第40講合情推理與演繹推理

江蘇省通州高級中學主要內(nèi)容一、聚焦重點三、廓清疑點類比推理所得結(jié)論的真?zhèn)涡?二、破解難點合情推理和演繹推理的應用.理解合情推理與演繹推理.基礎知識

推理——從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程.推理包含前提和結(jié)論兩部分.推理演繹推理合情推理歸納推理類比推理依據(jù)判斷問題研究如何利用歸納、類比和演繹進行推理？聚焦重點：歸納推理及其思維特點基礎知識歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).典型例題1例1凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間有著怎樣的數(shù)量關系？思路分析例1凸多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E之間有著怎樣的數(shù)量關系？觀察與計算：一些特殊多面體的面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E；分析與歸納：面數(shù)F、頂點數(shù)V和棱數(shù)E三個量之間的數(shù)量關系，提出猜想；檢驗與證明：所作猜想是否正確.思路分析多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐五棱錐三棱柱立方體正八面體五棱柱截角正方體尖頂塔4645586610思路分析多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐五棱錐三棱柱立方體五棱柱正八面體截角正方體尖頂塔4645586812569710156610思路分析多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱錐四棱錐五棱錐三棱柱立方體五棱柱正八面體截角正方體尖頂塔46456955868126610猜想:F+V－E=2歐拉公式證明:

查找資料，上網(wǎng)檢索.916971015861271015回顧反思⑴對有限資料進行觀察、分析、歸納整理；⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑶檢驗猜想.1.歸納推理的一般步驟：試驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論2.歸納推理的思維過程：回顧反思3.歸納推理的幾個特點：⑴

歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,歸納推理實現(xiàn)了由特殊到一般的超越.⑵由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測性質(zhì)，是否真實還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗.因此,它不能作為數(shù)學證明的工具.⑶歸納推理是具有創(chuàng)造性的推理.通過歸納得到猜想，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.聚焦重點：類比推理及其思維特點由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.基礎知識類比推理典型例題2

例2在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，則將上述結(jié)論類比到空間,你能得到怎樣的猜想？ABCD思路分析平面空間三角形AB⊥ACAD⊥BC四面體三側(cè)棱兩兩垂直AE⊥底面BCD證明猜想AEDCBF解連DE交BC于F，連AF.AE⊥BCAE⊥平面BCDAD⊥BCAD⊥平面ABC∵AD⊥AB

AD⊥ACAB∩AC=AAD⊥平面ABCBC⊥平面ADFAF平面ABCAD⊥AF證明猜想AEDCBFBC⊥AF回顧小結(jié)⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征;⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；⑶檢驗猜想.1.類比推理的一般步驟：觀察、比較聯(lián)想、類推猜測新結(jié)論2.類比推理的思維過程：回顧反思3.類比推理的幾個特點：⑶類比推理是一種重要的數(shù)學思維活動.通過類比提出猜想，進而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.⑴

類比是依據(jù)一個特殊現(xiàn)象去推斷另一個特殊現(xiàn)象,因而,類比推理是由此及彼的推理.⑵由類比推理得到的結(jié)論具有猜測性質(zhì)，是否真實還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗.因此它不能作為數(shù)學證明的工具.回顧反思歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.通俗地說，合情推理就是“合乎情理”的推理.聚焦重點：演繹推理及其思維特點基礎知識演繹推理根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程,稱為演繹推理.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提——已知的一般原理；⑵小前提——所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論——對特殊情況做出的判斷．典型例題3例3如圖，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，∠BFD=∠A，DE∥BA，求證：DE=FA.ABDCEF⌒⌒思路分析例3如圖，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，∠BFD=∠A，DE∥BA，求證：DE=FA.要證DE=FA，已知DE∥FA，只需證AFDE.已知DE∥FA，只需證DF∥EA，已知∠BFD=∠A，所以DF∥EA成立.ABDCEF⌒⌒證明過程證(1)同位角相等,兩直線平行(大前提)∠BFD=∠A,(小前提)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以,DF∥EA.

(結(jié)論)所以,四邊形AFDE是平行四邊形.(結(jié)論)(3)平行四邊形的對邊相等,(大前提)DE和FA為平行四邊形的對邊,(小前提)所以，DE=FA.

(結(jié)論)ABDCEF⌒⌒回顧反思1.本例證明連續(xù)采用了三個三段論，每一個大前提都對應一個定理；2.在證明時，我們把前一個三段論的結(jié)論又作為后一個三段論的小前提.3.為方便起見,大前提或小前提有時可以省略.證明過程證⑴∠BFD=∠A,(小前提)⑵又DE∥BA

(小前提)所以,DF∥EA.

(結(jié)論)所以,四邊形AFDE是平行四邊形.(結(jié)論)⑶所以，ED=AF.

(結(jié)論)ABDCEF⌒⌒或?qū)懗苫仡櫡此佳堇[推理是收斂性思維,雖缺少創(chuàng)造性,但卻條理清晰、令人信服,利于科學的理論化和系統(tǒng)化.演繹推理的幾個特點1.演繹的前提是一般原理,演繹所得結(jié)論完全蘊涵于前提中,因而演繹推理是由一般到特殊的推理.2.在演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系.只要前提真實,推理正確,結(jié)論必定正確,因而演繹推理是數(shù)學中嚴格證明的工具.破解難點：合情推理和演繹推理的應用問題研究合情推理與演繹推理在數(shù)學解題活動中各自起著怎樣的作用呢？典型例題4思路分析分析猜想思路分析例4思路1

不等式的左邊能否設法求和？無法實施，思維受阻！思路2

觀察不等式的右邊，你會想到什么？“裂項相消”的結(jié)果！證明過程例4證明回顧反思（1）思維策略：①特例觀察，歸納共同特征；②猜想一般性結(jié)論；

③通過演繹推理，證明猜想.（2）數(shù)學方法：通過放縮，“裂項相消”.（3）思維誤區(qū)：望“文”生義，固執(zhí)求和！典型例題5例5已知x∈R，

m是非零常數(shù)，且有問：f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，說明理由.思路分析思路2根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想已學函數(shù)，由具體函數(shù)的周期性，類比得到函數(shù)f(x)可能具有的性質(zhì)，再作出證明.思路1

設法求出函數(shù)解析式或作出其圖象，通過觀察再作判斷.函數(shù)抽象，無法實施！例5思考1

從結(jié)構(gòu)特征看:在你所學習過的常見函數(shù)中，是否存在具有類似性質(zhì)的函數(shù)？思路分析y=tanx思考2

在這里，函數(shù)y=tanx的類似性質(zhì)是什么？思考3

函數(shù)y=tanx是周期函數(shù)嗎？周期是多少？思考4

那么，如果f(x)是周期函數(shù)，你覺得它的一個周期可能是________.4m例5思路分析周期函數(shù)T=4m

y=f(x)

y=tanx周期函數(shù)證明過程證明事實上，所以，f(x)是以4m為周期的周期函數(shù).回顧反思（1）思維策略：觀察結(jié)構(gòu)，聯(lián)想類比；（2）數(shù)學方法：“回到定義去”.（3）思維盲區(qū)：積累匱乏，聯(lián)系“中斷”！（4）思維誤區(qū)：①企圖求出具體解析式，最終因夢想破滅，無功而返;②以特殊代替一般，認定f(x)就是正切函數(shù).廓清疑點：類比推理所得結(jié)論的真?zhèn)涡詥栴}研究與歸納推理一樣，類比推理也具有發(fā)現(xiàn)功能，但由類比作出的猜想未必是真實的.那么，如何判斷其真?zhèn)涡阅?？典型例題6⑴已知橢圓例6設斜率為k的直線l交橢圓

(a>b>0)于A、B兩點，線段AB中點為M.證明當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.思路分析⑴已知橢圓思路1

以直線l的縱截距m為參數(shù)，通過聯(lián)立方程組，求出中點M的坐標，證明其坐標滿足一條經(jīng)過原點的直線方程.思路2

本題為“中點弦”問題，也可采用“點差法”.例6設斜率為k的直線l交橢圓

(a>b>0)于A、B兩點，線段AB中點為M.證明當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.證明過程⑴已知橢圓解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0).由

b2x12

＋a2y12＝a2b2,

b2x22

＋a2y22＝a2b2.

b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0∵x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0

b2x0(x1－x2)＋a2y0(y1－y2)＝0∵y1－y2＝k(x1－x2)b2x0＋ka2y0＝0.

即動點M在一條過原點的定直線上.探究1雙曲線是否也有上述橢圓類似的幾何性質(zhì)？典型例題6⑴已知橢圓例6設斜率為k的直線l交橢圓

(a>b>0)于A、B兩點，線段AB中點為M.證明當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.等價結(jié)論：橢圓的一組平行弦的中點都在一條經(jīng)過橢圓中心的定直線上.類比：雙曲線的一組平行弦的中點都在一條經(jīng)過雙曲線中心的定直線上.結(jié)論正確探究2拋物線中的類似幾何性質(zhì)是什么？典型例題6⑴已知橢圓例6設斜率為k的直線l交橢圓

(a>b>0)于A、B兩點，線段AB中點為M.證明當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上.等價結(jié)論：橢圓的一組平行弦的中點都在一條經(jīng)過橢圓中心的定直線上.類比：拋物線的一組平行弦的中點都在一條經(jīng)過拋物線頂點的定直線上.？證明過程解設斜率為k的直線交拋物線y2=2px與兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點M(x0，y0).由

y12＝2px1,y22＝2px2.

(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)∵y1＋y2＝2y0y0(y1－y2)＝p(x1－x2)

∵y1－y2＝k(x1－x2)

y0＝.pk所以，動點M在一條平行于y軸的定直線上.結(jié)論：拋物線的一組平行弦的中點都在一條平行于拋物線對稱軸的定直線上！回顧反思（1）思維策略：①根據(jù)相似性，進行類比推理;②利用演繹推理，判別真?zhèn)?（2）思維誤區(qū)：只注意了類比的“發(fā)現(xiàn)”功能，而忽略了演繹的調(diào)控作用.（3）體驗感悟：①數(shù)學研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;

②證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理又常常為我們提供證明的思路和方向.總結(jié)提煉1.從思維特點看：

①歸納是由特殊到一般的推理；

②類比是由特殊到特殊的推理；

③演繹是由一般到特殊的推理.2.從所得結(jié)論看：

①合情推理的結(jié)論未必正確,有待證明；

②演繹推理得到的結(jié)論一定正確.總結(jié)提煉3.從所起作用看：

①演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程；