考點56不等式選講【考綱要求】1.理解絕對值的幾何意義，并了解以下不等式成立的幾何意義及取等號的條件：①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a．3.通過一些簡單問題了解證明不等式的根本方法：比擬法、綜合法、分析法．【命題規(guī)律】不等式選講近幾年高考中是在解答題中第23題考查，一般設(shè)計絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題以及不等式的證明問題，難度中等.【典型高考試題變式】〔一〕絕對值不等式的解法例1.【2023新課標(biāo)1】函數(shù)，.〔1〕當(dāng)a=1時，求不等式的解集；〔2〕假設(shè)不等式的解集包含[–1，1]，求實數(shù)a的取值范圍.【分析】〔1〕將代入，不等式等價于，對按，，討論，得出不等式的解集；〔2〕當(dāng)時，.假設(shè)的解集包含，等價于當(dāng)時.那么在的最小值必為與之一，所以且，從而得.〔2〕當(dāng)時，.所以的解集包含，等價于當(dāng)時.又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.【名師點睛】零點分段法是解答絕對值不等式問題常用的方法，也可以將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，借助圖象解題.【變式1】【2023陜西山大附中等晉豫名校聯(lián)考】函數(shù)〔1〕求不等式的解集；〔2〕設(shè)，假設(shè)關(guān)于的不等式的解集非空，求實數(shù)的取值范圍.【解析】〔1〕原不等式可化為：，即或，由得或，由得或，綜上原不等式的解為或.〔2〕原不等式等價于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【變式2】【2023湖北省荊州市質(zhì)檢】函數(shù).〔1〕當(dāng)時，求的解集；〔2〕假設(shè)的解集包含集合，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時，，，上述不等式可化為或或解得或或所以或或，所以原不等式的解集為〔二〕不等式的證明例2.【2023年新課標(biāo)2】．證明：〔1〕；〔2〕．【分析】〔1〕展開所給的式子，然后結(jié)合題意進行配方即可證得結(jié)論，注意向靠攏；〔2〕利用均值不等式的結(jié)論結(jié)合題意證得即可得出結(jié)論．【解析】〔1〕〔2〕因為所以，因此．【名師點睛】利用根本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題．假設(shè)不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法．【變式1】假設(shè)a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab)．〔1〕求a3＋b3的最小值；〔2〕是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并說明理由【變式2】【2023河北邯鄲聯(lián)考】設(shè)．〔1〕求的解集；〔2〕當(dāng)時，求證：．【解析】〔1〕由得：或或，解得，所以的解集為.〔2〕當(dāng)，即時，要證，即證.因為，所以，即.〔三〕絕對值不等式的恒成立、參數(shù)范圍問題例3.【2023新課標(biāo)3】函數(shù)f〔x〕=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔2〕假設(shè)不等式的解集非空，求m的取值范圍.【分析】〔1〕將函數(shù)零點分段然后求解不等式即可；〔2〕由題意結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)有，那么m的取值范圍是.【解析】〔1〕，當(dāng)時，無解；當(dāng)時，由得，，解得；當(dāng)時，由解得.所以的解集為.〔2〕由得，而，且當(dāng)時，.故實數(shù)m的取值范圍為.【名師點睛】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，表達了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法〞求解，表達了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，表達了函數(shù)與方程的思想.【變式1】【2023河南中原名校質(zhì)檢】關(guān)于的不等式.〔1〕當(dāng)時，解不等式；〔2〕如果不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.【解析】〔1〕原不等式變?yōu)?當(dāng)時，原不等式化為，解得，所以當(dāng)時，原不等式化為，所以.當(dāng)時，原不等式化為，解得，所以.綜上，原不等式解集為.【變式2】函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.〔1〕求不等式f(x)≤6的解集；〔2〕假設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】〔1〕原不等式等價于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)，,〔2x＋1〕＋〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，,－〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6，))解得eq\f(3,2)<x≤2或－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)或－1≤x<－eq\f(1,2).所以原不等式的解集為{x|－1≤x≤2}．〔2〕因為f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以|a－1|>4，所以a<－3或a>5，所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－3)∪(5，＋∞)．【數(shù)學(xué)思想】①數(shù)形結(jié)合思想．②分類討論思想．③轉(zhuǎn)化與化歸思想.④函數(shù)方程思想.【溫馨提示】①絕對值不等式中含參數(shù)時，通常要進行分類探求，注意分類要做到不重不漏；注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．②分析法證明不等式是“執(zhí)果索因〞，要注意書寫的格式和語言的標(biāo)準．③用綜合法證明不等式時，應(yīng)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇恰當(dāng)?shù)墓阶鳛橐罁?jù)，其中均值不等式是最常用的.【典例試題演練】1.【2023遼寧鞍山中學(xué)二?！亢瘮?shù).〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】〔1〕當(dāng)時，無解；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，實數(shù)的取值范圍為.〔2〕函數(shù)的最小值為，，所以.2.【2023廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】函數(shù)的一個零點為2.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)直線與函數(shù)的圖象有公共點，求的取值范圍.【解析】〔1〕由，，得，所以，所以或或，解得，故不等式的解集為.〔2〕，作出函數(shù)的圖象，如下圖，直線過定點，當(dāng)此直線經(jīng)過點時，；當(dāng)此直線與直線平行時，.故由圖可知，.3.【2023四川省涼山州檢測】函數(shù)．〔1〕假設(shè)不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍；〔2〕假設(shè)方程有三個不同的解，求實數(shù)的取值范圍．【解析】〔1〕令，那么，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，函數(shù)的最小值為，所以，即，綜上，實數(shù)的取值范圍為.〔2〕在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象和的圖象如以下圖所示，由題意可知，把函數(shù)的圖象向下平移1個單位以內(nèi)〔不包括1個單位〕與的圖象始終有3個交點，從而．4.【20236廣西柳州市模擬】函數(shù)．〔1〕假設(shè)，解不等式；〔2〕如果，，求的取值范圍．〔2〕假設(shè)，的最小值為；假設(shè)，的最小值為．所以，，所以實數(shù)的取值范圍是．5.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：〔1〕ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)；〔2〕2eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1．【證明】〔1〕由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)．〔2〕因為eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋