廣東省惠州市光明中學2021-2022學年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復數z=1+i，則=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：∵復數z=1+i，∴==﹣=﹣2，故選：B．2.個人排成一排，其中甲、乙兩人至少有一人在兩端的排法種數有（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知x、y的取值如下表所示，若y與x線性相關，且，則＝____x0134y2.24.34.86.7

參考答案：2.64.已知x,y的取值如下表所示，若y與x線性相關，且

X01342.24.34.86.7A.2.2

B.2.6 C.2.8

D.2.9參考答案：B略5.函數的單調減區(qū)間為

A.

B.

C.

D.

(0,2)

參考答案：D略6.已知向量，且，那么實數等于(

)A．3

B．

C．9

D．參考答案：D略7.已知關于面的對稱點為，而關于軸的對稱點為，則（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．參考答案：C8.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是()

A．由樣本數據得到的回歸方程＝x＋必過樣本點的中心(，)

B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好

D．在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域越窄，說明回歸方程的預報精確度越高；參考答案：C9.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A．B兩點．若AB的中點坐標為（1，﹣），則E的方程為（）A．+y2=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設A點坐標的（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），可得=1，=1，兩式相減得，+=0，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．【解答】解：設A點坐標的（x1，y1），B點坐標為（x2，y2），∴=1，=1，兩式相減得，+=0，∵x1+x2=2，y1+y2=，k===．∴=，又∵c2=a2﹣b2=10b2﹣b2=9b2，c2=9，∴b2=1，a2=10，即標準方程為=1．故選：A10.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝()A．－

B.C．－

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的定義域為A，若，則實數的取值范圍是

參考答案：略12.觀察下列的圖形中小正方形的個數，則第n個圖中有個小正方形．參考答案：考點：歸納推理．

專題：規(guī)律型．分析：由題意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，從而可得f（n），結合等差數列的求和公式可得．解答：解：由題意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1…f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=．故答案為：．點評：本題主要考查了等差數列的求和公式在實際問題中的應用，解題的關鍵是要根據前幾個圖形的規(guī)律歸納出f（n）的代數式，考查了歸納推理的能力．13.已知是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若∥，，則∥②若，∥，∥，則∥③若∥，則∥④是兩條異面直線，若∥，∥，∥，∥，則∥上面命題中，真命題的序號是

(寫出所有真命題的序號).參考答案：③④略14.若拋物線y2=4x上一點M到焦點F的距離為5，則點M的橫坐標為

．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求出拋物線的準線方程，利用拋物線的定義，求解即可．【解答】解：拋物線y2=4x的準線方程為x=﹣1，∵拋物線y2=4x上點到焦點的距離等于5，∴根據拋物線點到焦點的距離等于點到準線的距離，∴可得所求點的橫坐標為4．故答案為：4【點評】本題給出拋物線上一點到焦點的距離，要求該點的橫坐標，著重考查了拋物線的標準方程與簡單性質，屬于基礎題．15.將101101(2)化為十進制結果為

；再將該數化為八進制數，結果為

.參考答案：45，55（8）16.若函數在其定義域的一個子區(qū)間上不是單調函數，則實數的取值范圍_______參考答案：略17.設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用雙曲線的定義求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小內角為30°結合余弦定理，求出雙曲線的離心率．【解答】解：因為F1、F2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且滿足|PF1|+|PF2|=6a，不妨設P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小內角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c=a所以e==．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的定義，雙曲線的離心率的求法，考查計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，，與的夾角為，求（1）在方向上的投影；（2）與的夾角為銳角，求的取值范圍。參考答案：【知識點】向量的投影，向量的夾角【答案解析】解析：解：（1）在方向上的投影為=；（2）若與的夾角為銳角，則且兩向量不共線，得且，得.【思路點撥】在求一個向量在另一個向量上的投影時，可直接利用定義進行計算，判斷兩個向量的夾角為銳角或鈍角時，可直接利用數量積的符號進行解答，注意要排除兩向量共線的情況.19.（本小題滿分10分）學校在高二開設了當代戰(zhàn)爭風云、投資理財、汽車模擬駕駛與保養(yǎng)、硬筆書法共4門選修課，每個學生必須且只需選修1門選修課，對于該年級的甲、乙、丙3名學生。（I）求這3名學生選擇的選修課互不相同的概率；（II）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率；

（III）求投資理財選修課被這3名學生選擇的人數的數學期望。參考答案：解：(Ⅰ)3名學生選擇了3門不同的選修課的概率為

----------2分(Ⅱ)恰有2門選修課這3名學生都沒選擇的概率為-----------5分(Ⅲ)設投資理財選修課被這3名學生選擇的人數為，則＝0,1,2,3

-----------6分P(＝0)＝P(＝1)＝P(＝2)＝P(＝3)＝0123P的分布列是

20.已知三角形ABC的頂點坐標為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC邊上的中點．（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長．參考答案：【考點】直線的一般式方程；中點坐標公式．【專題】計算題．【分析】（1）已知A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），根據兩點式寫直線的方法化簡得到AB所在的直線方程；（2）根據中點坐標公式求出M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出AM即可．【解答】解：（1）由兩點式寫方程得，即6x﹣y+11=0或直線AB的斜率為直線AB的方程為y﹣5=6（x+1）即6x﹣y+11=0（2）設M的坐標為（x0，y0），則由中點坐標公式得故M（1，1）【點評】考查學生會根據條件寫出直線的一般式方程，以及會利用中點坐標公式求線段中點坐標，會用兩點間的距離公式求兩點間的距離．21.在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？參考答案：解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．………………4分（Ⅱ）設，其坐標滿足消去y并整理得，

顯然△＞0故．…………6分，即．

而，于是．所以時，，故．…………8分當時，，．，而，所以．

………12分22.已知圓C經過A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．（Ⅰ）求圓C的方程．（Ⅱ）若直線l經過點P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）根據已知設出圓的標準方程，將點A，B的坐標代入標準方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．（Ⅱ）根據已知設出直線方程，利用直線與圓相切的性質d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上，故可設圓心C（a，2a），半徑為r．則圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圓C經過A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C