2.2利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性、極值等誤區(qū)一、易錯(cuò)提醒導(dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了有效的工具,把初等函數(shù)的學(xué)習(xí)提高到一個(gè)新的層次,正因如此,近年來,對(duì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查,已成為高考和各地模擬考試的熱點(diǎn)和重點(diǎn),有些學(xué)生由于對(duì)概念的理解不夠準(zhǔn)確或受到某些知識(shí)或方法的負(fù)遷移,在由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程時(shí),忽略“在某點(diǎn)處的切線〞與“過某點(diǎn)處的切線〞的區(qū)別；研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略定義域的限制，忽略取等條件；處理函數(shù)的極值無視極值存在條件，從而導(dǎo)致對(duì)而不會(huì),會(huì)而不全.二、典例精析(一)“在某點(diǎn)處的切線〞與“過某點(diǎn)處的切線〞的區(qū)別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線的切線問題,是考查導(dǎo)數(shù)時(shí)常見的一類小題〔選擇題、填空題〕,在此類問題中的重點(diǎn)和關(guān)鍵是抓住“切點(diǎn)〞,充分利用“切點(diǎn)〞的三個(gè)作用：一,切點(diǎn)在曲線上；二,切點(diǎn)在切線上；三,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率.在此類問題中有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：“在某點(diǎn)處的切線〞與“過某點(diǎn)處的切線〞的區(qū)別,其實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)是不是一定為切點(diǎn)的區(qū)別.【例1】假設(shè)存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切,求a的值．【易錯(cuò)分析】由于題目中沒有指明點(diǎn)O(0,0)的位置情況,容易忽略點(diǎn)O在曲線y＝x3－3x2＋2x上這個(gè)隱含條件,進(jìn)而不考慮O點(diǎn)為切點(diǎn)的情況．(2)當(dāng)O(0,0)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x相切于點(diǎn)P(x0,y0),那么y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0,且k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2,①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2,②聯(lián)立①②,得x0＝eq\f(3,2)(x0＝0舍去),所以k＝－eq\f(1,4),故直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x.【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時(shí)主要表達(dá)在以下幾個(gè)方面：(1)切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)．(2)斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)＝k.(3)假設(shè)求過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,可設(shè)切點(diǎn)為(x1,y1),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．(4)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢．【小試牛刀】【2023屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)期末熱身聯(lián)考】點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，那么方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為〔〕A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不確定【答案】A(二)誤用單調(diào)函數(shù)的充要條件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是近年來的高考熱點(diǎn),學(xué)生解決此類問題往往根據(jù)：設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.但誤解了這只是函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的一個(gè)充分條件,而并非必要條件.結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)定理知：假設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)嚴(yán)格遞增〔或遞減〕的充要條件是：一,對(duì)任何,有()；二,在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于0,而在高中階段,主要出現(xiàn)的是有一個(gè)或多個(gè)〔有限個(gè)〕使的點(diǎn)的情況,像例2這種逆向設(shè)置問題,是今后高考命題的一種趨向,它充分表達(dá)了高考“能力立意〞的思想,對(duì)此,在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.【例2】假設(shè)在區(qū)間上是增函數(shù),那么的范圍是.〔用區(qū)間來表示〕【錯(cuò)解】因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),故應(yīng)有,即,所以的范圍是.【分析】由條件在區(qū)間上是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的特征不難想到要利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解,即可轉(zhuǎn)化為：,進(jìn)而求出：,但到此題目并沒有完全結(jié)束,要對(duì)進(jìn)行單獨(dú)考慮,即可發(fā)現(xiàn)〔〕為上的常數(shù)函數(shù),不滿足題意,方可求解.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性.一般地,可導(dǎo)函數(shù)在上是增〔減〕函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意的,都有或,且在的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,特別要注意：函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)取值范圍時(shí),一定要特別考慮“等號(hào)〞是否可以取到.【小試牛刀】【2023屆廣西貴港市高三上學(xué)期12月聯(lián)考】假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以，應(yīng)選D.(三)無視極值存在條件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值,已成為現(xiàn)在高考的熱點(diǎn),此類問題解決正常分為三步：一,求導(dǎo)函數(shù)；二,求方程的根；三,檢驗(yàn)在方程的根的左右兩邊的符號(hào),如果左正右負(fù),那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正,那么在這個(gè)根處取得極小值.學(xué)生在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中往往很容易無視第三點(diǎn),從而造成錯(cuò)解或多解.【例3】f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0,那么a－b＝________.【答案】－7【錯(cuò)解】由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b,那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3a－b－1＝0，,b－6a＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，))所以a－b＝－2或－7【解析】由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b,那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3a－b－1＝0，,b－6a＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，))經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1,b＝3時(shí),函數(shù)f(x)在x＝－1處無法取得極值,而a＝2,b＝9滿足題意,故a－b＝－7.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和函數(shù)的值的求法.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言,導(dǎo)數(shù)為零,不一定有極值；有極值處,導(dǎo)數(shù)一定為零,即“導(dǎo)數(shù)為零〞不是“有極值〞的充要條件,僅僅是必要條件.因此,此類問題在反求出字母后一定要檢驗(yàn)該點(diǎn)左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)是否相異,這是學(xué)生極易發(fā)生錯(cuò)誤的地方,當(dāng)然這絕一日之功,需要通過長期的積累方可形成良好的習(xí)慣.【小試牛刀】【2023屆廣西玉林市高三期中考試】函數(shù)在處有極值，那么＝〔〕A.B.C.或D.或【答案】A三、遷移運(yùn)用1.【2023屆安徽省淮南市高三第四次考試】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】B【解析】令，，∴在上恒成立，設(shè)，那么，再令，那么，∴在上恒成立，∴在上為增函數(shù)，∴∴在上恒成立，∴在上減函數(shù)，∴,實(shí)數(shù)的取值范圍為，應(yīng)選B.2.【2023屆陜西省吳起高三上學(xué)期期中考試】函數(shù).假設(shè)直線與曲線都相切，那么直線的方程為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)公切線的斜率為k，由g′〔x〕=2x=k，解得：x=，故切點(diǎn)是：〔，〕，由f′〔x〕=﹣=k，解得：x=﹣，故切點(diǎn)是〔﹣，﹣〕，故切線l的斜率k=，解得：k=﹣4，故直線l和f〔x〕的切點(diǎn)是〔﹣2，4〕，故切線方程是：y﹣4=﹣4〔x+2〕，故4x+y+4=0，應(yīng)選：D．3.【2023屆江西省南昌市高三上學(xué)期第五次月考】為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】求導(dǎo)得:.易得在點(diǎn)P〔1，0〕處的切線為.當(dāng)時(shí)，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)〔如以下圖〕，且，..選D4．【2023屆廣州市高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試】直線與曲線相切，那么實(shí)數(shù)的值為A.B.C.D.【答案】D5．【2023屆貴州省銅仁市高三上學(xué)期第二次月考】設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且是偶函數(shù),那么曲線:在點(diǎn)處的切線方程為A.B.C.D.【答案】A【解析】是偶函數(shù),所以a=0,，.那么,所以切線方程為9x-y-16=0.應(yīng)選A.6.【2023屆河南息縣第一高級(jí)中學(xué)高三上段測(cè)】曲線在處的切線方程為〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】,所以切線為.7.【廣東省佛山市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】函數(shù),〔是常數(shù)〕,假設(shè)在上單調(diào)遞減,那么以下結(jié)論中：①；②；③有最小值.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為〔〕A．0B．1C.2D．3【答案】C【解析】由題意,得,假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減,那么,即,所以,故②正確；不妨設(shè),那么,故①錯(cuò)；畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖,令,那么,①當(dāng),即時(shí),拋物線與直線有公共點(diǎn),聯(lián)立兩個(gè)方程消去得,,所以；當(dāng),即時(shí),拋物線與平面區(qū)域必有公共點(diǎn),綜上所述,,所以有最小值,故③正確,應(yīng)選C．8.【河南省豫北名校聯(lián)盟2023屆高三年級(jí)精英對(duì)抗賽,10】設(shè)函數(shù),假設(shè)函數(shù)在處取得極值,那么以下圖象不可能為的圖象是〔〕A．B．C.D．【答案】D9.【2023山西臨汾一中等五校高三第三聯(lián)考】函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,那么曲線在處的切線方程為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè),那么,∵為奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴且,∴曲線在處的切線方程是．應(yīng)選B．10.【2023江西撫州七校高三上學(xué)期聯(lián)考】函數(shù)的圖像上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】時(shí),；時(shí),.設(shè)且,當(dāng)或時(shí),,故,當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,即當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,即,兩切線重合的充要條件是,且,消去得：,令,那么,構(gòu)造函數(shù),,,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,又所以,所以在單調(diào)遞減,所以,即,應(yīng)選C.11.【2023湖北省荊州市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢】假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C.D．【答案】C12．設(shè)函數(shù)以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．上遞減,無極值D．上遞增,無極值【答案】D【解析】,在上遞增,無極值13．假設(shè)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕．A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知,,要使函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),那么需方程在上有解,即,所以,應(yīng)選C．14．假設(shè)曲線與曲線存在公共切線,那么a的取值范圍為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)公共切線與曲線切于點(diǎn),與曲線切于點(diǎn),那么,將代入,可得,又由得,∴,且,記,,求導(dǎo)得,可得在上遞增,在上遞減,∴,∴.15.假設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】B16.【2023河北卓越聯(lián)盟上學(xué)期月考】函數(shù).〔1〕求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔2〕直線為曲線的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】〔1〕〔2〕,切點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】〔1〕.所以在點(diǎn)處的切線的斜率,[]∴切線的方程為；〔2〕設(shè)切點(diǎn)為,那么直線的斜率為,所以直線的方程為：,所以又直線過點(diǎn),∴,整理,得,∴,∴,的斜率,∴直線的方程為,切點(diǎn)坐標(biāo)為.17.【2023廣東省佛山市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)函數(shù),其中,,是自然對(duì)數(shù)的底.〔1〕求證：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；〔2〕假設(shè),求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn).【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析．【解析】〔1〕.令,其中,,求導(dǎo)得：.令,得.當(dāng)上,,遞減,當(dāng)上,,遞增.故當(dāng)時(shí),取極小值,也是最小值.因?yàn)?所以,又,所以,因此在上有唯一零點(diǎn).注意到,所以,,以下證明：.注意到上述不等式,令,那么,所以在上遞減,所以,即,因此在上有唯一零點(diǎn).所以時(shí),,,遞增；時(shí),,,遞減；時(shí),,,遞增；綜上所述,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),其中是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn).〔2〕由〔1〕函數(shù)的極小值為.…………7分因?yàn)?所以,所以.以下先證：的極小值.,因?yàn)?所以,,所以,又,所以,于是,所以.再證：存在,使.取,因?yàn)?所以.綜上可知,函數(shù)有唯一零點(diǎn).18.【2023山東省棗莊市高三上學(xué)期期末】函數(shù).〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；〔2〕假設(shè)對(duì)恒成立,求的取值范圍；〔3〕求證:.【答案】(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為,最大值為0,無最小值；(2)；(3)見解析．【解析】(1)的定義域?yàn)?所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,,無最小值.(2)．令,那么.當(dāng)時(shí),顯然,所以在上是減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以,的取值范圍為.19.【2023湖北孝感高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】函數(shù).〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在處取得極值,求實(shí)數(shù)的值；〔Ⅱ〕在(Ⅰ)的條件下,函數(shù)(其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù))的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕在(Ⅱ)的條件下,假設(shè)對(duì)任意的,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕函數(shù)在