分子動理學(xué)理論的平衡態(tài)理論第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6外力場中自由粒子的分布玻爾茲曼分布§2.6.1等溫大氣壓強公式懸浮微粒按高度分布一、等溫大氣壓強公式1.等溫大氣壓強公式：考察一重力場中截面積為A的薄空氣圓柱體系統(tǒng)。該系統(tǒng)處在高度在z~z+dz的高度差范圍內(nèi)達到溫度為T的平衡態(tài)。設(shè)高度為z

及z+dz

兩層對應(yīng)的壓強分別為P、P+dP，該柱體的密度為(z)。分析空氣柱體受力：根據(jù)力學(xué)平衡條件，有：第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日根據(jù)力學(xué)平衡條件，有：根據(jù)理氣狀態(tài)方程：氣體總質(zhì)量氣體分子質(zhì)量假定大氣溫度處處相等，并設(shè)重力加速度g不隨高度變化，則：高度為z及高度為零（即海平面）處的大氣壓強——等溫大氣壓強公式

等溫大氣壓強公式是近似式，只在高度相差不大以致近似等溫的范圍才成立。注意：第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日例：一氫氣球自地面上升，當氣球上升到高度h時，其體積為在地面時的1.20倍。設(shè)整個地球大氣層等溫T=300K，且假定在上升過程中氣球內(nèi)外壓強時時相等。求：h=？解：設(shè)：地面大氣壓強為P0，氣球體積為V0；在高度h處的大氣壓強為P，氣球體積為V地球大氣層等溫，則：取空氣的平均分子量為28.9g，即：第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.氣體分子在重力場中按高度的分布：等溫大氣壓強公式：理氣壓強：高度為z及高度為零（即海平面）處的氣體分子數(shù)密度可見：海拔越高，氣體分子數(shù)密度越小。氣體分子數(shù)密度隨高度衰減的快慢決定于因子二、等溫大氣標高稱為大氣標高則有：第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日則有：⑴單位：長度單位（高度單位）⑵取高度z=H，則有：高度為大氣標高H處的壓強及分子數(shù)密度是海平面處的1/e

⑶大氣標高H的物理意義：大氣標高是決定重力場中氣體分子數(shù)密度隨高度增加而衰減得快慢程度的物理量；是決定等溫大氣壓強隨高度增加而衰減得快慢程度的物理量。第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日⑷等溫大氣標高是粒子按高度分布的特征量，反映了氣體分子熱運動與分子受重力作用這一矛盾關(guān)系。分子熱運動的能量級，重力，使氣體分子均勻地分布在其所能達到的空間力圖使氣體分子聚集于地面在一定溫度下，當重力和分子熱運動的作用達到平衡時，氣體分子在空間按其勢能大小(mgz)作穩(wěn)定的不均勻分布。⑸設(shè)把整個大氣分子都壓縮為環(huán)繞地球表面的、密度與海平面處大氣密度相等的一層假想的均勻大氣層，則這一層大氣的厚度也是H。第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日三、懸浮微粒按高度的分布1.分布：設(shè)：n1、n2分別為高度z1、z2處的分子數(shù)密度，相對密度公式不僅適用于氣體分子，而且適用于重力場中一切微粒的分布。則重力場中兩個不同高度位置處的分子數(shù)密度之比為：2.佩蘭實驗：

1908年，法國物理化學(xué)家佩蘭(JeanBaptistePerrin)以一系列出色的實驗，研究了布朗粒子的運動和分布規(guī)律。⑴佩蘭實驗證實了愛因斯坦于1905年作出的粒子的均方位移隨時間成正比的理論公式；第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日2.佩蘭實驗：

1908年，法國物理化學(xué)家佩蘭(JeanBaptistePerrin)以一系列出色的實驗，研究了布朗粒子的運動和分布規(guī)律。⑴證實了愛因斯坦與1905年作出的離子的均方位移隨時間成正比的理論公式；⑵求得NA的數(shù)值在5.5×1023~7.2×1023之間，其差值不超出實驗誤差可解釋的范圍；⑶證實了微粒的相對密度公式愛因斯坦用分子運動論從理論上研究了布朗運動的規(guī)律，佩蘭則以精細的實驗證實了愛因斯坦的理論結(jié)果，兩者相當吻合，從而排除了任何對分子運動論的正確性的懷疑。為此，佩蘭獲1926年諾貝爾物理學(xué)獎。第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日3.懸浮微粒按高度的分布由于溶液的浮力作用，懸浮在溶液中的布朗粒子的質(zhì)量應(yīng)以其有效質(zhì)量m*表示。設(shè)溶液的平均密度為0，各布朗懸浮粒子的質(zhì)量為m,體積為V，則布朗微粒受力為：重力mg，浮力0Vg

若布朗微粒密度為，則有：則其所受的向下的合力大小為：故：為考慮浮力后的等效質(zhì)量。則懸浮微粒按高度的分布為：第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6.2旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布超速離心技術(shù)一、旋轉(zhuǎn)體中懸浮粒子徑向分布力學(xué)：在以角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動參考系中，質(zhì)量為m的質(zhì)點在其轉(zhuǎn)動平面內(nèi)將受到一個垂直轉(zhuǎn)軸的慣性離心力ω方向沿垂直轉(zhuǎn)軸方向向外現(xiàn)考察圖示裝置中r~r+dr位置的氣體：drr設(shè)氣體密度為(r)，A為容器截面積，則：該段氣體的質(zhì)量為：設(shè)r及r+dr

位置的壓強分別為則所考察氣體在垂直轉(zhuǎn)軸方向的受力為：若把坐標系取在以旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動參考系中，還應(yīng)有慣性離心力:第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日ωdrr若把坐標系取在以旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動參考系中，則所考察氣體在垂直轉(zhuǎn)軸方向的受力為：根據(jù)平衡條件：同理可有：第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日ωdrr同理可有：可見：系統(tǒng)達平衡后，管內(nèi)壓強與管外壓強不相等，因而離心管中的液面不再與外部平齊。h二、超速離心技術(shù)與同位素分離三、臺風、颶風、龍卷風第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日§2.6.3玻爾茲曼分布一、玻爾茲曼分布：1.玻爾茲曼分布：回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：則與慣性離心力相應(yīng)的離心力勢能：設(shè)：r=0時Ep(0)=0重力場中等溫大氣數(shù)密度分布：回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日回轉(zhuǎn)體中氣體粒子數(shù)密度沿徑向的分布：重力場中等溫大氣數(shù)密度分布：液體中懸浮微粒按高度的分布：麥克斯韋速度分布：比較定義：玻爾茲曼因子：第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日玻爾茲曼因子：定義：由于微觀粒子的能量只能取分立的數(shù)值，形成分立能級，故：也可記為：——玻爾茲曼分布分別表示溫度為T的系統(tǒng)中處于粒子能量為1的某一狀態(tài)與粒子能量為

2的另一個狀態(tài)上的粒子數(shù)密度第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日——玻爾茲曼分布（A）2.說明：⑴(A)式表示了在溫度T時的平衡態(tài)時，粒子處于能量差為

?

=1－2的1、2兩種不同狀態(tài)上的粒子數(shù)密度之比。⑵n1、n2

指對應(yīng)1、2能量的某一個狀態(tài)的粒子數(shù)密度，而不是能量為1、2的所有各狀態(tài)的粒子數(shù)密度之和。⑶某一個能量狀態(tài)確定Ni確定對應(yīng)概率Pi確定粒子處于能量相同的各狀態(tài)上的概率是相同的。通常狀況下，處于低能級的粒子數(shù)較多。⑷即：粒子處于高能量狀態(tài)的概率小第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日只要粒子間相互作用很小而可以忽略，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布。⑸玻爾茲曼分布是一種普遍規(guī)律。⑹微觀粒子熱運動(平均)能量與熱力學(xué)溫度的關(guān)系可見：處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，在（無相互作用）粒子的兩個不同能量的狀態(tài)上的粒子數(shù)的比值與粒子的能量之差之間有確定的關(guān)系。第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日對于粒子只能取兩個能級的系統(tǒng)，設(shè)在這兩能級上的粒子數(shù)密度分別為n1及n2。若在1>2

情況下，n1＜n2，則T＞0。正常態(tài)。若在1>2

情況下，n1＞n2（這稱為粒子數(shù)反轉(zhuǎn)），這時T＜0，我們就稱該粒子系統(tǒng)處于負溫度狀態(tài)。產(chǎn)生激光的系統(tǒng)，就處于粒子數(shù)反轉(zhuǎn)（populationinversion）的負溫度狀態(tài)。負溫度僅存在于由兩個能級所單獨組成的子系中；且僅出現(xiàn)在短暫的時間中。第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日二、麥克斯韋—玻爾茲曼分布：麥克斯韋分布：描繪了粒子在速度空間中的分布，玻爾茲曼分布：描繪了任意保守力場中粒子在位形空間的分布，其指數(shù)因子上的為粒子的平動動能。其指數(shù)因子上的p

為粒子的勢能。力學(xué)里把速度和位置合起來稱為“運動狀態(tài)”或“相”，統(tǒng)計物理里把速度空間和位形空間合起來稱為“相空間”。由于粒子的速度和位置是相互獨立的，故粒子在相空間的分布即為速度分布與位置分布的乘積，因而有：第二十頁，共二十一頁，2022年，8月28日麥克斯韋分布：玻爾茲曼分布：麥克斯韋—玻爾茲曼分布：粒子總能量表示了當系統(tǒng)