培優(yōu)提能課(一)三角函數(shù)與解三角形CONTENTS目錄02提能2常見(jiàn)與三角形有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題01提能1解三角形中的生活情境類(lèi)問(wèn)題03提能3多知識(shí)點(diǎn)綜合交匯問(wèn)題04專(zhuān)題檢測(cè)01提能1解三角形中的生活情境類(lèi)問(wèn)題ABD|感悟提升|解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量中的距離、高度、角度及加工零件中的面積、體積等問(wèn)題，均需根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出解決該問(wèn)題的幾何圖形，然后結(jié)合已知和所求問(wèn)題構(gòu)造三角形，利用與解三角形有關(guān)的知識(shí)(正、余弦定理、相似三角形的性質(zhì))求解．若三角形與其他幾何圖形(圓、扇形)或空間幾何體結(jié)合，將涉及到其他幾何性質(zhì)，同時(shí)還要利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)運(yùn)算．

(2020·鎮(zhèn)江三模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”其意為：今有直角三角形ABC，勾(短直角邊)BC長(zhǎng)5步，股(長(zhǎng)直角邊)AB長(zhǎng)12步，問(wèn)該直角三角形能容納的正方形DEBF的邊長(zhǎng)為多少？在如圖所示的Rt△ABC中，求得正方形DEBF的邊長(zhǎng)后，可求得tan∠ACE＝________．02提能2常見(jiàn)與三角形有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos(A＋B)＝sinB，解由(1)得cos(A＋B)＝sinB，|感悟提升|解與三角形有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題的基本步驟(1)定基本量：根據(jù)題意和已知圖形，選擇相關(guān)的邊、角作為基本變量，確定基本變量的范圍；(2)構(gòu)建函數(shù)：將待求范圍變量，利用正、余弦定理或三角恒等變換轉(zhuǎn)化為基本變量的函數(shù)；(3)求最值：利用函數(shù)有界性、單調(diào)性或基本不等式求最值．

△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；解：由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB. ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．

②(2)若BC＝3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．法二(構(gòu)建目標(biāo)不等式法)：因?yàn)锽C2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，03提能3多知識(shí)點(diǎn)綜合交匯問(wèn)題ACD|感悟提升|三角函數(shù)與解三角形中的綜合問(wèn)題多與平面向量、平面幾何、數(shù)列、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等綜合交匯創(chuàng)新，此類(lèi)題目對(duì)考生的理性思維水平的考查有更高的要求，除掌握本專(zhuān)題必備知識(shí)外，還要學(xué)會(huì)運(yùn)用題目中提供的其他模塊知識(shí)轉(zhuǎn)化到解決問(wèn)題所需的條件上來(lái)，進(jìn)而將問(wèn)題逐步解決，一般涉及到平面向量的運(yùn)算與性質(zhì)、平面幾何圖形的特征及幾何性質(zhì)、數(shù)列的定義及性質(zhì)、函數(shù)的圖象及性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的運(yùn)用．

解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－[a(n－1)2＋b(n－1)]＝2na－a＋b.又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a＋b，滿足an＝2na－a＋b，所以an＝2na－a＋b，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故a1＋a17＝2a9＝π.由題意得f(x)＝sin2x＋cosx＋1，所以y1＋y17＝f(a1)＋f(a17)＝sin2a1＋cosa1＋1＋sin2a17＋cosa17＋1＝sin2a1＋cosa1＋1＋sin(2π－2a1)＋cos(π－a1)＋1＝2，同理，y2＋y16＝2，…，y8＋y10＝2.又易得y9＝f(a9)＝1，所以數(shù)列{yn}的前17項(xiàng)和為2×8＋1＝17.π17專(zhuān)題檢測(cè)04C

C

3D

4．八一起義紀(jì)念碑(如圖甲所示)是江西省南昌市的標(biāo)

志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一廣場(chǎng)．紀(jì)念

碑的碑身為長(zhǎng)方體，正北面是葉劍英元帥題寫(xiě)的

“八一南昌起義紀(jì)念塔”九個(gè)銅胎鎏金大字．建軍

節(jié)那天，李華同學(xué)去八一廣場(chǎng)瞻仰紀(jì)念碑，把地面抽象為平面、碑身抽象為線段AB，李華同學(xué)抽象為點(diǎn)C，則李華同學(xué)站在廣場(chǎng)上瞻仰紀(jì)念碑的情景可簡(jiǎn)化為如圖乙所示的數(shù)學(xué)模型，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，a)，(0，b)，要使AB看上去最長(zhǎng)(∠ACB最大)，則李華同學(xué)(點(diǎn)C)的坐標(biāo)為 (

)AC

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8．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生需測(cè)量某零件中圓弧的

半徑．如圖，將三個(gè)半徑為20cm的小球放在圓弧

上使它們與圓弧都相切，左、右兩個(gè)小球與中間小

球相切．利用“十”字尺測(cè)得小球的高度差h為8

cm，則圓弧的半徑為_(kāi)_______cm.120

(1)寫(xiě)出S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式S(θ)；(2)當(dāng)θ為何值時(shí)矩形EFGH的面積最大？

(1)求角B；(2)若b＝4，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．解：在△ABC中，由余弦定理得，16＝a2＋c2－ac，即(a＋c)2－16＝3ac，因此，當(dāng)a＝c＝4時(shí)，a＋c取最大值8，從而a＋b＋c取最大值12，所以△ABC周長(zhǎng)的最大值為12.11．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinC＝2sinAsinB，點(diǎn)D在邊AB上，且CD⊥AB.解：證明：在△CDB中，因?yàn)镃D⊥AB，在△AB