6.4.3正弦定理高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）[目標(biāo)導(dǎo)航]核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.了解利用向量方法推導(dǎo)正弦定理的過(guò)程,掌握正弦定理及其變形.2.能夠利用正弦定理解三角形,并會(huì)判斷三角形的形狀.1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索,證明正弦定理,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理的核心素養(yǎng).2.通過(guò)利用正弦定理及推論解三角形,加強(qiáng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

溫故知新

余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問(wèn)題：1、已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。2、已知三邊求三個(gè)角；3、判斷三角形的形狀.余弦定理：推論:

課堂探究探究

余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？

我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？ACcb問(wèn)題

（2）上述結(jié)論是否可推廣到任意三角形?若成立，如何證明？（1）你有何結(jié)論?

定理猜想：

Ba

探索新知下面先研究銳角三角形的情形。在銳角

中，過(guò)點(diǎn)A作與

垂直的單位向量

，則

與

的夾角為

，

與

的夾角為即同理，過(guò)點(diǎn)C作與

垂直的單位向量

，可得新知探究(2)當(dāng)是鈍角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢?探究新知2.正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.即符號(hào)語(yǔ)言：文字語(yǔ)言：?jiǎn)栴}3有沒(méi)有其他的方法證明正弦定理？證明：作外接圓O,過(guò)B作直徑BC/,連AC/,方法二：外接圓法OC/cbaCBAA/所以AD=csinB=bsinC,

即同理可得DAcbCB圖1過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D,此時(shí)有(2)若三角形是銳角三角形,如圖1,

正弦定理證明：（任意三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系）即：且仿(2)可得D(3)若三角形是鈍角三角形,且角C是鈍角如圖2,此時(shí)也有交BC延長(zhǎng)線于D,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，CAcbB圖2

正弦定理證明：任意三角形（轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系）探究新知3.正弦定理的再認(rèn)識(shí)在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等.即符號(hào)語(yǔ)言：文字語(yǔ)言：?jiǎn)栴}5正弦定理有幾個(gè)等式，每個(gè)等式中有幾個(gè)元素？有三個(gè)等式，每個(gè)等式中有四個(gè)元素（兩角及其對(duì)邊）.問(wèn)題6利用正弦定理可以解決三角形的哪類問(wèn)題？可以解已知“兩角和一邊”和“兩邊和其中一邊的對(duì)角”的三角形.（方程思想）正弦定理:

正弦定理及其變形：

sinA∶sinB∶sinC2RsinB2RsinC

2RsinA[例1]在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解這個(gè)三角形.導(dǎo)與練36頁(yè)例題講解4.正弦定理的應(yīng)用例1在△ABC中，已知A=15°，B=45°，

，解這個(gè)三角形.由正弦定理，得解1：由三角形內(nèi)角和定理，得C=120°.解決已知兩角及一邊類型的解題方法

(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊.(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.方法技巧例題講解例2在△ABC中，已知解這個(gè)三角形.4.正弦定理的應(yīng)用(SSA):已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°當(dāng)時(shí)Ｂ＝60°C=180°-A-B=30°當(dāng)Ｂ＝120°時(shí)300ABC16316∵

b

>

a

∴B>A,C=180°-A-B=90°16B三角形中大邊對(duì)大角

已知a=16，b=，A=30°

.求角B，C和邊c例2

一解

課堂典例

無(wú)解

一個(gè)定理：正弦定理兩類應(yīng)用