22第二章

函數(shù)與導(dǎo)

第3課時(shí)

函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)學(xué)生用書文)、理)11～頁(yè))考情分析①函單調(diào)性的概念是函數(shù)性質(zhì)中最重要

考點(diǎn)新知的概念，仍將會(huì)是年考的重點(diǎn)，特別①理函數(shù)單調(diào)性的定義利函數(shù)單調(diào)要注意函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.②常題型有求數(shù)的單調(diào)區(qū)間用

性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性；強(qiáng)②理解函數(shù)的單調(diào)性、最大小)值的幾何意化應(yīng)用單調(diào)性解題的意識(shí)，如比較式子大小，義，會(huì)用單調(diào)性方法求函數(shù)的最大(小值求函數(shù)最值，已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的?、劾煤瘮?shù)的單調(diào)性解決其他一些綜合值范圍等．

問(wèn)題(必修．

54

測(cè)試已知函yf(x)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是答案：[－，－和[12]必修1P習(xí)編下列函數(shù)中，在區(qū)上是單調(diào)增函數(shù)的是________(44序號(hào)①y＝13x；②y＝－；yx＋；④y＝＋1|.x答案：③④必修1P習(xí)改編)數(shù)＝是定義在[－上單調(diào)減函數(shù)f(a＋，44則實(shí)數(shù)a的值范圍是________答案：[－，1)a＋≤2解析：條2a≤，解－1≤a，必修1P習(xí)編函數(shù)y＝(x－3)|x|的單遞減區(qū)間是________44答案：0，解析：y＝(x－＝

－x（x－），x<0，畫圖可知單調(diào)遞減區(qū)間是，x（x－3，x≥0，

22(必修測(cè)改編已知函數(shù)＝＋＋＋(－∞，上是增函數(shù)，則實(shí)54數(shù)的值范圍．答案：－，0，解析：m時(shí)＝x＋2，符合；當(dāng)m0時(shí)必1解－≤m<0.－≥2，2m綜上，實(shí)數(shù)m取值范圍是－≤≤增數(shù)和減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的義域?yàn)镮：如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x、x，當(dāng)<x時(shí)都有12f(x)<f(x)那么就說(shuō)函數(shù)在間上是調(diào)增函．(如圖(1)所示)1如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x、x，當(dāng)<x時(shí)都有12f(x)>f(x)那么就說(shuō)函數(shù)在間上是調(diào)減函．(如圖(2)所示)1單性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上單調(diào)增函數(shù)或是調(diào)減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M具有單調(diào)性區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間)判函數(shù)單調(diào)性的方法定法：利用定義嚴(yán)格判斷．利函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．如若f(x)、為增函數(shù)，則：①＋g(x)為增函數(shù)；②

為減函數(shù)(；fx）f（x）為增函數(shù)f(x)≥；④f(x)·g(x)為增函(f(x)>0g(x)>0)⑤－為函數(shù)．利復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性法則是“同增異減”兩個(gè)簡(jiǎn)函數(shù)的單調(diào)性相同這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)增函數(shù)若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)減數(shù)．圖法奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具相的單調(diào)性數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具相反的單調(diào)性．[備課札記](méi)

xxexex12()1ex－＋＝11212xxxxx2221221121xxexex12()1ex－＋＝11212xxxxx222122112121222222222例1

判斷函數(shù)＝＋在區(qū)間，＋∞上的單調(diào)性．e解：(解法設(shè)＜x＜x，則121f(x)－)＝＋－＋11＝

ex－)1

－ex1ex·ex＋x＝(－x－112

ex＋－1·.ex1∵∴∴∴∴

＜x＜x，1x－x＜0，xx＞0，112ex－＜1ex＋x＞1ex＞，11f(x)＜)．1f(x)在(，＋∞)上是增函數(shù)．(解法2)對(duì)f(x)e

x＋求導(dǎo)，e1得f＝－，e當(dāng)x＞0時(shí)e＞0，e＞，∴f′(x)＞∴f(x)在(0＋)上為增函數(shù)．備變（師享x證明函數(shù)f(x)在間[，＋∞上是減數(shù)．＋x證明：x、x∈[1，∞，且<x.112xxx（＋x）x（＋x）（x－）（1xx）f(x)－)＝－＝＝1＋x＋x（1x）＋x（1＋x）＋x）1222∵x、x∈[1，＋∞，且<x，112∴x－x<0，－xx112又(1x＋x)>0，1∴f(x－f(x，即f(x)1x∴f(x)在[，＋∞)上為減函數(shù)．＋xkx－1例2已函數(shù)＝(k∈，且k>0)x－1求數(shù)f(x)定義域；若數(shù)f(x)[，＋∞上單調(diào)遞增，求k的值范圍．x－kx－1k解(1)由k>0>0時(shí)得x>當(dāng)＝時(shí)得x∈Rx－1x－

kk<(k－1)(－)<0.1212xkk<(k－1)(－)<0.1212xxxx1222222且x≠1當(dāng)時(shí)得x<或k11綜上0<k<1定義域?yàn)榛騲>定義域?yàn)榛騲10k1由數(shù)f(x)[，＋∞)上單調(diào)遞增，知>0，－1kx－1k－∴k>.又＝lg＝lgx－x－f(x)<f(x)1

，由題意，對(duì)任意的、x，10≤x，12k－k－即x－x－1

，得

k－1k－1x－x－1x－1x－1112∵x<x，∴1

>，－，即k<1.x－x－11綜上可知，k的值范圍是，.a已知函數(shù)f(x)＝－，∈，．x當(dāng)a＝－1時(shí)求函數(shù)＝f(x)的域；若數(shù)y＝f(x)在x∈，上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)取值范圍．解：(1)當(dāng)＝－1，＝2x＋，x因?yàn)?<x≤1所以＝＋≥2x

22x·＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立，x2所以函數(shù)y＝f(x)的域是[2＋)．解法設(shè)≤112aa（x－x）（x＋）由f(x－f(x＝2x－－2x－＝2(x－＋－＝，112x12因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在∈(0，1]上是減函數(shù)，所以f(x－f(x)>0恒立，1所以2xx＋，即－2xx在x(0，上恒成立，12所以≤－2，即實(shí)數(shù)取值范圍(∞，－．a(chǎn)(解法2)由f(x)2x－，知f2，xx因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在∈(0，1]上是減函數(shù)，a所以f(x)＝2≤0在x∈(01]上恒成立，x即a－2x在x∈(0，1]上恒成立所以≤－2，即實(shí)數(shù)取值范圍(∞，－．x＋＋例3已知函數(shù)＝，x∈，＋)．x

222x222x當(dāng)a＝時(shí)求的小值；若任意x∈[1＋∞，f(x)＞恒立，求實(shí)數(shù)的值范圍．1解：(1)當(dāng)＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2.2x設(shè)x＞x≥1則f(x)f(x)＝(x－)1212

－2x2x12＝(x－)·12

2x－122x12∵x＞x≥，1∴f(x＞f(x)，1∴f(x)在，＋∞)上為增函數(shù)．∴f(x)≥f(1)＝，即的最小值為.2∵f(x)＞0在∈[1，∞)上恒成立，即x＋2x＋＞0在1，＋∞上恒成立，∴a[(x

＋∵(x＋在[1＋∞)上為減函數(shù)，∴t(x)＝t(1)－∴＞－3.備變（師享＋已知∈R≠，求函數(shù)＝在[，4]上的最值．x＋1＋－解：f(x)＝a.x＋1x＋1若－a>0即時(shí)，在[，4]為減函數(shù)，∴f(x)＝f(1)＝

a＋4a，f(x)＝；min若－a<0即時(shí)，在[，4]為增函數(shù)，∴f(x)＝f(4)＝

4a＋1a，f(x)＝f(1)＝.min，x≤南期初)已知函數(shù)f(x)是R上增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值x，范圍是．答案：，

0x211222xx3x3x30x211222xx3x3x3解析：題意得

e－2k≤，解得≤k<1.1，若數(shù)＝

，≠在[，2]上的最大值，最小值為，函數(shù)g(x)＝－4m)x在[，＋∞)上是增函數(shù)則a．答案：解析：a>1有a＝，＝m所以＝2，＝，此時(shí)＝－x[0＋)上1x的減函數(shù)，不符合；當(dāng)0<a<1，有＝a＝，所以a＝，此時(shí)＝，符16合．安徽)“≤”是“函數(shù)f(x)＝－在間是，)內(nèi)調(diào)遞增”的條件．答案：要解析：當(dāng)a時(shí)＝在區(qū)間(，∞)內(nèi)單調(diào)遞增②當(dāng)a<0時(shí)結(jié)合函數(shù)f(x)＝－的圖象知函數(shù)在(0，＋)內(nèi)單調(diào)遞增③時(shí)結(jié)合函數(shù)＝

－的圖象知函數(shù)在(0，∞)上先增后減再增，不符合．所a≤”是“函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條．已函數(shù)f(x)是義在正實(shí)數(shù)集上的單調(diào)函數(shù)足對(duì)任意x＞0有－lnx)＝1，則f(1)＝．答案：解析：f(x)lnx必為常數(shù)函數(shù)，否則存在兩個(gè)不同數(shù)，其對(duì)應(yīng)值均為＋，單調(diào)函數(shù)矛盾．所以可設(shè)f(x)lnx＝，則＝lnx＋將代入，得f(c)＝＋，即＋＝＋e.∵y＝lnx＋x單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)e時(shí)lnc＋＝1e立，∴f(x)＝＋則f(1)＝e.1給定函數(shù)：①y②y(x＋1)，y|x－，y＝，中在區(qū)(0，1)12上單調(diào)遞減的函數(shù)是____________．填序號(hào))答案：②③解析①是冪函數(shù)，其(，∞上是增函數(shù)，不符合②的函數(shù)是由函數(shù)y＝log12x向左平移單位而得到的，因?yàn)樵瘮?shù)(0∞)上是減函數(shù)，故符合中的函數(shù)圖象是由函數(shù)y＝x－圖象保留x軸上方方圖象翻折到x軸方得到的由圖象可知正確；④中函數(shù)顯然是增函，故不符合．設(shè)a>0且≠1，“函數(shù)f(x)＝在是減函數(shù)”“函數(shù)＝(2－在R上是增函數(shù)”的條．答案：分不必要解析：數(shù)f(x)＝a

在R上減函數(shù)等價(jià)于0<a<1，數(shù)g(x)(2a)x

在上是增函數(shù)等價(jià)于或函數(shù)＝

在R上減函數(shù)函數(shù)g(x)＝(2－a)x

2222ax22222a22222ax22222a2在上是函”充分不必要條件．，x≥0，函f(x)＝在－∞＋∞)上單調(diào)則a的值圍是．e，x＜0答案：(∞，－2]，2]解析：若，則＝ax＋[，＋∞上單調(diào)增，∴f(x)(a－在－∞，0)上單調(diào)增，，∴∴≤同理a<0時(shí)求a－a(－∞2]∪，2]．1，是存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)＝log(ax－x)在間[2，4]是增函數(shù)？如果存在，說(shuō)a明可哪值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：顯然且≠1當(dāng)時(shí)則t(x)axx的稱軸是x＝∈，，需＝－＞，即＞，所以＞均成