾個(gè)人（或幾臺(tái)機(jī)器）來做，為了消除不同人（或儀器）檢驗(yàn)的水平不同給試驗(yàn)分析帶來干擾，也可采用在L表中用一空白列來安排的辦法。這樣一種作法叫做分區(qū)組法。第四十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三45

（2）因素水平表排列順序的隨機(jī)化。如在例5-1中，每個(gè)因素的水平序號從小到大時(shí)，因素的數(shù)值總是按由小到大或由大到小的順序排列。按正交表做試驗(yàn)時(shí)，所有的1水平要碰在一起，而這種極端的情況有時(shí)是不希望出現(xiàn)的，有時(shí)也沒有實(shí)際意義。因此在排列因素水平表時(shí)，最好不要簡單地按因素?cái)?shù)值由小到大或由大到小的順序排列。從理論上講，最好能使用一種叫做隨機(jī)化的方法。所謂隨機(jī)化就是采用抽簽或查隨機(jī)數(shù)值表的辦法，來決定排列的。第四十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三46

（3）試驗(yàn)進(jìn)行的次序沒必要完全按照正交表上試驗(yàn)號碼的順序。為減少試驗(yàn)中由于先后實(shí)驗(yàn)操作熟練的程度不勻帶來的誤差干擾，理論上推薦用抽簽的辦法來決定試驗(yàn)的次序。

（4）在確定每一個(gè)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)條件時(shí)，只需考慮所確定的幾個(gè)因素和分區(qū)組該如何取值，而不要（其實(shí)也無法）考慮交互作用列和誤差列怎么辦的問題。交互作用列和誤差列的取值問題由實(shí)驗(yàn)本身的客觀規(guī)律來確定，它們對指標(biāo)影響的大小在方差分析時(shí)給出。第四十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三47

（5）做實(shí)驗(yàn)時(shí)，要力求嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)條件。這個(gè)問題在因素各水平下的數(shù)值差別不大時(shí)更為重要。例如，例5-1中的因素（加堿量）m的三個(gè)水平：m1＝2.0，m2=2.5，m3=3.0，在以m＝m2=2.5為條件的某一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，就必須嚴(yán)格認(rèn)真讓m2=2.5。若因?yàn)榇中暮筒回?fù)責(zé)任，造成m2=2.2或造成m2=3.0，那就將使整個(gè)試驗(yàn)失去正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)，使極差和方差分析方法的應(yīng)用喪失了必要的前提條件，因而得不到正確的試驗(yàn)結(jié)果。第四十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三485．8正交試驗(yàn)結(jié)果分析方法

正交試驗(yàn)方法之所以能得到科技工作者的重視并在實(shí)踐中得到廣泛的應(yīng)用，其原因不僅在于能使試驗(yàn)的次數(shù)減少，而且能夠用相應(yīng)的方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析并引出許多有價(jià)值的結(jié)論。因此，有正交試驗(yàn)法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如果不對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行認(rèn)真的分析，并引出應(yīng)該引出的結(jié)論，那就失去用正交試驗(yàn)法的意義和價(jià)值。第四十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三495.9極差分析方法正交試驗(yàn)結(jié)果的極差分析方法，極差指的是各列中各水平對應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)平均值的最大值與最小值之差。用極差法分析正交試驗(yàn)結(jié)果可引出以下幾個(gè)結(jié)論：第四十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三50（1）在試驗(yàn)范圍內(nèi)，各列對試驗(yàn)指標(biāo)的影響從大到小的排隊(duì)。某列的極差最大，表示該列的數(shù)值在試驗(yàn)范圍內(nèi)變化時(shí)，使試驗(yàn)指標(biāo)數(shù)值的變化最大。所以各列對試驗(yàn)指標(biāo)的影響從大到小的排隊(duì)，就是各列極差D的數(shù)值從大到小的排隊(duì)。

第五十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三51（2）試驗(yàn)指標(biāo)隨各因素的變化趨勢。為了能更直觀地看到變化趨勢，常將計(jì)算結(jié)果繪制成圖。（3）使試驗(yàn)指標(biāo)最好的適宜的操作條件（適宜的因素水平搭配）。（4）可對所得結(jié)論和進(jìn)一步的研究方向進(jìn)行討論。第五十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三52用正交表安排試驗(yàn)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)－用正交表L9（34）試驗(yàn)號列號1234因素TPm（空缺）123456789T1T1T1T2T2T2T3T3T3P1P2P3P1P2P3P1P2P3m1m2m3m2m3m1m3m1m21233122319組第五十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三53第五十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三54第五十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三55正交試驗(yàn)結(jié)果分析極差分析法極差指的是各列中各水平對應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)平均值的最大值與最小值之差

列號

試驗(yàn)號123試驗(yàn)指標(biāo)yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4以L4（23）為例第五十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三56列號

試驗(yàn)號123試驗(yàn)指標(biāo)yi1234112212121221Y1Y2Y3Y4Kj1

Kj2

nKj1/

nKj2/

n

極差Y1+Y2Y3+Y42I1/KII1/Kmax{}-min{}Y1+Y3Y2+Y42I2/KII2/Kmax{}-min{}Y1+Y4Y2+Y32I3/KII3/Kmax{}-min{}第五十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三57極差分析法:某列的極差最大，表示該列的數(shù)值在試驗(yàn)范圍內(nèi)變化時(shí)，使試驗(yàn)指標(biāo)數(shù)值的變化最大。所以各列對試驗(yàn)指標(biāo)的影響從大到小的排隊(duì)，就是各列極差D的數(shù)值從大到小的排隊(duì)試驗(yàn)指標(biāo)隨各因素的變化趨勢。為了能更直觀地看到變化趨勢，常將計(jì)算結(jié)果繪制成圖。第五十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三58一個(gè)實(shí)例項(xiàng)目：研究某種鋼質(zhì)工件的熱處理工藝.任務(wù)：提高鋼材硬度.水平因素淬火溫度℃回火溫度℃回火時(shí)間min符號T1T2t123840850860410430450406080第五十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三59正交表安排試驗(yàn)試驗(yàn)號列號1234硬度因素T1T2tyj123456789840840840850850850860860860123123123410430450430450410450410430406080804060608040190200175165183212196178187第五十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三60正交試驗(yàn)結(jié)果分析直觀分析：第6組淬火溫度850℃，回火溫度410℃，回火時(shí)間60min的效果最好，指標(biāo)硬度最高.第六十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三61正交試驗(yàn)結(jié)果分析K1K2K3nK1=K1/

nK2=K2/

n

k3=K3/

n極差D5655605613188.333186.6671871.6665515615743183.667187191.3337.6665805525543193.333184184.6679.3335606085183186.667202.667172.66730回火時(shí)間t2>回火溫度T21>淬火溫度T11

60min410℃

840℃

第六十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三621、單試驗(yàn)指標(biāo)正交實(shí)驗(yàn)[例1]某煉鐵廠為了提高鐵水的溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案。經(jīng)初步分析，主要有3個(gè)因素影響鐵水的溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體見下表。問對這3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的鐵水溫度？第六十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三63第六十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三64第六十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三65第六十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三66第六十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三67第六十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三68第六十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三692、正交試驗(yàn)多指標(biāo)分析法綜合分析法：[例2]：為了提高某產(chǎn)品質(zhì)量，要對生產(chǎn)該產(chǎn)品的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)，要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)；抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度。前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方中有3個(gè)重要因素；水份，粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。第六十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三70第七十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三71第七十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三72第七十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三73第七十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三74第七十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三75抗壓強(qiáng)度：B3C1A2落下強(qiáng)度：B3C2A3裂紋度：A2C1B3這個(gè)方案不完全相同，對一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？這正是我們要解決的，第七十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三76通過各因素對各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：

B3粒度第3水平8C1堿度第1水平1.1

A2水份第2水平9第七十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三77綜合平衡法：分析多指標(biāo)的分析方法是：先分別考察每個(gè)因素對各指標(biāo)的影響，然后進(jìn)行分析比較，確定出最好的水平從而得出最好的試驗(yàn)方案，這種方法叫綜合平衡法。對多指標(biāo)的問題，要做到真正好的綜合平衡，有時(shí)是很困難的，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評分法，在某種意義上可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。第七十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三78綜合評分法綜合評分法：就是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的重要性的不同，給每一個(gè)試驗(yàn)評出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo)（一個(gè)指標(biāo)?。鶕?jù)這個(gè)總指標(biāo)（分?jǐn)?shù)），利用上例（直觀分析法）作進(jìn)一步的分析，從而選出較好的試驗(yàn)方案。第七十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三79舉例說明：[例3]：某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好，有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況見下表，試通過試驗(yàn)找出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有所提高。第七十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三80第八十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三81這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評分，下面著重介紹評分的方法。在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)知道，純度的重要性要比回收重要性大，如果化成數(shù)量來看，可認(rèn)為純度是回收率的4倍，也就是說若將回收率看成1，純度就4，這個(gè)4和1分別叫兩個(gè)指標(biāo)的權(quán)，按這個(gè)權(quán)給出每個(gè)試驗(yàn)的總分為：總分＝4×純度+1×回收率算出每個(gè)試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)，列在表的最右邊，再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析第八十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三82第八十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三83第八十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三845.10混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)際問題中，有時(shí)各因素的水平數(shù)是不相同的，這就是混合水平的多因素試驗(yàn)問題，解決這類問題一般比較復(fù)雜，有兩種方法：（1）直接利用混合水平的正交表；（2）擬水平法，把水平不同的問題化成水平數(shù)相同的問題來處理。第八十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三85混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。例如：L8（4×24）表示做8次試驗(yàn)，最多可安排5個(gè)因素，其中1個(gè)是4水平的（第1例），4個(gè)是2水平的（第2列到第5列）。第八十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三86第八十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三87L8（4×24）表有兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）每一列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。例如：第1列中有4個(gè)數(shù)字，1,

2，3,

4，它們各出現(xiàn)2次，第2列到第5列中，都只有兩個(gè)數(shù)字1,2，它們各出現(xiàn)4次。第八十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三88（2）每兩列各種不同的水平搭配出現(xiàn)的次數(shù)是相同的。但要注意，每兩列不同水平的搭配的個(gè)數(shù)是不完全相同的。例如：第1列是4水平的列，它和其它任何一個(gè)水平的列數(shù)在一起，由行組成的不同的數(shù)對一共有8個(gè)：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2）它們各出現(xiàn)一次；2列到第5列都是2水平列，它們之間任何兩列的不同水平的搭配共有4個(gè)：（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）它們各出現(xiàn)兩次。第八十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三89由以上兩點(diǎn)看出，每個(gè)因素的各水平之間的搭配也是均衡的。其它常用的混合水平正交表還有：L12（31×24），L16（41×212），L16（43×28），L18（21×37）第八十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三90例4：某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，共有4個(gè)因素：A（品種）、B（氮肥量）、C（氮、磷、鉀肥比例），D（規(guī)格）。因素A是4水平的，另外3個(gè)因素都是2水平的，具體數(shù)值見下表，試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好，試用混合正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。第九十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三91第九十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三92第九十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三93第九十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三945.11擬水平法[例5]今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A，B，C，D，其中C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，見下表，試安排試驗(yàn)，并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。第九十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三95第九十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三第九十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三97擬水平法實(shí)際是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平正交表可用時(shí)，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗(yàn)的方法，可以對一個(gè)因素虛擬水平，也可以對多個(gè)因素虛擬水平。第九十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三98第九十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三99第九十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三小結(jié)極差分析法單試驗(yàn)指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)多試驗(yàn)指標(biāo)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)綜合分析:綜合平衡法;

綜合評分法;混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì):直接利用混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)表;擬水平法.有交互作用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析法第一百頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1015.12有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來作用。即，不僅各個(gè)因素的水平改變時(shí)對試驗(yàn)指標(biāo)有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對指標(biāo)也有影響，這就是交互作用。第一百零一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三102[例6]

有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物，現(xiàn)將氮肥，磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，記在下表中。第一百零二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三103第一百零三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三104從表中可以看出（1）不加化肥時(shí)，平均畝產(chǎn)僅有200㎏，只加2㎏磷肥時(shí)，平均為225㎏，增加25㎏/畝。（2）只加3㎏氮肥時(shí)，平均畝產(chǎn)215㎏，增加15㎏/畝這兩種情況下的總增產(chǎn)值合計(jì)為40㎏。（3）但是同時(shí)加2㎏磷肥，3㎏氮肥時(shí)，平均為畝產(chǎn)280㎏增加80㎏/畝，比前兩種情況的總增產(chǎn)量又增加40㎏。第一百零四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三105（4）顯然這后一個(gè)40㎏，就是2㎏磷肥，3㎏氮肥聯(lián)合起來所起的作用，叫做磷肥，氮肥這兩個(gè)因素的交互作用。有下式：氮肥磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的總效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）交互作用是多因素試驗(yàn)中經(jīng)常遇到的問題。第一百零五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三106交互作用表安排有交互作用的多因素試驗(yàn)，必須使用交互作用表。第一百零六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三107第一百零七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三108在安排試驗(yàn)時(shí)，交互作用占一列，稱為交互作用列。表的使用：第1列號是（）的，從左向右看，第2個(gè)列號是不帶括號的。比如要查第2列和第4列交互作用列，先找到（2），從左往右查，再從表的最上端的列號中找到4從上往下查看，兩者交叉處的數(shù)字是6，它表示第2列和第4列的交互作用就是第6列。第一百零八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三109第二步表頭設(shè)計(jì)——查交互作用表

表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。如L8（27）的交互作用表列號12345671（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）1

注意：主效應(yīng)因素盡量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，則C因素就不放C3列。第一百零九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三110水平數(shù)相同的有交互作用的正交試驗(yàn)[例7]一個(gè)3因素2水平的有交互作用某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個(gè)因素A、B、C，每個(gè)因素都有2個(gè)水平，數(shù)值見下圖。每兩個(gè)因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。試安排試驗(yàn)，并分析試驗(yàn)結(jié)果。第一百一十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三111第一百一十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三112解：3因素2水平的試驗(yàn)，3個(gè)因素A、B、C要占3列，它們之間的交互作用A×B，B×C，A×C占3列，共占6列，可用正交表L8（27），來安排實(shí)驗(yàn)，若A、B分別放在第1、2列，從表中查出A×B就在第3列，因此C就不能放在第3列?，F(xiàn)將C放在第4列，由正交表A×C應(yīng)放在第5列，B×C應(yīng)在第6列。第一百一十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三113第一百一十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三114第一百一十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三115從極差大小看出，影響最大的因素是C，以2水平為好；其次是A×B，以2水平為好，第三是因素A，以1水平為好，第四是因素B，以1水平為好。由于因素B影響較小，1水平和2水平差別不大，但考慮到A×B是2水平為好，它影響比B大，所以因素B取2水平為好。（A×C），（B×C）的極差很小，對試驗(yàn)的影響很小，忽略不計(jì)。

第一百一十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三116綜合分析考慮，最好的方案應(yīng)當(dāng)是C2A1B2，從試驗(yàn)結(jié)果看出，這個(gè)方案確實(shí)是8個(gè)試驗(yàn)中最好的一個(gè)試驗(yàn)。［C2→（A×B）2→A1→B1，結(jié)果C2A1B2］［注：4號實(shí)驗(yàn)，產(chǎn)量為75kg］小結(jié)：用直觀分析法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了必要的分析，直觀分析法的優(yōu)點(diǎn)：簡單、直觀、易做、計(jì)算量少。

第一百一十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1175.13正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析上一章介紹了單因素，雙因素方差分析，對于更多因素方差分析把上面實(shí)驗(yàn)結(jié)果推廣就行了。5.13.1方差分析的步驟和格式設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總數(shù)為n，試驗(yàn)結(jié)果分別為x1，x2，……，xn，假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)，則n=ana。第一百一十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1181、計(jì)算離差的平方和（1）總離差的平方和ST記：第一百一十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三119記為：ST＝QT－P第一百一十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三120ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的差異，它越大，說明各次試驗(yàn)結(jié)果之間的差異越大，試驗(yàn)的結(jié)果之所以會(huì)有差異，一是因素水平的變化所引起的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差，因此差異是不可避免的。第一百二十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三121（2）各因素離差的平方和下面以計(jì)算因素A的離差的平方和SA為例來說明，設(shè)因素A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗(yàn)。用Xij表示因素A的第i個(gè)水平的第j個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果（i=1,2,…na;j=1,2,…a）,則有：第一百二十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三122則有：第一百二十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三123記為：SA＝QA－P其中:Ki表示因素的第i個(gè)水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和.

第一百二十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三124SA反映了因素A的水平變化時(shí)所引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，即因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差的平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)成一個(gè)新的因素看待，如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如：SA×B＝S（A×B）1+S（A×B）2第一百二十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三125（3）試驗(yàn)誤差的離差的平方和SE設(shè)S(因+交)為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因?yàn)椋篠T＝S(因+交)+SE

SE為試驗(yàn)誤差的離差平方和所以：SE＝ST－S(因+交)第一百二十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1262、計(jì)算自由度試驗(yàn)的總自由度：f總＝試驗(yàn)總次數(shù)－1＝n－1各因素的自由度：f因＝因素的水平數(shù)－1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積如：f（A×B）=fA×fB記fE為試驗(yàn)誤差的自由度，因?yàn)椋篺總＝f（因+交）+fE所以：fE＝f總－f（因+交）第一百二十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1273.計(jì)算平均離差平方和（均方）有：第一百二十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1284.求F比將各因素的平均離差的平方和與誤差的平方和相比，得出F值，這個(gè)比值的大小反映了各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。第一百二十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1295.對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)對給出的檢驗(yàn)水平α，從F頒布表中查出Fα（f因，fE）（通常叫臨界值）F＞Fα（f因，fE），說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大；若F＜Fα（f因，fE），說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。第一百二十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1305.13.2

3水平的方差分析3水平正交設(shè)計(jì)是最一般的正交設(shè)計(jì)，它的方差分析方法最具有代表性。[例8]為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度，反應(yīng)壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取3個(gè)水平，見下表，考慮因素之間的所有一級交互作用，試找出較好的工藝條件。第一百三十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三131第一百三十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三132解：3因素3水平的試驗(yàn)，每兩個(gè)因素的交互作用要占的兩列，3個(gè)因素的所有一級交互作用共有3個(gè)，共占6列，連同3個(gè)因素A，B，C，在正交表中共占9列，先L27（313），按該表安排3因素的表頭設(shè)計(jì)，見下表進(jìn)行試驗(yàn)第一百三十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三133第一百三十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三134第一百三十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三135第一百三十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三136第一百三十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三137首先

第一百三十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三138第一百三十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三139第一百三十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三140由此得出：SA＝QA－P＝2.04SB＝QB－P＝1.16SC＝QC－P＝155.87S（A×B）＝S（A×B）1+S（A×B）2＝Q（A×B）1－P+Q（A×B）2－P＝Q（A×B）1+Q（A×B）2－2P＝1.32第一百四十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三141

S（A×C）＝Q（A×C）1+Q（A×C）2－2P＝0.28S（B×C）＝Q（B×C）1+Q（B×C）2－2P＝0.18最后計(jì)算實(shí)驗(yàn)誤差的差離平方和，有：SE＝ST－S因+交＝ST－（SA+SB+SC+SA×B+SB×C+SA×C）＝0.34第一百四十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三142自由度：fA=fB=fC=3-1=2F（A×B）=f（A×C）=f（B×C）=2×2=4f總＝n-1=27-1=26fE=f總－f因+交＝26－18＝8（2×3+4×3）=18第一百四十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三143計(jì)算平均離差的平方和（均方），然后求F。取α＝0.01，通常：①F>F0.01（f因，fE）該因素的影響是最顯著的“**”②F<F0.01（f因，fE），但F>F0.05（f因，fE）則稱該因素的影響是顯著的“*”②F<F0.05（f因，fE），則該因素的影響是不顯著的。第一百四十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三144第一百四十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三145可以看出，因素A，B，C和交互作用A×B對試驗(yàn)結(jié)果的影響是顯著的，從大小看，因素C最顯著，依次A，B，A×B，試驗(yàn)的指標(biāo)為產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對應(yīng)的水平。從表看出：A1，B3，C3為最好，交互作用A×B也是顯著的。但A×B占兩列，直觀分析法有困難。有必要把A和B的各種組合的試驗(yàn)結(jié)果對照分析。第一百四十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三146第一百四十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三147從表中，可以看出當(dāng)A取第1水平B取3水平時(shí)，結(jié)果為13.17是所有結(jié)果的最大值，于是最優(yōu)方案可取A1B3C3而A1B1的試驗(yàn)結(jié)果為13.16與13.17相差不多，也可取A1B1C3結(jié)果為7.23，A1B3C3結(jié)果為7.07.∴A1B1C3比A1B3C3還要好。是因?yàn)槲覀兎治鲇?jì)算本身是有誤差的，真正的最優(yōu)方案要經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)后確定。第一百四十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1485.13.3

2水平的方差分析一般分析法2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為因?yàn)?n=2a

,第一百四十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三149所以上式可簡化為:這里2水平設(shè)計(jì)計(jì)算平方和的一般公式，同樣適用于有交互作用的情況。第一百四十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三150例9：某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標(biāo)是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，影響農(nóng)藥收率的因素有4個(gè)；具體情況如下：第一百五十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三151第一百五十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1522水平4因素，并考慮A、B的交互作用，選用L8（27）安排實(shí)驗(yàn)。按試驗(yàn)逐次進(jìn)行試驗(yàn)，得出試驗(yàn)結(jié)果分別為（%）86,95,91,94,91,96,83,88試進(jìn)行方差分析（α＝0.05）解：列正交表L8（27）和試驗(yàn)結(jié)果，第一百五十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三153第一百五十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三154計(jì)算離差平方和：類似地：

第一百五十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三155誤差平方和：

SE＝ST－（S因+S交）＝146－（8+18+50+60.5+4.5）＝5還可以另一種方法算出SESE＝S空列＝S5列+S6列

第一百五十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三156計(jì)算自由度總自由度fT＝8－1＝7因素的自由度fA＝fB＝fC＝fD＝2－1＝1交互作用的自由度f(A×B)=fA×fB=1誤差自由度fE＝fT－（f因+f交）＝7－5＝2第一百五十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三157計(jì)算均值：由于各因素和交互作用A×B的自由度都是1，因此它們的均方值與它們的各自平方和相等，只有誤差的均方值為MSE＝SE/2=5/2=2.5計(jì)算F值比：

FA＝MSA/MSE=8/2.5=3.2

FB＝18/2.5＝7.2，F(xiàn)A×B＝50/2.5＝20

FC＝60.5/2.5＝24.2，F(xiàn)D＝4.5/2.5＝1.8第一百五十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三158第一百五十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三159從F值的大小可以看出，各因素對試驗(yàn)影響大小的順序?yàn)镃→A×B→B→A→D最優(yōu)條件：C2，B1，A1，D2，但考慮到交互作用A×B的影響較大，且它的第2水平為好，從正交表看出在C2，（A×B）2的情況下，有A1，B2和A2，B1，考慮到B的影響比A大，而B選B1為好，A只能先A2，這最優(yōu)方案為：A2B1C2D2。9個(gè)試驗(yàn)中，6號試驗(yàn)A2B1C2D1（接近）為好。第一百五十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三1605.13.4混合水平的方差分析混合水平正交設(shè)計(jì)的方差分析，本質(zhì)上與水平數(shù)相等正交設(shè)計(jì)的方差分析相同，只要在計(jì)算時(shí)注意各列水平數(shù)的差別就行了。以：L8（4×24）混合型正交表為例加以說明，總離差平方和仍為：第一百六十頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三161因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：

4水平因素：第一百六十一頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三162例10

某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為了校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理，以降低合金的硬度，根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi)，硬度越低越好，試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度（HRc）,經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個(gè)：第一百六十二頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三163退火溫度（A），取4水平：A1：730℃，A2：760℃，A3：790℃，A4：820℃，保溫時(shí)間（B）：2水平，B1：1h,B2:2h;冷卻介質(zhì)（C），2水平，C1空氣，C2水，選用混合正交表L8（4*24），A，B，C放在1,2，3列。第一百六十三頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三164第一百六十四頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三165第一百六十五頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三166第一百六十六頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三167這里：ST＝QT－P＝7829.90－7825.01＝4.89第一百六十七頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三168

SE＝S空列＝S4列+S5列＝1.63第一百六十八頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三169第一百六十九頁，共一百九十三頁，編輯于2023年，星期三170F0.05（3,2）＝19.16，F(xiàn)0.10（3,2）＝9.16F0.05（1,2）＝18.51，F(xiàn)0.10（1,2）＝8.53從F值和臨界值比較看出，即使取α＝0.10，各因素都無顯著影響，相對來說B的影響大些，用（*）表示，如果只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差，這樣一來，新的誤差E有